Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие для тестового контроля
.pdf
при x=4 м (в конце участка III)
По полученным значениям Q''' и M''' на рис. 3.1, б, в построены эпюры
Q и М для III участка балки (прямые de и ).
Участок IV:
При (в начале участка IV)
при x = 6 м (в конце участка IV)
По полученным значениям и на рис. 3.1, б, в построены эпюры
Q и М для участка IV балки (прямые).
Изгибающие моменты и поперечные силы в поперечных сечениях
можно определить и через правые внешние силы, используя зависимости
Q= и M= . Но для этого требуется найти значения опорных
реакций в заделке В балки.
Выделим теперь из балки часть CD длиной 2 м (рис. 3.1, а) и приложим
к ней все действующие на нее внешние силы (рис. 3.1, г). К ним относятся
сила P=7 mc и момент M=2mc·м, а также силы и моменты, приложенные к
рассматриваемой части в поперечных сечениях С и D эти силы и моменты
равны поперечным силам и изгибающим моментам в сечениях С и D и представляют собой воздействие частей АС и DB на часть CD.
Поперечная сила Qc в сечении С балки, как это видно из эпюры Q (рис.
3.1,б), равна 4 mc и отрицательна; в соответствии с принятым правилом знаков она стремится вращать часть CD балки против часовой стрелки, относительно некоторой точки Е балки (рис. 3.1, г) и, следовательно, должна быть
направлена вниз. Поперечная сила Q в сечении D положительна, равна 3
11
mc (рис. 3.1,б) и, следовательно, стремится вращать часть CD балки по часо-
вой стрелке относительно точки E; поэтому она должна быть направлена
вниз (рис. 3.1, г).
Изгибающие моменты Mc и Md в сечениях С и D равны соответственно (-6 mc·м) и (-1,5 mc·м), т. е. они отрицательны (рис. 3.1, в); следовательно,
оба они вызывают сжатие нижних и растяжение верхних волокон балки. В
соответствии с этим момент Mc направлен против часовой стрелки, а момент Md по часовой стрелке.
Убедимся в том, что выделенная часть CD балки находится в равновесии. Для этого составим три уравнения равновесия всех действующих на нее
сил (см. рис. 3.1, г):
Равенство нулю значений и свидетельствует о равновесии части CD балки.
На рис. 3.1, д показаны внутренние усилия, действующие в сечении В
балки, совпадающем с заделанным ее концом. Их величины и направления
установлены по эпюрам Q и М (рис. 3.1, б, в). Они представляют собой реакции защемления В балки.
Из эпюры Q (рис. 3.1, б) видно, что в сечении F балки, в котором к ней
приложена сосредоточенная сила P=7 mc, значение поперечной силы изменяется скачкообразно от (-4 mc) до (+3 mc) т. е. на величину Р.
Это является следствием того, что в выражение Q= составляемое
для сечения, расположенного на расстоянии dx левее силы Р, эта сила не вхо-
дит; в выражение же Q= составляемое для сечения, расположенного на
расстоянии dx правее силы Р, она входит.
Итак, в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внеш-
няя сила, перпендикулярная к оси балки (в том числе и опорная реакция в виде
сосредоточенной силы), значение поперечной силы Q изменяется скачкообразно на величину приложенной силы. Когда сосредоточенная внешняя сила
направлена вверх, на эпюре Q (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх, а когда сила направлена вниз – скачок вниз.
Аналогично в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный
внешний момент (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенного
12
момента), значение изгибающего момента М изменяется скачкообразно на
величину приложенного момента. Когда сосредоточенный внешний момент
действует по часовой стрелке, на эпюре М (при перемещении слева напра-
во) имеется скачок вверх; а когда момент действует против часовой стрелки – скачок вниз. Так, например, в сечении G балки, в котором приложен к
ней сосредоточенный момент M=2mc·м (рис. 3.1, а), на эпюре М (рис. 3.1, в)
имеется скачок вверх (при перемещении слева направо), равный 2 mc·м а в
сечении В – скачок вниз, равный 3 mc·м (т. е. равный реакции опоры В в виде
сосредоточенного момента, направленного против часовой стрелки).
Построим теперь эпюры Q и М для простой балки на двух опорах,
изображенной на рисунке 3.2, а. Балка состоит из двух участков.
Рисунок 3.2 – Эпюры Q и М для простой балки
13
Определим вертикальные опорные реакции и балки. В опоре А
может возникать и горизонтальная реакция, однако при заданной вертикаль-
ной нагрузке она равна нулю. Для определения реакций и составим
уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно точек А
и В:
+Pb = 0,
или
откуда
или
откуда
Для проверки найденных значений и составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось:
Следовательно, реакции и определены правильно.
Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечных
сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.
