Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
СХЕМАТИЗАЦИЯ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА
а
б
l0 d
Применение при математическом моделировании аппарата бесконечно
малых значений приводит к необходимости считать материал однородной
и сплошной средой. В противном случае нужно применять дискретную математику, что значительно усложняет математическое описание и расчеты.
По этой же причине приходится считать материал изотропным – свойства
материала одинаковы во всех направлениях. Ясно, что последнее приемлемо для металлов и является существенным упрощением для дерева и композитных материалов.
Математические проблемы приводят также к необходимости считать
материал идеально и линейно упругим. Это свойство позволяет получать
линейные уравнения, решение которых существенно проще нелинейных.
По той же причине используется принцип независимости действия сил.
Последний говорит, что порядок приложения сил не влияет на конечный
результат, что существенно упрощает расчеты на прочность и жесткость.
Ниже приведены обобщенная диаграмма растяжения образца из угле-
родистой стали, чертеж образца (рис. 17, а), фото его установки в испытательную машину ИМ-4Р (рис. 17, б), схема машины (рис. 18) и диаграмма
реального испытания на растяжение (рис. 19).
0
Рис. 17. Образец для испытания
41
Рис. 18. Схема испытательной
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12
Расчет с коррекцией
по (1)
К опр. усл. пред. тек.
К опр. ост. удл. при
разрыве
Без коррекции по (1)
ε
σВ σ
0,2
машины:
1 – винт нагружающего механизма;
2 и 3 – зажимы машины; 4 – рукоять;
5 – трехступенчатый редуктор
(первые две ступени червячные;
третья – зубчатая); 6 – винтовая
пара; 7 – ходовой винт; 8 – верхняя
опора; 9 – рычаг первого рода;
10 – стержень; 11 – маятник;
12 – противовес; 13 – шарнирноподвижная опора; 14 – рычаг;
15 – измерительная шкала; 16 – по-
движная каретка; 17 – барабан;
18 – коническая пара; 19 – валик для
рулонной бумаги; 20 – электродвигатель
При первом нагружении (рис. 20) нагрузка идет по диаграмме растяжения, а разгрузка по закону Гука. Пусть сила Р1 приводит к напряжениям
Рис. 19. Диаграмма напряжений
42
в пределах закона Гука, а сила Р2 – за пределами закона Гука. Приклады-
0,002 (0,2 %)
ε>
Δl
Δl
Р
Δl
P
P2 P1 P
вая силы в порядке Р1 – Р2, получаем удлинение Δl1, изменяя порядок на
Р2 – Р1, получаем Δl2 . Таким образом, принцип независимости действия
сил не выполняется. Уменьшая Р2 и оставаясь в пределах упругости, сохраняем принцип независимости действия сил.
2
1
1
2
Рис. 20. Диаграмма растяжения
В большинстве расчетов выход за пределы упругости не допустим по
следующим причинам.
1. Линейная деформация даже для сталей
и приво-
дит к значительным изменениям размеров детали в процессе эксплуатации
– выходу за пределы допустимых нагрузок (по второй группе предельных
состояний).
деталей, в строительстве – к большим прогибам.
чает, что часть энергии, затраченной на деформацию, переходит в материал, необратимо меняя его свойства, накапливается при циклическом
нагружении, приводит к его усталости. Последний факт знаком всем: по-
В машиностроении это приводит к нарушению условий сопряжения
2. Невозвращение детали к начальным размерам после нагрузки озна-
43
рвать проволоку руками не хватает сил, а многократный ее изгиб при
P
A
σ=
l
lE
∆σ
ε= =
[ ]
E МПа=
5
E 2 10 МПа;≈⋅
5
E 0,72 10 МПа;
≈⋅
5
E 1,12 10 МПа;
≈⋅
5
E (0,1...0,4) 10 МПа.≈⋅
поп
ε = −ν ⋅ε
(0,24...0,32)ν≈
(0,26...0,36)ν≈
больших деформациях быстро приводит к разрушению. В практических
расчетах это выход нагрузок за пределы третьей группы предельных со-
стояний (определяется образованием и развитием трещин и других по-
вреждений).
