Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Откуда
dv
dz
ϕ=−
2
xx
2
dv
M EJ
dz
=−⋅
3
x
3
dv d v
Q P EJ
dz
dz
=−⋅ − ⋅
24
xy
24
dQ dv dv
P EJ q
dz
dz dz
=−⋅ − ⋅ =−
42
y
2
42
x
q
dv dv
k,
EJ
dz dz
+⋅ =
2
x
P
kEJ=
3
2
X
3
dv d v
Q EJ (k )
dz
dz
=− ⋅ ⋅+
1
v
2
v
12
vvv
= +
1
v
12 3 4 2
v C C z C sinkz C coskz v=+⋅+⋅ +⋅ +
,
,
,
.
Выражая последовательно все неизвестные через v, система сводится
к линейному дифференциальному уравнению 4-го порядка
(43)
где обозначено
, (44)
а формула для вычисления Q принимает вид
Решение (43) – сумма общего решения
и частного решения
уравнения с правой частью:
.
Решение однородного уравнения
(43) методом Эйлера известно:
. (45)
однородного уравнения
, (46)
где С1…С4 – произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий (условий закрепления), которые для типичных случаев приведены
в табл. 2:
121
Номер
схемы
Схема закрепления
Граничные условия
z0=
zl=
1
v0=
,
2
2
dv
0dz=
v0=
,
2
2
dv
0dz=
2
x
кр
2
EJ
P
l
π
=
( 1)µ=
2
v0=
,
dv
0
dz
=
v0=
,
2
2
dv
0dz=
2
x
кр
2
EJ
P
(0,7 l)
π
≈
⋅
( 0,7)µ=
3
v0=
,
dv
0
dz
=
2
2
dv
0dz=
3
2
3
d v dv
k0
dz
dz
+⋅ =
2
x
кр
2
EJ
P
(2 l)
π
=
⋅
( 2)µ=
4
v0=
,
dv
0dz=
v0
=
,
dv
0dz=
2
x
кр
2
EJ
P
(0,5 l)
π
=
⋅
( 0,5)µ=
5
v0=
,
dv
0
dz
=
dv
0dz=
3
2
3
d v dv
k0
dz
dz
+⋅ =
2
x
кр
2
EJ
P
l
π
=
( 1)µ=
6
v0=
,
dv
0dz=
2
2
dv
0dz=
3
3
dv
0
dz
=
Нет решения,
z P z P z
P
z
P z P
z
P
и нагружения
Таблица 2
Р
кр
,
,
,
определитель
тождественно
равен 1
На основе рассмотренных схем можно сделать вывод, что коэффици-
ент приведения µ зависит от вида закрепления стержня.
122
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЗНАЧЕНИИ КРИТИЧЕСКОЙ СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ
14
C , ...,C
кр
2
P
k
EJ
=
1
k
2
кр 1 x
Р k EJ= ⋅
2
x
2
kp
)l
(
EJ
P
⋅µ
⋅π
=
0
dz
dv
k)l(P)l(Q
2
=⋅⇒ϕ⋅=
0
dz
vd
3
3
=
kzcosCkzsinCzCCv
43211
⋅+⋅+⋅
+=
14
C , ,C...
,0СС0)
0(v
41
=+→=
,0Ck0)0(M
4
2
=⋅→=
С учетом граничных условий формируется система линейных алгеб-
раических уравнений для определения
.
Решаем систему методом Крамера. Если определитель системы при
некотором Р = Ркр (т. е.
к бесконечности. Найдя минимальный корень
) обращается в нуль, то прогибы стремятся
соответствующего
трансцендентного уравнения, определяем критическую силу
.
Как видно из таблицы, общий вид формулы для определения крити-
ческой силы называется формулой Эйлера
.
В схеме 2 не удается найти аналитическое решение трансцендентного
уравнения, и оно решено численно (приближенно).
В схеме 6 на правом конце
получаем
. Определитель системы не обращается в нуль, решение
. Откуда из (45)
задачи о величине критической силы в статике отсутствует. В этом случае
необходимо применить динамический метод для окончательного решения
вопроса о критической силе.
Проиллюстрируем изложенный алгоритм на примере схемы 1:
.
