Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
ν
l,m,n
(l,m,n)ν
z
x
τ
τ
xz
х
р
τ
xy
σ
x
y
)
0,
0,
1
(
_
ν
)p,p,p(p
zyxν
),,(p
xzxyxx
ττσ
),,(p
yzyyxy
τστ
),,(p
zzyzxz
σττ
)n
,m,
l(
ν
x
y
z
dА
dА·l
dA·m
dA·n
x
Рис. 11. Распределение напряжений в плоскости ох
Выделим в точке элементарный тетраэдр (рис. 12), одна грань которо-
го – произвольная площадка, а три другие – координатные площадки.
Положение произвольной площадки
с проекциями
Рис. 12. Распределение напряжений на произвольной площадке
будем задавать ортом нормали
–
. В сопротивлении материалов эти проек-
31
ции называют направляющими косинусами, так как они численно равны
2 22
lmn1+ +=
xyz
p ,p ,p
xyz
p (p ,p ,p )
ν
x x xy xz
p( , , )στ τ
y yx y yz
p( , , )
τ στ
z zx zy z
p( , , )ττσ
xy z
dA dA l, dA dA m, dA dA n=⋅=⋅ =⋅
x xy yz z
p dA p dA p dA p dA 0
ν
−⋅ − ⋅ −⋅ + ⋅ =
x x xy xz
p lmn=σ ⋅ +τ ⋅ +τ ⋅
y yx y yz
p lmn=τ ⋅ +σ ⋅ +τ ⋅
z z zy z
p xl m n=τ ⋅ +τ ⋅ +σ ⋅
косинусам углов наклона нормали к площадке к осям координат. Очевидно, что
. (14)
Составляющие вектора напряжений на произвольной площадке в проекциях на координатные оси обозначим
, т. е.
. Век-
торы полного напряжения на координатных площадках и их проекции на
оси координат будут соответственно равны
;
;
.
Тетраэдр находится в равновесии, как и все тело в целом (принцип
отвердевания). Обозначим площадь наклонной грани dA. Тогда площади
координатных граней – проекций произвольной площадки (рис. 12), равны
.
Орты нормалей координатных граней противоположны координатным осям. Условие равновесия сил, действующих на элементарный тетраэдр в векторном виде:
.
В проекциях на координатные оси, после сокращения на dA, получаем три уравнения:
;
; (15)
.
32
Рассматривая равновесие моментов относительно координатных осей
zy yz xz zx xy yx
,,τ=τ τ=τ τ=τ
xyz
,,σσσ
xy yz zx
,,τττ
(l,m,n)ν
xyz
p (p ,p ,p )
ν
x yx zx
xy y zy
xz yz z
T
σ
στ τ
=τ στ
ττσ
x yx zx
x
y xy y zy
z xz yz z
p
l
p p mT
n
p
νσ
στ τ
= = τ σ τ ⋅ = ⋅ν
ττσ
123
,,ννν
123
,,
σσσ
T
σ
(вывод опускаем для экономии времени, предлагается сделать самим), получаем следующие соотношения:
,
которые в сопротивлении материалов называют законом парности
касательных напряжений.
Таким образом, НС в точке (напряжения на любой площадке, прохо-
дящей через точку) описывается шестью числами – тремя нормальными
и тремя касательными
напряжениями на координат-
ных площадках. Количество параметров можно уменьшить вдвое, если выбрать координаты в точке так, чтобы на координатных площадках отсутствовали касательные напряжения. Такие площадки называют главными
осями напряжений.
Систему (15) можно представить как линейное преобразование векто-
ра
в вектор
с симметричной матрицей
,
а именно
.
Такое преобразование трех взаимно перпендикулярных собственных
векторов
чисел
сводится к умножению на скаляр – одно из собственных
матрицы
. Собственные векторы образуют новую сис-
33
тему координат (главные оси напряжений), в которой отсутствуют каса-
123
,,σσσ
x yx zx
xy y zy
xz yz z
()
() 0
()
σ −σ τ τ
τ σ −σ τ =
τ τ σ −σ
32
1 23
J J J 0,σ − ⋅σ + ⋅σ− =
1 xyz
J =σ +σ +σ
222
2 x y y z z x xy yz zx
J =σ ⋅σ +σ ⋅σ +σ ⋅σ −τ −τ −τ
3
JT
σ
=
123
J,J ,J
x1 y2 z3
p l,p m,p n=σ⋅ =σ⋅ =σ⋅
p
ν
ν
12 3
p ( l, m, n) (l,m,n)
νν
σ = σ ⋅ σ ⋅ σ ⋅ ⋅ν
l,m,n
2 22
12 3
l mn
ν
σ =σ ⋅ +σ ⋅ ⋅σ ⋅
тельные напряжения (так как направление собственных векторов совпадает с направлением орта нормали), а нормальные напряжения – главные
напряжения
вычисляются как собственные числа матрицы –
корни кубического уравнения
В развернутом виде
где
;
.
