Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2. Рабочая тетрадь для решения задач
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
______________________________________________________________
А.Я. АСТАХОВА
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
В 2 частях
ЧАСТЬ 2
2-е издание, исправленное
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию
в области строительства в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по программе бакалавриата
по направлению 270800 «Строительство»
(02.07.2013 № 102-15/789)
Москва 2014
2
УДК 539.383+539.38+539.412
А 91
Сопротивление материалов : в 2 частях : рабочая тетрадь для решения
задач / А.Я. Астахова ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Моск.
гос. строит. ун-т. — 2-е изд., испр. — Москва : МГСУ, 2014. — Ч. 2. —
44 с.
Разработано на основе многолетнего опыта преподавания на кафедре сопротивления материалов МГСУ. Представляет собой конспекты практических занятий по сопротивлению материалов, в которых подготовленные схемы задач и
текст дополняются самими студентами под руководством преподавателя. Использование данной формы конспекта целесообразно в целях облегчения усвоения курса, экономии времени в процессе объяснения решения задач, позволяет
уделять больше внимания теоретической и физической сущности каждой задачи. Может быть использовано при дистанционном обучении.
УДК 539.383+539.38+539.41
ББК 30.121
ББК 30.121
А 91
кандидат технических наук, профессор Г.М. Чентемиров,
заведующий кафедрой строительной механики
и высшей математики ФГБОУ ВПО «МАРХИ»;
кандидат технических наук А.В. Ильяшенко,
доцент кафедры сопротивления материалов ФГБОУ ВПО «МГСУ»;
профессор кафедры сопротивления материалов
Астахова, А.Я.
Р е ц е н з е н т ы:
ФГБОУ ВПО «МГСУ» Н.М. Атаров
ISBN 978-5-7264-0797-5
ISBN 978-5-7264-0799-9 (ч. 2)
ISBN 978-5-7264-0797-5 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2009
ISBN 978-5-7264-0799-9 (ч. 2) © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2014, с изменениями
Изогнутая ось балки
v — ………………………………..
φ — ……………………………………..
1
____
...........................................................................
σ = ——
vu
xy
2
2
xv
2
2
vx
............................................................................
............................................................................
Гипотезы
1) Гипотеза плоских сечений: .....................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
2) ....................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Правила знаков для v для φ
Жесткие балки имеют
отношение ...............................................................................v = —— ÷ ——
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 2-го порядка
Кривизна балки прямо пропорциональна ...................................................................
и обратно пропорциональна .....................................................................................
При плоском прямом изгибе ...........................
На основании гипотезы плоских сечений...............
......................................................................................
γ = ..............., γ =
= ............или —— = —— ,
По закону Гука σx =.....................................
Продифференцируем обе части уравнения ..............................................................
Дифференциальное уравнение
= —— ; .................................. изогнутой оси балки................
3
Граничные условия
∆φ = ……………
Три типа: 1) .......................................... (...............................................................),
2) ......................................... (...............................................................),
3) ......................................... (...............................................................).
Жесткое Свободный Шарнирно- Шарнирно защемление край неподвижная опора подвижная опора
при x = ........ при x = ...... при x = ...... при x = ......
1) ............... 1) ............... 1) .............. 1) .............
2) ............... 2) ............... 2) .............. 2) ..............
При x = ...... при x = ...... при x = ..... при x = ..... φ φ
1) ............. 1) ............. 1) ............ 1) .........
2) ........... 2) ............ 2) ........... 2) ............
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 4-го порядка.
Метод начальных параметров для определения прогибов
и углов поворота сечения
EJ v ( ....) =............ —— =.........
EJ v ( ....) =.............=............. ( ... )
EJ v ( ....) =.............=............ ( ... ) —— =.........
EJ v ( ....) =............ ......................................................
......................................................
При интегрировании следует учитывать, что
1) начало координат помещается в крайнюю левую точку балки,
при составлении выражения изгибающих моментов берутся силы,
.......................................................................................................................
2) интегрирование ведется по новой переменной (x − ... ).
Полное решение неоднородного дифференциального уравнения ( .... )
состоит из суммы…………….......................................................................................
.........................................................................................................................................
Интегрируем последовательно однородное уравнение.
4
EJ v ( ... ) =........ ( )
1
2
3
1
2
0
1
3
EJ v ( ... ) =..............=..........................................................................( )
EJ v ( ... ) =..............=.........x + .........................................................( )
EJ v ( ... ) =.............. = с
EJ v ( ... ) = с
Получили общее.................................................................
Обозначим в начале координат прогиб v(0) = v
угол поворота φ (...) = φ0, изгибающий момент
— + с
— + с
— + с3....... + с4 ( )
......+ с
( )
,
M(...) = M , поперечную силу Q( ) = Q .
Величины .................................. называются ..............................................................
Из соотношений (....), (....), (....), (....) получаем, что
c
=............., с2=..............., с
Запишем полное решение неоднородного дифференциального уравнения (....)
в виде
=..................., с4=..............................................
