Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Тема 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО
xy
,εε
z
ε
z
σ
z
И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим общий подход к моделированию напряженного и деформированного состояний в теле на простом примере – растяжении (сжатии)
прямого стержня, когда в поперечных сечениях имеют место только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению, линейное
напряженное состояние.
Задача решается в главных центральных осях. При этом внутренние
силовые факторы Mx и My равны нулю, что возможно только при отсутствии поперечных внешних нагрузок. Поперечные линейные деформации
не стеснены и малы, вследствие чего можно пренебречь угловыми
деформациями и касательными напряжениями, которые возникают от переменности
и
. Особенности напряженного состояния в местах
приложения сил – концентрация напряжений – не учитываются. При та-
кой постановке результат решения приближенный.
Как показывает практика, отклонения от точного решения вполне
компенсируются принятыми запасами прочности. В практических расчетах (в курсе «Детали машин») фактический закон приложения внешних
сил учитывается поправками к расчетным напряжениям – коэффициен-
тами концентрации напряжений, значение которых определяется точными расчетами или экспериментально. Реальный характер деформаций
представлен в примере на рис. 24.
Рис. 24. Схема растяжения прямого стержня
51
Параметры задачи – это две неизвестные функции от начальной коор-
z
dw(z)
(z)
dz
ε=
z
N(z)
(z)
A(z)
σ=
q(z)
N(0)
N(z)
w(z)
z
qz(z)
N(l)
w(0)
l
w(l)
динаты сечения z:
− продольная сила N(z) (при растяжении принято обозначать Qz(z) =
= N(z));
− продольное перемещение оси стержня w(z) = w0(z).
При наличии данных параметров возникают:
− линейная деформация по Бернулли, которая постоянна по сечению
(см. тему 3)
;
− нормальное напряжение
.
И деформация, и напряжение являются следствием действующих
внешних нагрузок
на определенным образом закрепленный стержень
(рис. 25).
Рис. 25. Схема нагружения распределенной нагрузкой
чимся погонными нагрузками, постоянными по величине на длине их действия, так как переменную нагрузку всегда с достаточной точностью
можно представить как сумму постоянных. Погонную нагрузку от услов-
Схема приложения нагрузок рассмотрена в примере ранее. Ограни-
52
но сосредоточенной силы Р (рис. 26), приложенной в точке
za=
z
P
q (a z a z))
z
≤ ≤ +∆ =
∆
k
q
z
z
dw N
dz E E A
σ
ε= = =
⋅
z
l
ci b
i
a
Pi q
i
dz z N+dN
N
q
a
Δz
a
P
qz = P/Δz
z
, также
можно представить как
.
Рис. 26. Аналогии между точечной и распределенной нагрузками
В итоге для конкретной задачи имеем k отрезков, на каждом из которых действует постоянная по величине погонная нагрузка
.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Необходимо сформулировать два (по числу параметров) уравнения
связи неизвестных функций от z.
Связь перемещений и продольных сил в сечении определяется законом Гука
.
Второе уравнение получим, рассмотрев равновесие элемента dz (рис. 27).
i
Рис. 27. К составлению математической модели растяжения (сжатия)
53
Получаем
N q dz N dN 0− +⋅ + + =
dN
q
dz
= −
dN(z)
q(z)
dz
dw(z) N(z)
dz E A(z)
= −
=
⋅
z
N(z)
max (z) max [ ]
A(z)
σ = ≤σ
A const=
.
Откуда
.
Задача сводится к решению системы двух линейных дифференциаль-
ных уравнений
(19)
при соответствующих граничных условиях в математическом описании
условий закрепления концов стержня. После их решения можно вычислить напряжения и проверить прочность. Для одноосного напряженного
состояния по 3-й и 4-й гипотезам прочности получаем
.
Расчет на жесткость сводится к проверке величины w в контрольных
точках из соображений работоспособности конструкции.
Таким образом, анализ напряженного и деформированного состояний
сводится к решению системы линейных уравнений (19). Аналитическое
решение возможно при
, численное – всегда.