Участок I:
Где – расстояние (в метрах) от левого конца балки до рассматривае-
мого сечения.
При =0 (на левом конце балки в начале участка I)
При =2 м (в конце участка I)
14
;
.
В середине участка I (при =1 м)
.
На участке I балки изгибающий момент имеет максимальное значение.
Участок II:
где – расстояние (в метрах) от правого конца балки до рассматривае-
мого сечения.
При =2 м (на левом конце участка 11)
При =1 (в середине участка II)
При =0 (на правом конце балки – в сечении В)
По полученным значениям Q', Q'', M' и M'' на рис. 3.2. б, в построены
эпюры Q и М. На эпюре Q имеются уступы (скачки) в сечениях А, С и В, равные величинам внешних сил
Р и На эпюре М уступов нет, так как на балку не действуют
внешние сосредоточенные моменты.
В качестве примера рассмотрим участок I балки, изображенной на рис.
3.2, а. На этом участке балки поперечная сил; и изгибающий момент опреде-
ляются выражениями:
.
15
Поперечная сила равна нулю в сечении, для которого абсцисса = в
этом сечении изгибающий момент имеет экстремум (рис. 3.2, б, в). При
< поперечная сила положительна и, следовательно, изгибающий момент
М возрастает слева направо; при > поперечная сила отрицательна, а по-
тому изгибающий момент убывает.
Таким образом, при = возникает максимальный изгибающий момент. Для определения значения приравниваем выражение Q' нулю:
откуда
Подставив значение =1,25 м в выражение M' найдем величину
Изложенные выводы, вытекающие из теоремы Журавского [см. формулу
(6.7)], устанавливают зависимости между эпюрами М и Q; они позволяют
упростить построение и проверку этих эпюр. Аналогичные зависимости, вытекающие из формулы (5.7), имеются между эпюрами поперечной силы Q и
нагрузки q. Так, например, чем больше значение интенсивности q распределенной нагрузки, тем круче линия, ограничивающая эпюру Q. На участках
балки, на которых нагрузка q положительна (направлена снизу вверх), поперечная сила Q возрастает, а на которых отрицательна, – убывает.
На участках действия распределенной нагрузки q поперечные силы изменяются по длине балки (при этом, если интенсивность q постоянна, то поперечная сила изменяется по линейному закону); эпюры изгибающих моментов на этих участках ограничены кривыми.
На участках балки, на которых распределенная нагрузка отсутствует,
поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону.
16
§ 4 Примеры построения эпюр внутренних усилий
Эпюры внутренних усилий имеют важное значение для расчета конструкций. Поэтому рассмотрим ряд примеров построения эпюр с использованием различных приемов. На основе этих примеров сделаем некоторые
общие выводы.
Построим эпюры Q и М для балки, заделанной левым концом, нагруженной на правом конце моментом М (рис. 4.1, а).
По формулам (3.7) и (2.7)
В рассматриваемом случае поперечная сила равна нулю (т. е. балка
находится в состоянии чистого изгиба), а изгибающий момент имеет постоянное значение.
По полученным выражениям Q и М на рис. 4.1, б, в построены соответствующие эпюры. Построим эпюры Q и М для балки, заделанной левым концом, нагруженной на правом конце силой Р (рис. 4.2, а).
Рисунок 4.1 – Действие изгибающего момента
Рисунок 4.2 – Действие поперечной силы
17
По формулам (3.7) и (2.7)
Эпюры Q и М показаны на рис. 4.2, б, в.
Построим эпюры Q и М для балки, заделанной правым концом, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4.3, а).
В сечениях участка I балки поперечные силы и изгибающие моменты
равны нулю, так как слева от любого такого сечения нет действующих на
балку внешних сил:
Для участка II по формулам (3.7) и (2.7)
где x –расстояние от рассматриваемого сечения до начала участка II (до
начала действия нагрузки q).
Эпюры Q и М, построенные по полученным выражениям, изображены
на рис. 4.3, б, в.
На границе участков I и II поперечная сила равна нулю, а потому касательная к линии, ограничивающей эпюру М, параллельна оси эпюры (в данном случае совпадает с осью эпюры).
Опорные реакции в заделке можно определить по эпюрам Q и М. Они
равны соответствующим ординатам эпюр в опорном сечении балки. Эти реакции показаны на рис. 4.3, г приложенными к заданной балке, освобожденной от заделки.
Построим эпюры Q и М для простой балки, нагруженной в пролете одной вертикальной силой Р (рис. 4.4, а).
Из уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки В (рис. 4.4, б)
находим
Из уравнения
получим
.
18
Рисунок 4.3 – Консольная балка
19
Рисунок 4.4 – Простая балка
Рассматриваемая балка имеет два участка (рис. 4.4, б).
Составим выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента
М. По формулам (3.7) и (2.7) получим:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]