Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
(1)
Если у тела отняты еще несколько степеней свободы для увеличения
xy
(x,y), (x,y), (x,y)στ τ
ν
τ
x
τ
y
τ
xx
A
Q dx dy= τ⋅ ⋅
∫∫
yy
A
Q dx dy= τ⋅ ⋅
∫∫
z
A
Q dx dy= σ⋅ ⋅
∫∫
x
A
M y dx dy= ⋅σ⋅ ⋅
∫∫
y
A
M x dx dy=− ⋅σ⋅ ⋅
∫∫
z xy
A
M (y x ) dx dy= ⋅τ − ⋅τ ⋅ ⋅
∫∫
его жесткости (статически неопределимые задачи), дополнительные реакции ищутся методами сопротивления материалов из условия отсутствия
деформаций (перемещений) в опорах.
Фактически внутренние силы распределены по плоскости сечения
в виде нормальных и касательных напряжений, которые, в свою очередь,
переменны, т. е. являются функциями координат x и y точки сечения
.
Введенное ранее касательное напряжение
разложено по координатным осям
и
.
в плоскости сечения
Заметим, что внутренние силы есть сумма сил в сечении от напряже-
ний в точках этого сечения, т. е. результат двойного интегрирования сил
на элементарных площадках. Поэтому
,
,
,
,
где А – площадь сечения до нагружения. В формулах принято положительное направление момента против часовой стрелки, если смотреть
с конца оси (правая система координат).
,
,
11
Левая часть уравнений может быть найдена приближенно методами
22
111
f(x, y) a b x c y a x b y c x y ...=+⋅+⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅+
357
xxx
sin x x ...
3! 5! 7!
=−+−+
(x,y)σ
f(x,y) (x,y) a b x c y=σ ≅ +⋅ +⋅
теоретической механики. Приближенность определяется тем, что размеры
и положение сечения несколько меняются после нагружения. Как будет
показано ниже, эта погрешность для конструкционных материалов незначительна и вполне компенсируется в пределах запаса прочности.
В правой части содержатся неизвестные функции напряжений. Их
определение и является задачей расчета на прочность.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИДЕ РЯДА.
ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЯДА
Любая аналитическая функция может быть представлена рядом,
например рядом Тейлора:
.
Проблема в нахождении необходимого числа разрешающих уравнений для определения коэффициентов ряда a, b … .
В курсе высшей математики для некоторых функций задача решена.
Например, доказано, что
и стремится к точному решению с увеличением длины ряда, а ошибка при
ограниченной длине ряда не превышает величины первого отброшенного
члена. В практических инженерных расчетах достаточно учитывать первые 4 члена ряда.
Интегральные уравнения (1), полученные выше и включающие
, позволяют определить три первых члена искомого ряда нормаль-
ных напряжений. Подставляя соответственно укороченную формулу
12
ряда в уравнения для
zxy
Q ,M ,M
z
AA A
Q a dx dy b x dx dy c y dx dy≈⋅ ⋅+⋅ ⋅⋅+⋅ ⋅⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
2
x
AA A
M a y dx dy b x y dx dy c y dx dy≈⋅ ⋅⋅+⋅ ⋅⋅⋅+⋅ ⋅⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
2
y
AA A
M a x dx dy b x dx dy c x y dx dy− ≈⋅ ⋅⋅+⋅ ⋅⋅+⋅ ⋅⋅⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
(x, y)σ
A
A dx dy= ⋅
∫∫
x
A
S y dx dy= ⋅⋅
∫∫
y
A
S x dx dy= ⋅⋅
∫∫
2
x
A
J y dx dy= ⋅⋅
∫∫
, после математических преобразований
получаем
;
;
.
Интегралы в правой части могут быть вычислены приближенно (без
учета изменения размеров сечения после нагружения). Их называют
геометрическими характеристиками сечения (ГХС), так как значение
зависит от формы и размеров сечения. Кроме того, ГХС зависят от положения начала координат и направления осей в сечении. Если ГХС вычислены, то значения коэффициентов ряда а, b, с могут быть найдены из решения системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Соответственно функция
определяется с точностью до
трех первых членов. При быстрой сходимости ряда точность расчетов
может быть достаточно высокой.