Система линейных алгебраических уравнений для
имеет вид
123
,0klcosCklsinClCC0)l(v
4321
=⋅+⋅+⋅+→=
0klcosCkklsinCk0)l(M
4
2
3
2
=⋅⋅+⋅⋅→=
Равенство нулю определителя системы
0)klsinkl
(
k
kl
coskklsink00
klcos
klsinl1
k
0
00
10
0
1
)k(
22
2
2
2
=⋅
⋅
⋅=
⋅⋅
=∆
0k2≠
0
klsin =
π
⋅= nkl
l
k
1
π
=
2
x
2
кр
l
EJ
Pπ=
1=µ
3
n
v(z) C sin z
l
π⋅
=⋅⋅
14 3 2
C C 0, C sinkl 0 C 0== ⋅ =⇒=
n=1
n=2
n=3
.
Но
, что приводит к трансцендентному уравнению
решение которого
.
То есть минимальное значение критической силы (при n = 1)
и
,
.
Аналогично получены критические силы и значения µ для остальных
схем.
В рассмотренном примере при потере устойчивости получаем
(
)
,
и разные формы потери устойчивости при различных значениях n (рис. 64).
Рис. 64. Формы потери устойчивости
124
Если добавить опору в середине стержня, то первая форма не воз-
2
x
2
кр
l
EJ
)
2(
P
π
=
кр
Р/
Р
1,0≤
8,0=
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Р/Ркр
V(P)/V(0)
][
A
P
σ<
можна, и критическая сила возрастает в 4 раза (
).
Интересен вопрос о зависимости решения от соотношения
(рис. 65). Результат численного решения представлен на графике и практически не зависит от способа закрепления. При Р/Ркр
отличается от простого изгиба. При Р/Ркр
решение примерно в 5 раз
прогиб мало
больше.
Рис. 65. Зависимость отношения Р/Ркр
от величины прогиба
Пунктиром показано решение в пределах закона Гука, но при боль-
ших перемещениях.
Приведенным графиком можно воспользоваться для эксперименталь-
ного определения величины критической силы.
Задаем некоторый начальный прогиб v(P = 0) и, увеличивая сжимаю-
щую силу P, регистрируем V(P)/V(P = 0), по графику находим соответствующее P/Pкр, а значит и Pкр. Здесь важно, увеличивая сжимающую
силу, выполнять условие
, т. е. не нарушать условие упругости
и прочности.
125
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
сж
Т
кр
кр
][
A
P
σ≈σ<=σ
2
2
2
2
2
2
min
2
кр
E
)l(
i
E
A)l(
JE
A
P
][
λ
π
=
⋅µ
⋅π=
⋅⋅µ
⋅π
=≥σ
i
l⋅µ
=λ
A
J
i
min
=
][
E
пред
σ
π=λ
пред
λ≥λ
Очевидно, что при продольно-поперечном изгибе неучет взаимного
влияния изгиба и сжатия может приводить к большим ошибкам. Поэтому,
кроме обычного аналитического расчета на прочность, проверяют запас
по критической силе.
Для длинных и тонких (гибких) стержней критическую силу определяют по формуле Эйлера: критические напряжения сжатия должны быть
меньше предела текучести при сжатии
или
где λ – гибкость стержня, определяемая по формуле
,
а радиус инерции
приводится в справочниках.
Обозначим
.
,
Если выполняется условие
,
126
то критическая сила вычисляется по формуле Эйлера
A
E
)
l
(
J
E
Р
2
2
2
min
2
кр
⋅
λ
⋅π
=
⋅µ
⋅
⋅π
=
пред
λ≥
λ
λ⋅+=σ ba
кр
пред0
λ
≤λ
≤
λ
b/)a(
тс0
−σ=λ
кр
σ
кр
σ
сж
Т
σ
()ϕλ
кр
сж
Т
()
σ
ϕλ =
σ
σ
кр
λ
σ
тс
Эйлер:
22
кр
/E
λ⋅π=σ
Ясинский:
λ⋅+
=σ b
a
кр
λ
пред
λ
0
. (47)
Если условие
не выполняется, то используется формула
,
,
предложенная Ясинским (рис. 66). Коэффициенты a и b определяются
экспериментально для конкретной стали. Нижняя граница предельной
гибкости
.
