Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие для тестового контроля
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра «Общеинженерных дисциплин»
А. М. Кидакоев
Р. Ш. Шайлиев
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
Учебно-методическое пособие
для тестового контроля
Черкесск
2014
1
УДК 539
ББК 30.121
К38
Рассмотрено на заседании кафедры общеинженерных дисциплин.
Протокол № 4 от «30» декабря 2013 г.
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом СевКав-
ГГТА.
Протокол № 5 от «24» апреля 2014 г.
Рецензенты: Байрамуков С. Х. – д.т.н., профессор;
Борсов Р. Г. – к.т.н., доцент
К38 Кидакоев, А. М. Сопротивление материалов: учебно-методическое
пособие для тестового контроля / А. М. Кидакоев, Р. Ш. Шайлиев. – Черкесск: БИЦ СевКавГГТА, 2014. – 60с.
В учебно-методическом пособии приводятся примеры построения
эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в статически определимых
системах.
Учебно-методическое пособие разработано для тестового контроля по
дисциплине «Сопротивление материалов».
УДК 539
ББК 30.121
© Кидакоев А.М., Шайлиев Р.Ш., 2014
© ФГБОУ ВПО СевКавГГТА, 2014
2
Содержание
Введение...………………………………………………………………….
4
§1 Задачи сопротивления материалов……...…………………………..
5
§2 Метод определения внутренних усилий…………………………….
5
§3 Построение эпюр внутренних усилий...…………………………….
8
§4 Примеры построения эпюр внутренних усилий….…..…………….
17
§5 Карточки тестовых вопросов……………………………………….....
42
Список использованных источников ……………………..……………
59
3
Введение
Сопротивление материалов (далее С. м.), наука о прочности и де-
формируемости элементов, деталей сооружений и машин. Основные объекты
изучения С. м. – стержни и пластины, для которых устанавливаются соответствующие методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость при действии статических и динамических нагрузок. С. м. базируется на законах и
выводах теоретической механики, но, помимо этого, учитывает способность
материалов деформироваться под действием внешних сил. Физикомеханические характеристики (предел текучести, предел прочности, модуль
упругости и т.п.), необходимые для оценки прочности и деформативности
материалов, определяются при помощи испытательных машин и специальных измерительных приборов –тензометров. При испытаниях обеспечиваются требуемые условия загружения и высокая точность измерения деформаций
испытываемых образцов материалов. Наиболее характерно испытание на
растяжение образцов, представляющих собой стержни круглого сечения или
полосы с сечением в виде узкого прямоугольника. По результатам этих испытаний строится т. н. диаграмма растяжения-сжатия. Располагая диаграммой испытания и пользуясь разработанными в С. м. методами расчёта, можно
предсказать, как будет вести себя реальная конструкция, изготовленная из
того же материала.
Основное содержание и методы С. м. При деформации твёрдого тела
под нагрузкой изменяется взаимное расположение его микрочастиц, вследствие чего в теле возникают внутренние напряжения. В С. м. определяются
наибольшие напряжения в элементах сооружений или деталях машин. Они
сравниваются с нормативными величинами, т. е. с напряжениями, которые
можно допустить, не опасаясь повреждения или разрушения этих элементов
(деталей). Проверке подлежат также деформации тела и перемещения его отдельных точек. Помимо необходимой прочности, конструкция должна быть
также устойчивой, т. е. обладать способностью при малых случайных кратковременных воздействиях, нарушающих её равновесие, лишь незначительно
отклоняться от исходного состояния. Выполнение этого требования зависит
от внешних сил, геометрии элемента (детали) и от физических констант материала. Для расчёта элементов конструкций в С. м. разрабатываются приближённые инженерные методы, использующие кинематические и статические гипотезы, которые в большинстве случаев оказываются достаточно
близкими к действительности. При выводе расчётных формул для определения напряжений и перемещений производится схематизация рассчитываемого элемента сооружения, его опорных закреплений и действующей нагрузки,
иначе говоря, создаётся расчётная схема (модель) объекта.
4
§ 1 Задачи и методы сопротивления материалов
Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности
и жесткости, то есть разрушения и без существенного изменения геометрических размеров.
Сопротивление материалов – наука о прочности и жесткости элементов
инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся
практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные
размеры деталей машин и различных строительных сооружений.
Основные положения сопротивления материалов опираются на законы
статики, без знания которых изучение курса сопротивления материалов
немыслимо.
§ 2 Метод определения внутренних усилий
При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно,
меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают
дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле будем называть внутренними силами
(усилиями). Для решения задач сопротивления материалов необходимо уметь
определять значение и направление внутренних усилий, например в задачах,
где оценивается прочность конструкции. При их определении применяется
метод сечений.
Рассмотрим тело, имеющее форму бруса и находящееся в равновесии
под действием системы внешних сил F1 (самоуравновешенной системы сил).
Пусть требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении а–а
этого бруса (рис. 2.1, а). Мысленно рассечем его по сечению а–а на две части
и отбросим одну из частей, например часть I (обычно оставляется та часть,
при рассмотрении которой получается более простое решение).
Оставшаяся часть II в общем случае не будет находиться в равнове-
сии. Для сохранения этой части бруса в равновесии необходимо к ней приложить систему усилий, распределенных по сечению а–а (рис. 2.1, б). Эти
усилия и есть внутренние усилия в сечении а–а рассматриваемого бруса. Они
заменяют собой действие отброшенной части I (вместе с приложенными к
ней внешними силами) на оставшуюся часть II. Внутренние усилия, согласно
закону о равенстве действия и противодействия, которые приложены к части
5
II в сечении а–а, равны и противоположны по направлению внутренним уси-
лиям, действующим на часть I в том же сечении.