Приняты следующие обозначения и названия ГХС:
– площадь сечения;
– статический момент сечения относительно оси x;
– статический момент сечения относительно оси y;
– момент инерции сечения относительно оси x;
13
2
y
A
J x dx dy= ⋅⋅
∫∫
– момент инерции сечения относительно оси y;
xy
A
J x y dx dy= ⋅⋅ ⋅
∫∫
z yx
Q aA bS cS
≈⋅ +⋅ +⋅
x x xy x
M aS bJ cJ≈⋅ +⋅ +⋅
y y y xy
M aS bJ cJ− ≈⋅ +⋅ +⋅
x y xy
SSJ 0= = =
z
Q
aA=
y
y
M
bJ= −
x
x
M
cJ=
y
zx
xy
M
QM
(x,y) y x
AJ J
σ = + ⋅− ⋅
– центробежный момент инерции сечения.
Соответственно
;
;
.
Выбором начала координат (центральные оси, начало которых совпадает с центром тяжести сечения) и положения осей в сечении (главные
оси) можно получить
.
После чего
,
,
и нормальные напряжения в сечении рассчитываются приближенно
по формуле
. (2)
Таким образом, выбор главных центральных осей в сечении и определение ГХС в этих осях являются важными задачами при расчете на прочность и жесткость.
14
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 1
1. Поясните суть метода сечений при определении внутренних сил
и напряжений в сечении.
2. Назовите внутренние силы в сечении.
3. Что такое главный вектор сил и главный вектор моментов?
4. Как распределены напряжения в плоскости сечения?
5. Какие названия имеют проекции главного вектора сил и главного
вектора моментов?
6. Запишите формулы, связывающие внутренние силы и напряжения
в сечении.
7. Какой формулой связаны нормальные напряжения и геометриче-
ские характеристики сечения?
8. Что такое геометрические характеристики сечения (ГХС)?
9. Для чего определяются геометрические характеристики попереч-
ных сечений?
10. Что такое статический момент инерции сечения?
11. Относительно каких осей статический момент инерции равен нулю?
12. По каким формулам определяются площадь, статические момен-
ты, осевые и центробежный моменты инерции сечения?
15
Тема 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ.
y
0 x b (1 )
h
≤≤⋅ −
y
b (1 )
h
h
x
A 00
y
hh
b(1 )
h
0
00
h
2 23 2
h
0
o
S y dx dy y dy dx
y
y dy x y dy b (1 )
h
y y y bh
b (y ) dy b ( )
h 2 3h 6
⋅−
−
= ⋅⋅=⋅ =
∫∫ ∫ ∫
=⋅⋅ =⋅⋅⋅− =
∫∫
⋅
=⋅ − ⋅=⋅ − =
∫
⋅
y
b
h
x
)
h
y
1(bx −⋅=
ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГХС ПРОСТЫХ ФИГУР
Согласно определению ГХС их вычисление сводится к двойному интегрированию соответствующих функций по площади. Для простых фигур
и стандартных сечений результаты интегрирования известны и приводятся в справочной литературе.
В качестве примера вычислим ГХС для прямоугольного треугольника
(рис. 6) высотой h и основанием b.
Рис. 6. Треугольное поперечное сечение
Выберем, например, в качестве осей катеты (начало координат в вершине прямого угла). Тогда при заданном y величина x меняется
:
.
16
Аналогично
y
b (1 )
2
h
h
y
A 00
hb
S x dx dy dy x dx
6
⋅−
⋅
= ⋅⋅= ⋅=
∫∫ ∫ ∫
y
b (1 )
3
h
h
22
x
A 00
bh
J y dx dy y dy dx
12
⋅−
⋅
= ⋅⋅= ⋅ =
∫∫ ∫ ∫
y
b (1 )
3
h
h
22
y
A 00
hb
J y dx dy dy y dx
12
⋅−
⋅
= ⋅⋅= ⋅=
∫∫ ∫ ∫
y
b (1 )
22
h
h
xy
A 00
3h b
J x y dx dy y dy x dx
72
⋅−
⋅⋅
= ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
∫∫ ∫ ∫
x
S
y
S
+∞
x
J
y
J
+∞
xy
J
+∞
x
S
y
S
x
J
y
J
xy
J
11
x x b, y y a=−=−
;
;
;
.
Для перехода к новым осям в общем случае достаточно переместить
начало координат в новое положение и повернуть оси на нужный угол,
при этом ГХС будут изменяться:
−
−
−
Единицы измерения:
и
и
изменяются от –∞ до
изменяются от +0 до
изменяется от –∞ до
,
, в том числе могут равняться нулю;
и не равны нулю;
, в том числе может равняться нулю.
