Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие для тестового контроля
.pdf
Рисунок 5.3 – К примеру 2.3
z=l N= y bhl
Вычислим производную – Следовательно, если эту производную приравнять к нулю, то у функции N будет экстремум при z=0 и эпюра N должна здесь касаться базисной линии. Вид эпюры N изображен на рис.
2,6, в.
Пример 2.4. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изоб-
раженного на рисунке 5.4, а.
Решение. Разбиваем стержень на два участка: I и II. Используя метод
сечений, на участке I мысленно проводим в произвольном месте сечение I—I
(начало координат принимаем в крайнем левом сечении), отбрасываем правую часть стержня в рассматриваем равновесие оставшейся левой частя с
приложенным в месте сечения положительным крутящим моментом М и
внешней нагрузкой. Тогда в соответствии с приведенным правилом знаков
для участка I получаем
Аналогично определяем крутящий момент в произвольном сечении 2–2
участка II (оставшейся частью является правая, начало координат – в крайнем правом сечении):
31
Рисунок 5.4 – К примеру 2.4
По полученным выражениям строим эпюру Мх (рис. 5.4, б).
Для проверки правильности построения эпюры Мх используем дифференциальную зависимость (2.3). Вычисляем первые производные на участках
I и II:
Отсюда следует, что на участке I должна действовать равномерно распределенная моментная нагрузка интенсивностью т, а на участке II она отсутствует (рис. 5.4, а).
Пример 2.5. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих момен-
тов для простой балки, натуженной, как покатано на рис. 5.5, а
Решение. Горизонтальная реакция в опоре А равна нулю, так как
внешняя нагрузка перпендикулярна оси балки. Определим вертикальные
опорные реакции VA и VB из уравнений равновесия:
Отсюда
32
Рисунок 5.5 – К примеру 2.5
Положительные знаки, полученные из решения этих уравнений, у
опорных реакций указывают на то, что их действительное направление совпало с предполагаемым.
Далее следует обязательно проверять правильность определения реакций VA и VB, составив следующее уравнение равновесия:
Следовательно, реакции найдены верно.
В соответствии с характером нагружения разобьем балку на два участка (рис. 5.5, а). Для составления выражений для Q и M применим метод сечений. Рассечем балку в произвольных сечениях на каждом участке и рассмотрим на участке I равновесие левой части балки (ось z направлена вправо,
начало координат в точке А), а на участке II равновесие правой части (ось z
направлена влево, начало координат в точке В). Эти части балок показаны на
рис. 5.5, а.
Выражения поперечных сил и изгибающих моментов будут иметь следующий вид:
33
участок I:
участок II:
Поперечная сила на участке I изменяется по линейной зависимости (зависит от z в первой степени). Поэтому для построения эпюры, Q на этом
участке достаточно вычислить значения Q в начале и в конце участка: при
=0 Q=3qa; при =4а Q= −qа,
Затем, отложив их, соединить прямой линией. На участке II поперечная
сила постоянна (не зависит от z) и поэтому эпюра Q представляет собой прямую линию, параллельную базисной линии. Эпюра поперечных сил показана
на рис. 5.5, 6.
На участке I изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости (зависит от z во второй степени). Для построения эпюры М следует
определить значения изгибающего момента в трех сечениях: в начале и в
конце участка, а также в сечении, где Q=0, так как здесь момент достигает
экстремального значения (максимума или минимума). Последнее утверждение следует из дифференциальной зависимости (2.7).
Вычислим значения М в начале и в конце участка: при =0 М=0; при
=4а M=4qa2. Определим сечение, где Q=0. Для этого выражение попереч-
ной силы Q1 приравняем к нулю:
отсюда =3а.
Найдем значение М в этом сечении:
Отложив вычисленные значения изгибающих моментов, проведем через них квадратную параболу с вершиной в сечении =3а (здесь касательная
к эпюре М должна быть параллельна базисной линии).
34
Заметим, что при отсутствии сечения, в котором Q=0 и М=M
деляют значение момента в сечении посередине участка.
На участке II изгибающий момент изменяется по линейной зависимости. Вычислим значения М:
при при =0 М=0; при =2а M=2qa2–в по этим ординатам построим
эпюру М. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.5, е.
Пример 2.6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
для консольной балки, нагруженной, как показано на рис. 5.6, а.
Решение. Определим опорные реакции из уравнений равновесия:
При определении опорных реакций распределенная нагрузка была заме-
экстр
опре-
нена равнодействующей, которая равна площади этой нагрузки (площади треугольника) и приложена – в ее центре тяжести, т. е. на расстоянии 1/3 высоты
треугольника от его основания: 6a=2a (рис. 5.6, а).
Проверим правильность определения реакций:
Следовательно, опорные реакции найдены верно.
Данная балка имеет два участка. Составим выражения Q и М для участков I и II, используя метод сечений.