54
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
z
k
i1
0
N(z) q dz C
=
=− ⋅+
∑
∫
N(z 0) N(0) C= = =
z
k
i1
0
N(z) N(0) q dz
=
=−⋅
∑
∫
z
k
i1
0
q dz 0
при z a;
=
⋅= <
∑
∫
z
k
i1
0
q dz Р при a z b;
=
⋅ = ≤<
∑
∫
z
k
i1
0
qdz P q(z b)при b z c;
=
⋅ = +⋅ − ≤<
∑
∫
z
k
i1
0
qdz P q(z b) q(z c)при z c.
=
⋅ =+⋅−−⋅− ≥
∑
∫
z
l
c
b a
P
q
Уравнения системы можно решить последовательным непосредственным интегрированием. Начнем с уравнения равновесия. При интегрировании с переменной внешней границей
,
где
.
В итоге
.
Интеграл в правой части – сумма внешних сил слева от сечения с координатой z. Например, на схеме c одной силой и погонной нагрузкой
(рис. 28) интеграл будет равен
Рис. 28. Схема стержня с одной силой и погонной нагрузкой
55
Такая запись громоздка, особенно при большом числе нагрузок. Раз-
za zc zc
zb
N(z) N(0) P q (z b) q (z c)
< <≥
<
= − −⋅ − +⋅ −
N(z) N(0) P ЕСЛИ(z a;0;1) q (z b) ЕСЛИ(z b;0;1)
q (z c) ЕСЛИ(z c;0;1)
=−⋅<−⋅−⋅<+
+⋅ − ⋅ <
za zb
N(o) P
w(z) w(0) z (z a)
EA EA
<<
= + ⋅ − ⋅− −
22
zc zc
qq
(z b) (z c) .
2EA 2EA
<≥
− ⋅− + ⋅−
1
W(z) W(0) [N(0) z P (z a) ЕСЛИ(z a; 0;1)
EA
q (z b) ^ 2 / 2 ЕСЛИ(z b;0;1) q (z c)^ 2/ 2 ЕСЛИ(z c;0;1)].
= + ⋅−⋅ − ⋅ < −
−⋅− ⋅ < +⋅− ⋅ <
N(0)
w(0)
бив стержень на участки, в пределах которых не появляется и не кончается нагрузка, получаем более компактную запись кусочно-непрерывной
функции
. (20)
Используя специальные функции типа δ-функции Дирака (в Excel это
стандартная функция ЕСЛИ), можно записать результат единой формулой
, (21)
пригодной для вычисления при любом z.
Второе уравнение системы проинтегрируем с учетом уже полученно-
го решения для N(z). В компактной форме получаем
Через функцию ЕСЛИ:
Задача решается примерно и при переменной площади сечения. Для
этого необходимо дополнительно разбить стержень на участки с условно
постоянной площадью. Чем мельче участки, тем точнее решение.
В некоторых случаях при «благоприятном» виде A(z) второе уравне-
ние может быть проинтегрировано и получено в квадратурах.
Значения произвольных постоянных
и
и силы в начале координат, ищем из граничных условий, т. е. условий закрепления стержня.
56
– перемещения
Рассмотрим примеры.
0 N(0) P q (l b) q (l c)= − −⋅− +⋅ −
N(0) P q (l b) q (l c)= +⋅ − −⋅ −
2
2
0 N(0) l P (l a) q (l b) / 2
q (l c) / 2
= ⋅−⋅− −⋅− +
+⋅ −
22
(l a) (l b) (l c)
N(0) P q q
l 2l 2l
−− −
=⋅ +⋅ −⋅
⋅⋅
2
2
N(0) P q (l b) q (l c)
С
[N(0) l P (l a) q (l b) / 2
EA
q (l c) / 2],
−−⋅− +⋅− =
=− ⋅−⋅− −⋅− +
⋅
+⋅ −
C(l a)
P (1 )
1
EA
N(0) .
Cl
C(l b) C(l c)
1
q (l b) (1 ) q (l c) (1 )
EA
2EA 2EA
−
⋅+ +
=
−−
+
+⋅− ⋅+ −⋅− ⋅+
z
l c
b
a
P
q
z
l
c
b a
P
q
z
l
c
b a
P
q
С
Рис. 29 Варианты
а
б
Левый конец стержня закреплен и неподвижен, а правый свободен (рис. 29, а): w(0) = 0,
N(l) = 0. Из последнего получаем
,
откуда
.