3. Не выполняется принцип независимости действия сил. Порядок
действия разных нагрузок неизвестен, и результаты не предсказуемы.
Все сказанное приводит к применению в большинстве расчетов линейной зависимости между напряжениями и деформациями и соответствующему ограничению допустимых нагрузок.
При растяжении стандартного образца силой Р продольная деформация рабочей (цилиндрической) части постоянна по длине, равна отношению удлинения Δl к начальной длине l и пропорциональна нормальному
напряжению
, т. е.
,
где E– модуль нормальной упругости материала (модуль Юнга),
− для сталей
− алюминиевых сплавов
− сплавов титана
− бетона
В поперечных площадках деформация меняет знак и
.
:
Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) ν
безразмерный и составляет:
− для сталей
− алюминиевых сплавов
;
;
44
− бетона
(0,16...0,22)ν≈
0,5ν≈
В
B
P
A
σ=
0,002 (0,2 %)ε ≈<
T
σ
0,2
σ
B BT T
[ ] min( / n ; / n )σ≈ σ σ
Р
В
Р
В
;
− резины
.
Заметим, что при некоторой нагрузке Рв в конце опыта на растяжение
в образце можно наблюдать местное утончение – «шейку» (рис. 21).
Рис. 21. Образование «шейки»
при испытании на растяжение
Начиная с этой нагрузки, в образце возникает плоское или объемное
напряженное состояние. Напряжения резко растут вплоть до разрушения,
гипотезы прочности не работают. Соответствующее напряжение называ-
ют пределом прочности или временным сопротивлением
. Напря-
жение, при котором
, при наличии горизонтального
участка в начале диаграммы (пластичный материал) называют пределом
текучести
или условным пределом текучести
, если горизонталь-
ного участка не наблюдается (хрупкий материал). Принято считать
.
СХЕМАТИЗАЦИЯ ФОРМЫ ДЕТАЛИ
Решение задачи расчета на прочность и жесткость для тела произвольной формы аналитически невозможно. Численное решение громоздко, требует специальных навыков и неудобно при проектировании. Для
упрощения задачи проводится схематизация формы тела: стержень, пла-
стина, оболочка.
Стержень – тело, один из размеров которого существенно больше
двух других.
Пластина – плоская деталь, один из размеров которой существенно
меньше двух других.
45
Оболочка – неплоская деталь, один из размеров которой существен-
q
γ
но меньше двух других.
Пример: у ведра дужка – стержень, дно – пластина, боковая поверх-
ность – оболочка.
Реальные конструкции не всегда подходят под принятую схематизацию. В этом случае схема принимается приближенно. Например, вал считают стержнем, а он бывает коротким. Расчеты поправляются специальными коэффициентами. В частности, в деталях машин вводятся специальные допускаемые напряжения для валов из данного материала. В некоторых случаях деталь разбивается на элементы, подходящие под схематизацию. Например, телевизионная вышка – стержневая система.
СХЕМАТИЗАЦИЯ СИЛ. ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
Очевидно, что понятие «сосредоточенная сила» в принципе не применимо в СМ, так как любая сила в точке дает бесконечные напряжения.
Реально имеет место некоторая контактная площадка, и напряжения не
бесконечны. Поэтому правильно ограничиться понятиями вектора
поверхностных сил с размерностью давления и вектора
объемных сил
(силы инерции, силы внешних полей, собственный вес) с размерностью
удельного веса. Для стержней эти силы приводят к оси и называют погонными с размерностью [Н/м] или [Н/мм].
Сложность заключается в правильном описании изменения сил по
площади (попробуйте представить, как меняется давление одной детали
на другую в пределах площадки контакта и размеры этой образующейся
площадки – задача в первом приближении решена Герцем). С другой стороны, очевидно, что за пределами контактной площадки результат
нагружения не зависит от закона распределения сил по площадке (принцип Сен-Венана). Поэтому силы и моменты, действующие по относительно малым площадкам, можно считать сосредоточенными (рис. 22). Расчеты же контактных напряжений вести отдельно в случае необходимости.
46
Например, зубчатые колеса считают отдельно на контактную, отдельно на
h Р (0,95..1,05) Р/А
h
изгибную прочность.
