Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Вместе с турбиной на едином валу в передней части двигателя установлен компрессор, который служит для сжатия и подачи воздуха в камеру сгорания.
Рис. 45. ТРД: схема двигателя и расчетная схема
Турбовинтовой двигатель (ТВД). Принцип работы точно такой же,
как и у ТРД, за исключением того, что на валу перед компрессором установлен редуктор, приводящий во вращение воздушный винт с более низкими оборотами, чем турбина (рис. 46).
Рис. 46. ТВД: схема двигателя и расчетная схема
Получение мощности, необходимой для вращения ротора компрессора и воздушного винта, обеспечивается турбиной с увеличенным числом
ступеней, поэтому расширение газа в турбине происходит почти полностью и реактивная тяга, получаемая за счет реакции газовой струи, вытекающей из двигателя, составляет только 10–15 % суммарной тяги, в то
время как воздушный винт создает основное тяговое усилие (85–90 %).
Турбовентиляторный двигатель (ТВлД). Этот двигатель является
неким компромиссом между турбореактивным и турбовинтовым двигателями. У турбовентиляторного двигателя (ТВлД) на валу перед компрессором
91
установлен вентилятор, имеющий большее количество лопаток, чем воздушный винт и обеспечивающий высокий расход воздуха через двигатель на
всех скоростях полета, включая низкие скорости при взлете (рис. 47).
Рис. 47. ТВлД: схема двигателя и расчетная схема
Как видим, все рассмотренные двигатели испытывают такой вид на-
гружения, как кручение.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 7
1. Какой вид нагружения называется кручением?
2. Запишите закон Гука при кручении.
3. Запишите формулу, по которой определяется модуль касательного
напряжения на наклонной площадке.
4. Что такое угловая деформация?
5. Чему равен модуль сдвига?
6. Как распределяются касательные напряжения по плоскости попе-
речного сечения?
7. Запишите формулу, по которой определяется касательное напря-
жение при кручении.
8. Запишите систему линейных дифференциальных уравнений, опи-
сывающих задачу на кручение.
9. Каким образом осуществляется расчет на прочность задачи на кру-
чение?
10. Что собой представляет проектный расчет вала?
11. Приведите примеры валов, работающих на кручение, в ракето-
и самолетостроении.
92
ТЕМА 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
XY
XY Z
XY
NM M
, YX
AJ J
σ σ << σ = + ⋅ − ⋅
XY
0τ=
XY
XY
0
G
τ
γ==
xz
yz
zx zy z
0 0 τ
σ 0 0 τ
τ τ σ
≈
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
Рассмотрено моделирование напряженного и деформированного состояний в прямом стержне в частных случаях нагружения: растяжениесжатие, плоский изгиб, кручение. При совместном действии этих нагрузок
задача существенно сложнее. Однако при приближенном решении и малых деформациях допустимо представить сложное нагружение как сумму
результатов простых независимых воздействий (принцип суперпозиции).
В реальных задачах принцип суперпозиции практически всегда справедлив, поскольку предел прочности достигается при малых деформациях.
Исключением являются гибкие стержни и тонкостенные стержневые
конструкции, решение задач для которых осуществляется специальными
приемами. Наиболее часто встречается продольно-поперечный изгиб,
при котором суперпозиция не приемлема. Его рассмотрим далее. В настоящей теме остановимся на задачах, где применим принцип суперпозиции.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В СТЕРЖНЯХ.
РАСЧЕТ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ
Напряженное состояние в стержне, рассмотренное при прямом поперечном изгибе, справедливо и при сложном нагружении, так как
,
по гипотезе плоских сечений и закону Гука при сдвиге
.
Для стержней матрица напряжений в точке (в главных центральных
осях стержня XYZ) имеет вид
,
93
инварианты НС равны (рис. 48)
22 2 2
1 Z 2 YZ ZX Z 3
J ,J ,J 0
= σ = −τ −τ = −τ = −τ =
32
1 23
J J J0σ − ⋅σ + ⋅σ− =
( ) ( )
2
2
zz
2,3
σσ
στ
24
=±+
k
ZX
M
X
J
ρ
τ= ⋅
k
ZY
M
Y
J
ρ
τ= ⋅
Z X Y
σZ τ
ZX τZY τXZ τYZ
z
Y
X
i
,
главные напряжения – корни характеристического уравнения матрицы
напряжений
:
σ
= 0,
(1)
i
j
Рис. 48. НС при сложном нагружении
.