Для произвольного сечения I—I на участке I (0 ≤ x1 ≤ 6a) запишем выражения Q1 и М1, рассматривая равновесие левой отсеченной части балки:
35
Рисунок 5.6 – К примеру 2.6
Ординату распределенной нагрузки qz найдем из подобия треугольников с высотой z1 и 6а:
Рассматривая равновесие правой части балки на участке II (0 ≤ x1 ≤ 2a)
для сечения 2–2, получим Q2=0 М=-1,5qa2.
Таким образом, на участке I поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а изгибающий момент – по кубической; на участке II
поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент постоянен.
Построим эпюру Q. Для ее построения на участке I вычислим значения:
при x1=0 Q=0.75qa; при x1=6a Q=-2.25qa
Через них проведем квадратную параболу, обращенную выпуклостью
вверх, так как в сечения A (x1=0) находится ее вершина: здесь ее первая про-
изводная равна нулю: qa= =0 (касательная к эпюре Q в этом сечении долж-
на быть параллельна базисной линии). На участке II Q=0.
36
I:
Построим эпюру М. Определим значения М в начале и в конце участка
при x1=0 M=0; при x1=6a M=-1,5qa2
На этом участке есть характерное сечение, где Q=0 и М=М
экстр
.
Найдем его:
отсюда, решая квадратное уравнение, найдем z1=3а (второй корень не
имеет физического смысла). Определим момент в этом сечении:
По вычисленным значениям изгибающих моментов проводим кубическую параболу с вершиной при z1=3а (касательная к эпюре М в этом сечении
параллельна базисной линии). На участке II изгибающий момент постоянен:
М
=-l,5qa2. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на
2
рис. 5.6, 6, в.
Пример 2.7. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо-
ментов для балки, нагруженной распределенной нагрузкой, изменяющейся
по квадратичной зависимости qx=q
2
(рис. 5.7, а).
Рисунок 5.7 – К примеру 2.7
37
Решение. Выберем начало координат на левой опоре, направив ось z
вправо, а ось у – вниз. Получим выражения Q и М, используя дифференциальные зависимости. Так, применяя зависимость (2.8), запишем
Здесь нагрузка q принята положительной, как и при выводе зависимости (2.8). Дважды интегрируя, найдем
Значения произвольных постоянных С и D определим из граничных
условий:
при x=0 M=0; D=0; при z=l M=0, C=
С учетом этого выражения Q и М принимают вид
Опорные реакции VA и VB равны поперечным силам на опорах.
Найдем их:
при x=0 QA=VA= ; при QB=VB=
(знак «–» относится к поперечной силе).
Приравнивая выражение Q к нулю, определим положение сечение, в
котором изгибающий момент достигает экстремума:
Подставляя значение z0 в выражение М, вычислим
Используя выражения Q и М, определим значения поперечных сил и
изгибающих моментов в сечениях 0,25l, 0,5l, 0,75l и построим эпюры Q и М,
которые показаны на рис. 5.7, б, в.
Пример 2.8. Построить эпюры N,Q и M для рамы, показанной на рис.
5.8, а.
38
Решение. Определим опорные реакции из уравнений равновесия;
∑Z=0, HA-q4a=0, отсюда HA = q4a
Рисунок 5.8 – К примеру 2.8
Все реакции найдены независимо друг от друга. Проверим правильность их определения, составив следующие уравнения равновесия:
Следовательно, опорные реакции вычислены правильно.
39
Разделим рамы на три участка: АС, ВС и CD. На каждом участке в произвольном месте проведем сечение (рис. 5.8, а) и составим уравнения равновесия для отсеченных частей рамы.
На участке АС (0 ≤ z1 ≤ 3a) в сечении 1—1, рассматривая равновесие
левой части рамы, получим:
(растянуты нижние волокна стержня AС).
На участке ВС (0 ≤ z2 ≤ 4a) в сечении 2—2, рассматривая равновесие
нижней части рамы, имеем:
(растянуты левые волокна стержня BС).
На участке СD (0 ≤ z3 ≤ a) в сечении 3—3, рассматривая равновесие
правой части рамы, найдем:
(растянуты верхние волокна стержня CD).
По этим выражениям построены эпюры продольных и поперечных сил,
изгибающих моментов, изображенные на ряс 5.8, б, в, г.
Построенные эпюры следует проверить, используя дифференциальные
зависимости между q,Q и M. Кроме того, необходимо проверить равновесие
узлов рамы, т. е. частей рамы, полученных проведением сечений, расположенных на бесконечно малых расстояниях от точки соединения стержней, и
отдельных ее частей.
Рассмотрим равновесие узла С (рис. 5.8, д), приложив в сечениях внутренние усилия в соответствии с построенными эпюрами N, Q и М. Даже не
составляя уравнений равновесия, видим, что узел С находится в равновесии.
Проведем сечение а–а и рассмотрим равновесие правой части рамы
(рис. 5.8, е). К этой части рамы приложим внешние нагрузки и в местах сечений продольные и поперечные силы, изгибающие моменты в соответствии с
эпюрами N, Q и М. Составим уравнения равновесия для отсеченной части:
Следовательно, рассматриваемая часть рамы находится в равновесии.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]