;
;
– инварианты напряженного состояния.
В главных осях система (15) принимает вид
. (16)
Нормальное напряжение на произвольной площадке (повернутой от-
носительно главных осей) есть скалярное произведение векторов
,
где
– проекции орта нормали на главные оси напряжений.
В развернутом виде
и
. (17)
34
Квадрат полного напряжения есть векторная сумма нормального
2
22 222222
12 3
p lmn
ν νν
=σ+τ=σ⋅ +σ⋅ +σ⋅
2 22
l 0, m 0, n 0
≥ ≥≥
123
σ ≥σ ≥σ
3
σ
ν
τ
ν
σ
2
σ
1
σ
и касательного напряжений и как квадрат равен сумме квадратов проекций:
. (18)
Системы (14), (17), (18), линейные относительно квадратов проекций
нормали, исследовались О. К. Мором на положительные корни. Графическая
интерпретация результатов представлена на рис. 13 и носит название круги
Мора. Вывод предлагается изучить самостоятельно. Суть его в том, что решение системы должно давать положительные корни (квадраты косинусов).
Рис. 13. Круговая диаграмма Мора
Круги Мора соответствуют условиям:
.
Возможные комбинации нормальных и касательных напряжений на
произвольной площадке включают только заштрихованную область. Если
обозначить главные напряжения так, что
,
35
то
13ν
σ ≥σ ≥σ
13
2
ν
σ −σ
τ≤
123
,,σσσ
A
Q
z
=σ
σ σ
M
τ
Линейное НС
Плоское НС
НС чистого сдвига
и
.
Таким образом, напряженное состояние в точке количественно опи-
сывается тремя числами – главными напряжениями
.
Рассматриваются три частных случая НС (рис. 14):
• линейное напряженное состояние, когда два из трех главных напря-
жений равны нулю;
• плоское напряженное состояние, когда одно из главных напряжений
равно нулю;
• чистый сдвиг, когда при плоском НС два главных напряжения равны
по модулю и противоположны по знаку (из кругов Мора следует, что в точке
существуют две взаимно перпендикулярные площадки, в которых отсутствуют нормальные напряжения, а касательные равны по модулю главным
напряжениям).
z
Рис. 14. Виды напряженного состояния
36
Линейное НС реализуется при растяжении стандартного образца, так
23
0σ=σ=
1
max
2
σ
τ=
1
[]σ=σ
max
[]
2
σ
τ=
13
max
[]
22
σ −σ
σ
τ= =
13
[]σ −σ = σ
экв,3 1 3
σ =σ −σ
как в поперечных сечениях отсутствуют касательные напряжения, а в продольных сечениях вообще отсутствуют напряжения.
Плоское НС всегда наблюдается на ненагруженной поверхности де-
тали, так как в плоскости, совпадающей с поверхностью, по 3-му закону
Ньютона нет никаких напряжений.
Чистый сдвиг примерно реализуется при кручении тонкостенного
трубчатого образца моментом Мz (подробно рассмотрено ниже при решении задачи о кручении круглого стержня).
ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ
Как уже говорилось, опасность напряженного состояния оценивается
гипотезами (предположениями). Их известно более ста. Рассмотрим наиболее часто применяемые.
• Напряженные состояния равноопасны, если равны максималь-
ные касательные напряжения (гипотеза 3).
При растяжении стандартного образца очевидно
мальное касательное напряжение
Разрушение происходит при
.
(т. е. при
и макси-
). Тогда в об-
щем случае нагружения разрушение произойдет при
или
.