Рис. 66. Графическое сравнение формул по определению
С учетом, что критическое напряжение сжатия
шать предела текучести при сжатии
, по таблицам, которые приводят-
не может превы-
ся в справочной литературе, для некоторых сталей определяется
коэффициент снижения допускаемых напряжений:
.
127
–
Тогда критическая сила
сж
Ткр
)(АP σ⋅λϕ⋅=
][
сж
Т
σ=σ
λ
0
10
20
30
40
50
60
ϕ
1,00
0,99
0,96
0,94
0,92
0,89
0,86
λ
70
80
90
100
110
120
130
ϕ
0,81
0,75
0,69
0,60
0,52
0,45
0,40
λ
140
150
160
170
180
190
200
ϕ
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
.
Для сталей принято
. В табл. 3 приведены значения λ и ϕ
для сталей 2,3,4:
Таблица 3
При численном решении задачи с учетом пластических деформаций
и больших перемещений расчет можно вести просто по допускаемым
напряжениям или по допускаемым перемещениям.
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ
В тех случаях, когда аналитическое решение невозможно или очень
громоздко (погонная сжимающая нагрузка, сила не на конце стержня, комбинация нагрузок и т. д.), традиционно применяется приближенное решение
на основе теоремы Лагранжа – Дирихле. Функция прогибов выбирается
приближенно, но она должна удовлетворять граничным условиям. Составляется выражение для суммы потенциальной энергии деформации стержня
и работы сжимающих сил и приравнивается нулю. Из этого уравнения вычисляется критическая сила или их комбинация и, по формуле (46), коэффициент µ. Вычисленная критическая нагрузка всегда больше фактической,
так как согнуть стержень «неестественно» труднее, чем естественно, т. е. запас можно увеличивать в сравнении с точным решением.
Гораздо более эффективно использовать численное решение на ЭВМ
и метод неидеальностей. Интегрируем численно систему дифференциальных уравнений в малых или больших перемещениях (пунктирная кривая),
128
при небольшой изгибающей нагрузке последовательно увеличиваем сжи-
30...35
)0(v
)P(v
≈
5 %)≤
R
t
)1(3
E
2
кр
⋅
µ−
=σ
σ
кр
мающую нагрузку и строим график как на рис. 67.
При
пасом (
. Так определяется критическая нагрузка и значение µ.
получаем критическую нагрузку с некоторым за-
ПРИМЕРЫ ДРУГИХ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
НА ЭЛЕМЕНТЫ ТО ХП
Без подробностей приведем результаты исследования устойчивости
важного элемента конструкций ракет – цилиндрической оболочки.
Рис. 67. Расчетная схема цилиндрической оболочки
при осевом сжатии
Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при осевом сжа-
тии (рис. 67) можно рассмотреть на примере цилиндрической части ра-
кеты. Минимальные критические напряжения при осевом сжатии определяются по формуле
,
где R и t – радиус и толщина оболочки;
E и µ – модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при равномерном
внешнем давлении (рис. 68) можно рассмотреть на примере возвращаемого на землю для повторного использования топливного бака с герметизирующим клапаном.
129
42 2
22
кр
2 24
22
Et 1 t R ln
р (1 ( ) ) .
ln
R
R n 12 (1 ) l
(1 ( ) )
R
⋅ π⋅ ⋅ ⋅
= + ⋅+
⋅
π⋅
⋅ ⋅ −µ ⋅
−
π⋅
8
R
l
<
R
l
3
2
кр
)
R
t
(
)1(4
1
Eр ⋅
µ−
⋅=
р
kp
Рис. 68. Расчетная схема цилиндрической оболочки
при равномерном внешнем давлении
Критическое давление зависит от длины оболочки l и числа полуволн
потери устойчивости n
Численный анализ показывает, что формула справедлива при
и n > 3. При больших
получаем
,
где Е – модуль Юнга.
В ПАКЕТАХ МКЭ
При определении перемещений решается линейная система алгебраи-
ческих уравнений. Критическая нагрузка рассчитывается умножением
всех внешних сил на некоторый коэффициент α, критическое значение
которого вычисляется из условия равенства нулю определителя системы
(задача Эйлера).
130