Оба конца стержня закреплены неподвижно (рис. 29, б): w(0) = 0, w(l) = 0. Из последнего
получаем
,
откуда
.
Левый конец стержня закреплен неподвижно, а правый упруго, опора жесткостью С
(рис. 29, в): w(0) = 0, N(l) = –w(l)·C. Из последнего получаем
откуда
закрепления стержня
57
В частных случаях при С = 0 получаем первое решение, а при С = ∞ –
max
max
N
[]
А
σ = ≤σ
62 2
max
8
N
9375
A 93,75 10 м 93,75 мм
[]
10
−
≥==⋅ =
σ
9375 Н
–5625 Н
N(z)
w(z)
4687,5/EA м
Р
q
второе.
После решения системы граничных условий – двух линейных уравнений с двумя неизвестными – можно исследовать кусочно непрерывные
функции N(z) и w(z). Обычно для наглядности строят их графики – эпюры.
Построим их для рассмотренного примера при Р = 10000 Н,
q = 1000 Н/м, a = 0,5 м, b = 1 м, с = 1,5 м, l = 2 м. Тогда N(0) = 9375 Н.
Графики функций представлены на рис. 30.
Рис. 30. Эпюры N(z) и w(z)
Определим требуемую площадь сечения A, если [σ] = 100 МПа = 108 Па,
[w] = 0,001·l м, E = 2·10
11
Па.
• Расчет на прочность
,
.
58
• Расчет на жесткость
max
9375
w 5000 [w]
EA
= ⋅≤
82 2
11
9375 9375 5000
A 5000 4688 / 4 10 м 11, 7 мм .
E [w]
2 10 0,001 20000
−
⋅
≥ ⋅= = ⋅ =
⋅
⋅⋅ ⋅
агом по z. Очевидно, что это логично делать на ЭВМ. Расчет по (
j1 j j j
N N q zP
+
= − ⋅∆ −
j
j1 j
j
N
ww z
EA
+
= + ⋅∆
⋅
,
Лимитирует расчет на прочность.
Построение эпюр предполагает табуляцию функций с определенным
ш
20)
в рассмотренном примере ведется по четырем формулам на разных участках длины стержня. Для линейной функции для построения графика на
участке достаточно расчета в двух точках на границе участка. В других
случаях приходится считать значения в нескольких точках. При большем
количестве участков расчет трудоемок.
Расчет по (21) ведется по единой формуле для всего стержня. Здесь,
как и при расчете по (20), целесообразно использовать ЭВМ и строить
графики по результатам расчетов с малым шагом по z.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Проводится непосредственным численным интегрированием дифференциальных уравнений модели, например методом Эйлера с малым шагом
по z – Δz. Фактически мы разбиваем стержень на большое количество малых участков, в пределах которых считаем функции линейными. На каждом участке может действовать сосредоточенная сила Pj и равномерная погонная нагрузка qj. Их описание суть описание нагрузки на стержень с детализацией по малым участкам. Тогда из определения производной преобразуем дифференциальные уравнения модели в разностный вид, т. е.
,
. (22)
59
Заметим, что такой подход позволяет решать задачу и для стержня
переменного сечения, в то время как переменность сечения при аналитическом решении приводит к существенным трудностям при интегрировании уравнений.
Окончательный расчет по (22) возможен после определения w(0) и N(0).
В Excel эта операция решается просто – процедурой «Поиск решения». Запи-
сав в некоторые ячейки произвольные неизвестные значения w(0) или N(0),
запускаем решение, указав граничные условия. Программа производит подбор нужного значения w(0) или N(0) с требуемой точностью.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 4
1. Какой вид нагружения называют растяжением (сжатием)?
2. Какова математическая модель задачи на растяжение (сжатие)?
3. В чем суть аналитического решения задачи на растяжение
(сжатие)?
4. Как обозначается продольная сила в задачах?
5. Как обозначается продольное перемещение оси стержня?
6. В чем разница между сосредоточенной силой и погонной на-
грузкой?
7. Что такое граничные условия и как они записываются для разных
схем нагружения?
8. Что такое эпюра?
9. Как осуществляется расчет на прочность?
10. Как осуществляется расчет на жесткость?
11. Где применяется операция «Поиск решения»?
60