Точные численные расчеты хорошо иллюстрируют принцип Сен-
Венана.
Рис. 22. Схематичное отображение
принципа Сен-Венана
Как видно из примера (рис. 22), на расстоянии порядка поперечного
размера стержня напряжения от сосредоточенной силы распределены
практически равномерно, т. е. допустимо применение принципа СенВенана.
СХЕМАТИЗАЦИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Рассматривается в тесной связи со схематизацией формы детали.
В стержнях поперечное сечение считается плоским после нагружения
(гипотеза Бернулли). В пластинах и оболочках нормаль к срединной поверхности считается после нагружения прямой. Такие упрощения характера деформации существенно упрощают расчеты, уменьшая число параметров.
Рассмотрим деформации на примере изгиба и растяжения (сжатия)
стержня. Задачу решаем в главных центральных осях.
точек оси – wо, поворот сечения относительно оси x – φx, оси y – φy. Рассмотрим два бесконечно близких сечения на расстоянии dz (рис. 23).
Обозначим перемещение точек вдоль оси стержня – w, перемещения
47
0xy
ww y x= + ⋅ϕ − ⋅ϕ
0xy
dw dw y d x d= + ⋅ϕ− ⋅ϕ
y
0
x
d
dw
d
dw
yx
dz dz dz dz
ν
ϕ
ϕ
ε= = +⋅ −⋅
y
0
x
d
dw
d
Е Е( y x )
dz dz dz
νν
ϕ
ϕ
σ=⋅ε=⋅ +⋅ −⋅
y
z
φy+dφ
y
w+dw
w wо+dwo
wo dz y z
φx φx+dφ
x
x
z
φ
y
y
x
Рис. 23. Линейные и угловые деформации стержня
Перемещение точки (волокна) с координатами x,y с учетом поворота
сечения
,
а его дифференциал (приращение на отрезке оси dz)
.
Линейная деформация
.
Закон Гука при растяжении волокна
.
48
Сравнивая с результатами приближенного представления функции
(x,y)
ν
σ
(x,y) a b x c y
σ ≅ +⋅ +⋅
y
zx
xy
M
QM
(x,y) y x
AJ J
σ = + ⋅− ⋅
0
z
dw
Q
aE
A dz
= =
yy
y
Md
bE
J dz
ϕ
=− =−⋅
xx
x
Md
cE
J dz
ϕ
= = ⋅
(x,y)
ν
σ
0
z
dw
Q
dz E A
=
⋅
xx
x
dM
dz E J
ϕ
=
⋅
yy
y
dM
dz E J
ϕ
=
⋅
рядом
или
,
получаем первые три члена ряда:
;
;
.
Итак, представление функции
первыми тремя членами ряда
есть представление перемещений сечения как перемещение плоскости.
Реально сечение не плоское, и отклонения от плоскости описываются отброшенными членами ряда (это называется депланацией сечения).
Для перемещений сечения получаем разрешающие дифференциальные уравнения:
из которых видно влияние площади сечения и главных центральных моментов инерции на деформации.
,
49
,
,
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 3
1. Что такое напряженное состояние в теле?
2. Назовите составляющие полного напряжения.
3. Как проставляются индексы нормального и касательного напря-
жений?
4. В чем заключается закон парности касательных напряжений?
5. Что такое главные напряжения?
6. Что такое полное напряжение? Каким выражением оно опре-
деляется?
7. Что показывают круги Мора?
8. Назовите частные случаи напряженного состояния.
9. О чем свидетельствует гипотеза 3 прочности?
10. О чем свидетельствует гипотеза 4 прочности?
11. О чем свидетельствует гипотеза Мора?
12. Что такое расчетная схема в сопротивлении материалов?
13. Назовите основные допущения при схематизации свойств матери-
ала при математическом моделировании задачи по сопротивлению материалов.
14. Что показывает диаграмма испытания образца на растяжение?
15. Что такое модуль нормальной упругости материала и коэффици-
ент поперечной деформации?
16. Дайте определения предела прочности и предела текучести мате-
риала.
17. Что такое стержень, пластина, оболочка?
18. Поясните суть принципа Сен-Венана.
19. Какие перемещения при деформациях различают?
50