Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие для тестового контроля
.pdf
участок I (0 ≤ x ≥ a):
участок II (a ≤ x ≥ l):
В данном случае значения Q'' и M'' проще определить через правые силы:
Значения поперечных сил в пределах каждого участка постоянны.
Эпюра Q, построенная по полученным выражениям, показана на рис. 4.4, в.
Значения изгибающих моментов M' и M'' линейно зависят от
величины x. Поэтому для построения эпюры М достаточно знать две ее ординаты на каждом участке:
при x=0
;
при x=a
при x=l
.
Значения изгибающих моментов на концах балки (при x=0 и x=l) можно не определять. Эти моменты равны нулю, потому что концы балки опираются на шарнирные опоры, не воспринимающие изгибающих моментов.
21
Изгибающий момент в сечении у конца балки может отличаться от нуля
лишь тогда, когда оно заделано или когда к балке в этом сечении приложен
внешний сосредоточенный момент.
Эпюра М, построенная по полученным значениям ординат, показана на
рис. 4.4, г.
Наибольший изгибающий момент M= Pab/l возникает в сечении под
силой Р. В случае, когда сила Р приложена по середине балки (т. е.
при a=b=l/2), наибольший момент M=Pl/4.
Из рис. 4.4 следует, что на участках балки, на которых к ней не приложена распределенная нагрузка, перпендикулярная к ее оси, значения Q постоянны, а значения М изменяются по линейному закону.
Эпюра Q в сечении, в котором к балке приложена сила Р, имеет скачок,
равный Р (см. рис. 4.4, в). Следовательно, линия, ограничивающая эпюру М,
в этом сечении должна иметь перелом (см. вывод 6, § 5.7); Аналогичные
скачки в эпюре Q и переломы в эпюре М имеются и у опор балки, так как
опорные реакции представляют собой для балки внешние сосредоточенные
силы.
Построим эпюры Q и М для простой балки, нагруженной в пролете
внешним моментом M (рис. 4.5, а). Из уравнения момента всех сил относительно шарнира В (рис. 4.5, б)
находим
Из уравнения
имеем
22
Рисунок 4.5 – Действие сосредоточенного момента
Полученное отрицательное значение реакции указывает на то, что в
действительности она направлена не вверх, как это принято, а вниз. Оставляем реакцию RA направленной вверх, но значение ее считаем отрицательным,
хотя можно направить ее вниз и считать положительной.
Рассматриваемая балка имеет два участка. Составляем для них выражения Q и М [с помощью формул (3.7) и (2.7)]:
участок I (0 ≤ x ≥ a):
23
участок II (a ≤ x ≥ l):
Из выражений Q' и Q'' видно, что поперечная сила во всех сечениях
балки равна (-M/l/) Определяем значения изгибающих моментов:
при x=0
при x=a
при x=a
при x=l
Эпюры, построенные по полученным значениям Q и М, изображены на
рис. 4.5, в, г.
Прямые, ограничивающие эпюру М на обоих участках, параллельны
друг другу. Это связано с тем, что поперечные силы на обоих участках одинаковы. Эпюра М в сечении, в котором к балке приложен внешний момент,
имеет скачок, равный величине этого момента.
Построим эпюры Q и M для простой балки, нагруженной по всей длине
равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4.6, а).
24
Рисунок 4.6 – Действие распределённого груза
Опорные реакции и (рис. 4.6, б), очевидно, равны друг другу, так
как балка симметрична относительно своей середины.
Из уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось
при = получаем
Составим выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента
М в сечении балки с абсциссой x.
По формулам (3.7) и (2.7)
25
Нетрудно убедиться в том, что эти выражения удовлетворяют теореме
Журавского (6.7):
Поперечная сила в рассматриваемом примере изменяется по линейному
закону. Следовательно, для построения эпюры Q достаточно определить два
ее значения:
при x=0
при x=
Построенная по этим значениям эпюра Q изображена на рис. 4.6, в.
Изгибающий момент в рассматриваемом примере изменяется по закону
квадратной параболы. Для построения эпюры М определяем значения момента для сечений балки с интервалом между ними, равным l/4:
при x=0
M=0
при x=l/4
при x=l/2
при x=3l/4
при x=l
М=0.
Построенная по этим значениям эпюра М изображена на рисунке 4.6, г.
Пример 2.1. Для пространственного стержня (рис. 5.1, а) определить
значения и направления внутренних усилий в сечениях I–I и II–II.
Решение. Для определения значений и направлений внутренних усилий в сечениях I–I и II–II.применим метод сечений.