В соответствии с правилами статики приведем систему внутренних
усилий, действующих на часть II в сечении а–а, к главному вектору R и глав-
ному моменту М, приложенным в центре тяжести этого сечения. Выберем
систему координат х, у, z с началом в том же центре тяжести (точка О). Ось z
направим по внешней нормали к сечению, а оси х, у расположим в его плоскости (рис. 2.1, в).
Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по координатным осям х, у, z. В результате получим шесть составляющих, которые принято называть внутренними силовыми факторами или внутренними
усилиями.
Составляющие главного вектора носят названия: усилие вдоль оси z –
продольной силы N; усилия вдоль осей х и у –поперечных сил Qx и Qy, соот-
ветственно.
Составляющие главного момента носят названия:
момент относительно продольной оси z – крутящего момента Мz;
моменты относительно осей х и у – изгибающих моментов Мх и Мy,
соответственно (рис. 2.1, в).
Рисунок 2.1 – Определение внутренних усилий методом сечений
6
Таким образом, после приложения в сечении а–а к части II усилий, за-
меняющих собой действие отброшенной части I (в общем случае шести силовых факторов), оставшаяся часть II, нагруженная и приложенными к ней
внешними силами, находится в равновесии. Поэтому для части II можно записать шесть уравнений равновесия:
(2.1)
Напомним основные правила составления уравнений равновесия:
1. Проекция силы па ось равна произведению силы на косинус угла
между направлением силы и положительным направлением оси.
2. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.
3. Момент силы относительно оси равен произведению проекции этой
силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо силы.
4. Момент силы относительно оси равен нулю:
а) если сила параллельна оси;
б) если линия действия силы пересекает ось.
Из первых трех уравнений равновесия (2.1) соответственно находим
усилия Qx, Qy, и N, а из трех последних – соответственно моменты Мх, Мy и
Мz.
Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решения уравнений
(2.1), указывает на правильность (знак плюс) или неправильность (знак минус) выбранных направлений внутренних усилий.
Таким образом, метод сечений дает возможность определить в сечении
направление и значение равнодействующих внутренних усилий (или их компонент). Закон же распределения внутренних усилий по сечению остается
неизвестным. Для решения этого вопроса необходимо знать, как деформируется данный брус под действием внешних сил, приложенных к нему.
Как видно из рассмотренного примера, внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержня, меняются вдоль его продольной оси.
Для более наглядного представления характера изменения внутренних усилий вдоль оси z строят их графики.
Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня
называются эпюрами.
Эпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы наметить опасные сечения, т. е. сечения, в которых существует большая вероят-
7
ность наступления разрушения из-за того, что там внутренние усилия достигают наибольших значений.
При построении эпюр сначала устанавливают границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по одной закономерности.
Границами таких участков являются сечения, где приложены внешние сосредоточенные усилия (момент, сила) или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, в которых имеется перелом оси стержня.
§ 3 Построение эпюр внутренних усилий
Разберем на конкретных примерах построение эпюр для балок, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости (параллельной плоскости чертежа).
Построим эпюры Q и М для консольной балки, заделанной правым
концом, изображенной на рисунке 3.1, а.
Рисунок 3.1 – Эпюры Q и М для консольной балки
8
Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы
изменения поперечной силы и изгибающего момента остаются постоянными.
Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней
приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции) или в
которых начинается либо заканчивается распределенная нагрузка, или в которых интенсивность этой нагрузки начинает изменяться по новому закону.
Рассматриваемая балка имеет четыре участка I, II, III и IV, показанных
на рисунке 3.1, а.
Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечной
силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки на расстоянии х
от ее левого конца.
Участок I:
Здесь qx – равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в
пределах отрезка длиной x участка I. Она приложена посредине этого отрезка, а потому ее момент относительно рассматриваемого сечения равен (qx·x/2). Знак поперечной силы отрицателен потому, что проекция равнодей-
ствующей qx направлена вниз; знак изгибающего момента отрицателен потому, что момент qx·x/2 действует против часовой стрелки.
В окончательные выражения Q' и M' значение x подставляется в метрах, так как интенсивность q выражена в mc/м.
Полученные выражения Q' и M' действительны в пределах участка I, то
есть при расстоянииx x имеющем значения в пределах от 0 до 2 м.
Зависимость Q' от x линейная, а потому для построения эпюры Q на
участке I достаточно определить величины Q'при двух значениях x:
при x=0 (в начале участка I)
при x=2 м (в конце участка I)
Зависимость M' от x не линейная, а квадратичная. Для построения эпю-
ры М на участке I вычисляем величины M' при трех значениях x:
9
при
при x =1 м
при x =2 м
По полученным значениям Q' и M' на рис. 3.1, б, в, построены эпюры Q
и М для участка I балки (прямая ab и кривая ).
Ординаты эпюр, соответствующие положительным значениям внутренних усилий, откладываем вверх от осей этих эпюр, а отрицательным –
вниз (оси эпюр параллельны оси балки). При таком построении ординаты
эпюр М получаются расположенными со стороны сжатых волокон балки.
Участок II:
где расстояние x выражено в метрах.
При x=2 м (в начале участка II)
при x=3 м (в конце участка II)
По полученным значениям Q'' и M'' на рис. 3.1,б,в построены эпюры Q
и М для участка II балки (прямые bc и ).
Участок III:
.
;
При x=3 м (в начале участка III)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]