Касательные напряжения в сечении складываются из напряжений от
поперечных сил (по Журавскому) и от кручения, где последние:
,
,
Касательные напряжения, как и нормальные, максимальны (опасны)
на поверхности. Напряжения по Журавскому максимальны вблизи центра
тяжести сечения и, при применении принципа суперпозиции, обычно не
учитываются. В коротких стержнях с тонкостенными профилями их учитывают отдельно.
94
Так как знаки σ
123
σ ≥σ ≥σ
2
2
zz
σσ
τ
24
++
2
2
zz
σσ
τ
24
−+
2
2 22
z
экв 1 3 z
σ
σ σσ 2 τ σ 4
4
= − = + = +τ
2 2 2 22
экв 1 2 2 3 3 1 z
1
σ σ3
2
( )( )( )
= ⋅ = +τ
σ −σ + σ −σ + σ −σ
экв
σ ≤σ
n
max[ ]
σ
≥
σ
(2)
и σ
разные, то главные напряжения
(3)
:
σ1 = σ
(2)
=
, σ2 = σ
= 0, а σ3 = σ
(1)
(3)
=
Таким образом, при принятых допущениях в точках стержня имеет
место двухосное напряженное состояние.
По гипотезе максимальных касательных напряжений эквивалентные
напряжения
,
а по энергетической гипотезе
.
.
Расчет на прочность – проверка условия прочности
или регламентированного запаса прочности
.
Для не тонкостенных стержней пренебрегают касательными напряжениями от поперечных сил (по Журавскому). При аналитическом расчете вычисляют эквивалентные напряжения в точках на поверхности, где
одновременно максимальны нормальные напряжения от изгиба и касательные от кручения.
95
При численном расчете учитывают все напряжения и эквивалентные
экв j i i
(Z ,X ,Y )σ
y
x
dM
Q,
dz
= −
y
du
dz
= ϕ
xY
z
XY
MM
YX
JJ
σ= ⋅ − ⋅
xY
XY
MM
Y X0
JJ
⋅− ⋅=
во всех расчетных точках (
), находят максимальные по мо-
дулю, которые и сравнивают с допускаемыми.
В инженерных расчетах обычно ограничиваются набором относи-
тельно простых частных случаев. Рассмотрим типичные их них.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ
НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ
• Косой изгиб
Рассматривается изгиб стержня одновременно в двух главных плоскостях. Внутренние силы в плоскости XOZ вычисляются по таким же
формулам, что и в плоскости YOZ, за исключением знаков во втором
уравнении равновесия и геометрическом соотношении (
) из-за особенностей правой системы координат.
После решения задач в обеих плоскостях нормальные напряжения
в сечении вычисляются по формуле
.
Особенность заключается в определении опасного (максимального)
значения нормального напряжения. Для этого удобно воспользоваться
очевидным выводом из гипотезы плоских сечений: опасные деформации
(и по закону Гука – напряжения) возникают в точке, максимально удаленной от линии пересечения, начального и деформированного положений
сечения. На этой линии, называемой нулевой линией, нормальные
напряжения равны нулю. Таким образом, ее уравнение
.
96
Проиллюстрируем изложенное графически. На рис. 49 изображено се-
z
σ
j
z
ii
X ,Y
j,i
Xj Yj
z Ai Ai
Xj Yj
MM
YX
JJ
σ= ⋅ − ⋅
Y
X
Нулевая
Опасная
11
1
XY
zA A A
XY
MM
YX
JJ
σ= ⋅ − ⋅
Опасная
1
XY
zA A2 A2
XY
MM
YX
JJ
σ= ⋅ − ⋅
Нулевая
чение, проведены главные центральные оси X,Y и нулевая линия (при
N = 0). Максимальные по модулю напряжения по закону Гука будут в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. Подставляя координаты
этих точек в формулу для
напряжения.