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
5
Универсальные уравнения для определения прогибов и углов
0
0
0
0
0
поворота сечений балки
v(x) = v0 + φ
.... ——— ——— ———— ————
———— ———— ∆φ................
φ(x) = φ
——— ——— ———— ————
———— ———— ∆φ
M (x) = – EJφ′(x), Q (x) = –M′(x).
Неизвестные величины в уравнениях прогибов и углов поворота сечений
определяются из граничных условий.
Задача 5.1. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений
по методу начальных параметров.
При x = 0 v0= ......., M
= .........,
φ0= ......., Q0= ..........
v(x) = ——— ———— ————
φ(x) = ——— ———— ————
Задача 5.2. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений
по методу начальных параметров.
Граничные
условия при x = ......................
При x = 0 v0= ......., M
= .........,
φ0= ......., Q0= ..........
v(x) = φ0 x ——— ————
φ( x ) = φ
——— ————
6
Задача 5.3. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений
Граничные условия:
1) при x ....................................
2) при x .....................................
0
Граничные условия:
при x ..............1) ......................
2) ......................
0
по методу начальных параметров.
При x = 0 v0= ......., M
= .........,
φ0= ......., Q0= ..........
v(x) =..............
φ(x) = ...... ——— ————
Задача 5.4. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений
по методу начальных параметров.
При x = 0 v0= ......., M
= .........,
φ0= ......., Q0= ..........
v(x) = —— Неизвестными
в уравнениях
φ(x) = —— являются.........
Граничные условия при x = .........
(x) = ——
Из решения
системы уравнений
(x) = —— находим ..............
Вычислив значения v и φ в характерных сечениях балки, можно построить
эпюры v(x) и φ(x), учитывая следующие зависимости.
В точке, где эпюра «Q» меняет знак, на эпюре «φ» будет точка перегиба.
В точке, где на эпюре моментов M = 0, на эпюре «φ» будет точка
экстремума.
В точке, где на эпюре углов поворота φ = 0, на эпюре «v» будет экстремум.
В точке, где эпюра моментов «M» меняет знак, на эпюре «v» будет точка
перегиба.
7
Задача 5.5. Заданную балку рассчитать методом начальных параметров,…………………….
……………………………….
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Расчет балки с врезанным
шарниром начинается ………
………………………………..
………………………………..
Расчет балки АС.
∑MА = 0 ( )
………………………………..
R =.................................
∑MВ = 0 ( )
R =................................
Эпюра «Q»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Эпюра «M»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Расчет балки ____.
Эпюра «Q»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Эпюра «M»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Подбор сечения в форме..........
M
нб
z
= ............ кнм, R = ...... МПа, γC= ...
W
тр
z
—— = ————— ......................... Принимаем ...............................
Wz=.........см3, Jz=.............см4.
8
Определение жесткости балки при изгибе E = ......................................................
0
max
max
EJz = ..............................................................................................................................
Запишем универсальные уравнения для определения прогибов и углов поворота
сечений заданной балки.
Начальные параметры: при x = ............. v0= ......., M
= ........................,
φ0= ......., Q0= .........................
v(x) = ——— ——— ………… ——— ——— ———
φ(x) = ——— ——— ………… ——— ——— ———
Неизвестную величину ............. определим ................................................................
при x = ............................................
........... = ———— ————
∆φ = —————
Определение прогибов и углов поворота сечений ....................................................
..............................
x = ................v = ———— ————
x = ................v = ———— ————
x = ................φ = ———— ————
φ = ........... ————
x = ................φ = ———— ————
x = ................φ = ———— ————
Построение ...............................................................................................................
Определение наибольшего прогиба в точке, где φ = .............. при x = .............
v
= ———— ———— —————— —————
v
= ——————— φ = ———————
9
Интегральная формула для определения прогибов
Правило А.Н. Верещагина: интеграл от произведения
криволинейной функции ........... на линейную ......... равен
произведению площади эпюры ..........(......) на ординату …..
из эпюры ........., которая находится .......................................
.......................................................................................................
Формула трапеций используется при перемножении
двух линейных функций на рассматриваемом участке
p
M M dx
= — ( ............................................... )
p
M M dx
= — ( .................................................... )
и углов поворота сечений балки
∆ =
= ∑ ———
∆ – обобщенное...................................................{ ——| ——— ———
u v φ
Mp – эпюра изгибающих моментов в заданной балке..........................................
M – эпюра изгибающих моментов в заданной балке ........................................
Для определения горизонтального u и вертикального v перемещений
в рассматриваемой точке..........................................................................................
Для определения угла поворота сечения φ в рассматриваемой точке ...........
........................................................................................................................................
Для ∆ знак плюс
в результате расчета означает, что перемещение
направлено ...................................................................................................................;
знак минус в результате расчета означает, что перемещение направлено
.......................................................................................................................................
Произведение ( ω×y ) принимается со знаком , если обе эпюры Mp и M
расположены ..............................................................................................................,
и со знаком , если обе эпюры расположены .........................................................
........................................................................................................................................
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]