Напряженное состояние, эквивалентное растяжению, характеризуется
числом
,
37
а в общем виде условие прочности
экв, max
[]
σ ≤σ
222
экв,4 1 2 2 3 3 1
1
( )( )( )
2
σ = σ −σ + σ −σ + σ −σ
экв
σ
1 32
,0σ = −σ σ =
экв,4 1
3σ = ⋅σ
экв,3 1
2σ = ⋅σ
23
100 13,4 %
2
−
⋅≈
(6...7) %
±
экв,5 1 3
kσ =σ − ⋅σ
k 0.06...0.15=
k1=
.
• Напряженные состояния равноопасны, если равны удельные по-
тенциальные энергии изменения формы (гипотеза 4, пока без вывода).
Напряженное состояние, эквивалентное растяжению, характеризуется
числом
.
Гипотезы дают разницу в пределах разброса механических характери-
стик материала. Например, при определении
чистого сдвига
) по гипотезе 4
. Средняя разница в теориях составляет
при кручении (состояние
, а по гипотезе 3
.
При сравнении для других напряженных состояний разница меньше.
Обычный разброс результатов испытаний на растяжение составляет
и может достигать в двух опытах 14 %. То есть эксперимен-
тально достоверность гипотезы практически оценить не удается. В то же
время погрешность расчета по одной из рассмотренных гипотез надежно
перекрывается принятыми запасами прочности. Рассмотренные две гипотезы практически равносильны для сталей.
• Для материалов с разной прочностью сжатия и растяжения принята
гипотеза Мора (гипотеза 5)
где коэффициент k равен отношению прочности растяжения к прочности
при сжатии. Для бетона
Задача расчета на прочность состоит в определении максимальных
эквивалентных напряжений в теле по принятой гипотезе и сравнении их
с допускаемыми из опыта на растяжение.
,
, для металлов практически
38
.
РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
Р
Р
q = γ·A
Р·(1+α/g)
q = γ·A
Учесть в расчетах все реально влияющие на прочность и жесткость
факторы практически невозможно. Поэтому исследование начинается
с выбора расчетной схемы, т. е. необходимо провести схематизацию объекта и отбросить те факторы, которые не могут существенно повлиять на
работу. Степень упрощения расчетной модели в конкретных случаях
определяется на этапе проектирования и уточняется при испытаниях
и эксплуатации. Для типовых деталей расчетные схемы хорошо отработаны и практически не требуют экспериментальной проверки. При существенном изменении конструкции появляется необходимость испытаний
по доводке. В ответственных случаях (например, в авиации, автомобилестроении) доводка изделия и уточнение расчетных схем продолжаются
и при эксплуатации. При этом на начальном этапе работы принимаются
меры по ограничению действующих нагрузок.
Рассмотрим в качестве примера расчетную схему каната лифта (рис. 15).
Рис. 15. Схема нагружения каната лифта
При малой высоте подъема тихоходных лифтов основной фактор
нагрузки – сила Р от веса лифта.
При большой высоте подъема следует учитывать действие собствен-
ного веса троса (удельный вес материала γ, площадь сечения А), т. е.
39
в расчетную схему необходимо добавить распределенную по длине троса
qA=γ⋅
P/gα⋅
l
c
i
b
i
a
i
P
i
q
i
q = γ·A
P
Расчетная схема балки,
Обобщенная рас-
жения стержня
Конструкция
Схематизация –
С
(погонную) нагрузку
.
Для быстроходных лифтов (ускорение лифта α, ускорение свободного
падения g, масса лифта Р/g) следует учесть силу инерции лифта, т. е. прибавить к его весу
.
Другими факторами: силой инерции троса, гидродинамическим сопротивлением воздуха, переменностью температуры по длине троса –
можно пренебречь.
Обобщим расчетную схему растяжения (сжатия) стержня – длинного
призматического тела (рис. 16, а).
условно
неподвижной опоры
нагруженной собственным
упругая опора
четная схема растя-
весом q = γ·A и сосредото-
ченной силой Р
а б
Рис. 16. Схема растяжения (а) и изгиба (б) балки
Стержень длиной l может быть нагружен несколькими сосредоточенными силами Рi и погонными нагрузками qi. Координаты приложения
нагрузок будем отсчитывать от левого конца. Опоры могут быть приняты
условно неподвижными и подвижными. Если деформации стержня от рабочих нагрузок соизмеримы с деформациями опоры, то опора считается
упругой с жесткостью С.
Расчетная схема стержня при изгибе аналогичная. На рис. 16, б приведен пример расчетной схемы балки – горизонтального изгибаемого элемента конструкций.
40