точка
А
1(XA1,YA1
)
линия (N=0)
линия (N≠0)
, находим наибольшие по модулю нормальные
точка
А
2(XA2,YA2
)
Рис. 49. Положение нулевой линии при сложном нагружении
Заметим, что вследствие переменности изгибающих моментов поло-
жение нулевой линии и координаты опасной точки в различных сечениях
различны. Поэтому при аналитическом решении расчет на прочность
становится громоздким. При численном решении задачи для реального
сечения всегда можно указать координаты крайних точек
(напри-
мер, для двутавра это координаты угловых точек). Тогда максимальное
напряжение – большее из напряжений
97
и расчет на прочность сводится к проверке условия
j,i
z
[ ] max[ ]σ≥ σ
xY
z
XY
NM M
YX
AJ J
σ= + ⋅ − ⋅
xY
XY
NM M
Y X0
AJ J
+ ⋅− ⋅=
CC
XX o Y X o
M M cos , M M sin= ⋅α =− ⋅α
X Y YC X
C
M
M
M
α
0
.
• Косой изгиб с растяжением
Задача решается аналогично после вычисления изгибающих моментов и продольных сил. Изменяются только формула для вычисления нормальных напряжений
и уравнение нулевой линии (рис. 49)
.
В практических расчетах напряжения от растяжения малы в сравнении с напряжениями изгиба, и нулевая линия мало смещается от центра
тяжести сечения.
Если нагрузка приложена вертикально, для несимметричного сечения
изгибающие моменты в осях ХY определяются по следующим зависимостям (рис. 50):
.
X
Y
Рис. 50. К определению главных центральных
изгибающих моментов
Xc
98
Опасными являются крайние точки сечения. Их главные координаты
ii
X,Y
Ci Ci
X ,Y
ii i i
iC0C0iC0C0
X X cos Y sin , Y Y cos X sin .
= ⋅ α+ ⋅ α = ⋅ α− ⋅ α
0
0α=
jj
22
j XY
M MM= +
j
jj
z
j
NM
AW
σ= +
j
z
[ ] maxσ≥ σ
b/6
h/6
b
h
X
n
Y
X
Y
a
X
a
P
Нулевая
линия
Y
n
Ядро
сечения
0
h
Y6
b
X6
1
aa
=
⋅
−
⋅
−
находим через координаты
в не повернутых центральных
осях по формулам:
Если считать, что нагрузка приложена по одной из главных осей,
например, изгиб происходит только относительно оси X, то, приняв
, получаем прямой поперечный изгиб сечения.
Для круглого сечения (вала) все центральные оси – главные, в том
числе и ось, совпадающая с суммарным изгибающим моментом
в сечении. Определять положение нулевой линии нет
необходимости, проверяются только все сечения вдоль оси стержня
,
.
• Внецентренное сжатие
В строительстве для изделий из бетона и железобетона, у которых
большие допустимые напряжения при сжатии, фактически недопустимо
растяжение.
Пусть сжимающая сила P приложена в точке с координатами Xa, Y
a
(рис. 51).
Рис. 51. Внецентренное сжатие
99
Нормальные напряжения
22
XY
XY
PY PX Y X
PP
ii
⋅⋅
22
XY
XY
JJ
i ,i
AA
= =
aa
22
XY
YX
01 Y X
ii
=+ ⋅+ ⋅
22
XY
nn
aa
ii
Y ,X
YX
=−=−
22
22
XY
bh
i ,i
12 12
= =
nn
bh
x ,Y
22
≤− ≤−
a a aa
σ=− − ⋅− ⋅=−⋅+ ⋅+ ⋅
z
AJ J A
Y X [1 Y X]
,
где
–
квадраты радиусов инерции сечения (приводятся в справочниках, как
и остальные ГХС).
Нулевая линия
отсекает по осям координат отрезки
и делит сечение на две части – сжатую и растянутую. Геометрическое место точек, при приложении сжимающей силы в которых в сечении отсутствует растяжение, образует ядро сечения (рис. 51).
Например:
− для прямоугольника
,
при нагружении в первой четверти (в остальных не рассматриваем ввиду
полной аналогии) необходимо обеспечить
100