Сечение I–I. Рассечем пространственный стержень в сечении I–I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня ВС (рис. 22, 6). Одну часть
стержня, например содержащую заделку, отбросим, и действие ее на остав-
26
шуюся часть заменим шестью внутренними усилиями N, Qx, Qy и Mz, М
, М
х
приложенными в сечении I–I.
Заметим, что в стержне, закрепленном при помощи жесткой заделки,
целесообразно оставлять ту часть стержня, которая не закреплена, так как тогда не требуется определять опорные реакции,
Рисунок 5.1 – К примеру 2
y
Далее выберем прямоугольную систему осей х, у, z, совместив начало
координат с центром тяжести сечения I–I. Ось х направим вдоль оси рассеченного стержня ВС (в сторону внешней нормали сечения), а оси х и у расположим в плоскости его поперечного сечения, как показано на рис. 5.1, б. Такой выбор осей является обязательным.
Внутренние усилия Qx, Qy, N направки вдоль соответствующих положительных осей х, у, z внутренние усилия М
, М
и Мх – по ходу часовой
х
у
стрелки при взгляде на оставшуюся часть со стороны положительного
направления тех же осей. Такие направления внутренних силовых факторов
будем считать положительными.
Часть стержня, нагруженная внешними силами F, 2F и усилиями, приложенными в сечении I—I, находится в равновесии (рис. 5.1, 6). Для этой части стержня составим шесть уравнений равновесия, из решения которых
определим внутренние усилия в сечении I–I:
27
Таким образом, в сечении I–I действует четыре внутренних усилия (Qx
= 0, Му=0), причем два из них – и Мх –в направлении, противоположном при-
нятому (на рис 5.1, б действительные направления их показаны пунктиром).
Сечение II–II. Рассечем стержень в сечении II–II плоскостью, перпендикулярной оси стержня CD. Часть стержня, содержащую жесткое закрепление, отбросим. Выберем, систему координатx х, у, z, действие отброшенной
части на оставшуюся заменим шестью внутренними усилиями, как показано
на рис. 5.1, в. Эта часть стержня находится в равновесии; составим для нее
уравнения равновесия:
Следовательно, в сечении II–II возникает четыре внутренних усилия
(Qy =0, Мx=0), причем два из них – Qx и Мх – направлены в обратную сторону
(рис. 5.1, в).
Пример 2.2. Построить эпюру продольных сил для стержня, нагруженного продольными силами (рис. 5.2, а).
Решение. Стержень имеет два участка: I и II. Выберем начало коорди-
нат в левом крайнем сечении,
Найдем закономерности изменения продольной силы на каждом участке. Для этого используем метод сечений – в произвольных местах на участках I и II проведем сечения 1–1 и 2–2 и каждый раз будем отбрасывать пра-
28
вую часть стержня, содержащую закрепление, для того чтобы предварительно не определять опорную реакцию.
Оставшиеся левые части уравновесим положительными (растягивающими) продольными силами N1 и N2 (рис. 5.2, б, в).
Заметим, что во избежание ошибки следует неизвестное внутреннее
усилие принимать всегда положительным, так как знак усилия, получаемый
из решения, позволит установить:
1) правилен ли был выбор направления силы N;
2) какой вид деформации при этом возникает – растяжение или сжатие.
Для оставшихся (левых) частей запишем уравнения равновесия:
Рисунок 5.2 – К примеру 2.2
Определение продольных сил на участках I и II
29
Рисунок 5.2.1 – К примеру 2.2 Построение эпюры продольных сил
Из полученного решения видно, что в пределах каждого участка продольная сала остается постоянной, т. е. не зависят от продольной координаты
z, и на участке II вместо предполагаемой растягивающей силы продольная
сила будет сжимающей (на рис. 5.2, в она показана пунктиром).
По полученным выражениям для N1 и N2 построим эпюру продольных
сил, изображенную на рисунке 5.2.1
Пример 2.3. Построить эпюру продольных сел для стержня пере-
менного сечения от действия собственного веса; высота сечения h, объемный
вес материала у (рис. 5.3, а).
Решение. Проведем сечение на расстоянии х от нижнего конца стерж-
ня, отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижнее части стержня
(рис. 5.3, б). Ширина стержня в этом сечении равна bх=bz/l, а продольная сила
– весу нижней части:
Отсюда видно, что эпюра продольных сил будет очерчена по квадратной параболе. Найдем ординаты эпюры N: при z=0, N=0.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]