– [м3], а
,
,
– [м4].
ИЗМЕНЕНИЕ ГХС ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Пусть в произвольно выбранных исходных осях xоy вычислены ГХС.
Перенесем начало координат в точку о1 с координатами b, a относительно
исходных и проведем новые оси x
точки сечения в новых осях
1о1y1
17
(рис. 7). Координаты некоторой
.
1
x1 x
AA A A
S y dx dy (y а) dx dy y dx dy а dx dy S a A= ⋅⋅= −⋅⋅= ⋅⋅−⋅ ⋅=−⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
1
y1 y
AA A A
S x dx dy (x b) dx dy x dx dy b dx dy S b A= ⋅⋅= −⋅⋅= ⋅⋅−⋅ ⋅=−⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
1
22
x1
AA
2 22
xx
A AA
J y dx dy (y а) dx dy
y dx dy 2а y dx dy y dx dy J 2a S a A;
= ⋅⋅= − ⋅⋅=
∫∫ ∫∫
= ⋅⋅−⋅ ⋅⋅+ ⋅⋅ =−⋅+⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
1
22
y1
AA
2 22
yx
A AA
J x dx dy (x b) dx dy
x dx dy 2b y dx dy x dx dy J 2b S b A;
= ⋅⋅= − ⋅⋅=
∫∫ ∫∫
= ⋅⋅−⋅ ⋅⋅+ ⋅⋅ =−⋅+⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
o
b
a y x
y
1
x
o
1
Рис. 7. Поперечное сечение произвольной формы
при параллельном переносе осей
Соответственно ГХС в новых осях:
• статический момент относительно оси х1
1
• статический момент относительно оси y1
• осевой момент инерции относительно оси х1
• осевой момент инерции относительно оси y1
;
;
18
• центробежный момент инерции относительно осей х1y1
J yxdxdy (x b)(y а) dx dy
= ⋅⋅⋅= −⋅−⋅⋅=
= ⋅⋅⋅−⋅ ⋅⋅−⋅ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ =
(x,y)σ
11
xy
S ,S
y
x
S
S
a ,b
AA
= =
cc
x ,y
y
x
cc
S
S
ay ,bx
AA
= = = =
cc
xy
c c cc
x y xy
J ,J ,J
1 с 1 с 11 с c
22
x x y y xy xy
J J a A, J J b A, J J a b A.= + ⋅ = + ⋅ = +⋅⋅
xy
11
x y dx dy а x dx dy b y dx dy a b dx dy
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
A AA A
∫∫ ∫∫
AA
J aS bS abA.
= −⋅ −⋅ +⋅⋅
xy y x
При использовании данных формул а и b необходимо подставлять
с учетом знака.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ОСИ
Для упрощения расчетов, например при вычислении
муле (2), потребуем, чтобы в новых осях статические моменты
по фор-
были равны нулю, то есть
. Обозначим новое начало коор-
динат О1 = с, соответственно его координаты в исходных осях обозначим
. Тогда
. (3)
Оси
будем называть центральными, а их начало координат с –
центром тяжести сечения. Моменты инерции в центральных осях назы-
вают центральными и обозначают
.
Далее будет показано, что любой поворот относительно центра тяже-
сти приводит к центральным осям. Если исходные оси сразу выбраны
с началом в центре тяжести, то формулы вычисления моментов инерции
при параллельном переносе осей упрощаются (поскольку статические моменты равны нулю):
19
(4)
х
В качестве примера по формулам (3) определим положение центра
2
y /;
x /.
A 6 23
с
с
2
33
x
2
33
x
bh h bh bh
J;
12 3 2 36
hb b bh hb
J;
12 3 2 36
⋅ ⋅⋅
= − ⋅=
⋅ ⋅⋅
= − ⋅=
сc
3 22
xy
3bh h b bh b h
J
72 3 3 2 72
⋅⋅ ⋅ ⋅
= −⋅⋅ =−
yc x
h/3
y
b
h
b/3
c
тяжести прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 6:
S bh bh h
x
= = =
c
A 6 23
S
y
= = =
c
⋅⋅
hb bh b
⋅⋅
Отметим их на чертеже (рис. 8).
2
c
Рис. 8. Положение центра тяжести
треугольного поперечного сечения
По формулам (4) определим центральные моменты инерции и центробежный момент инерции:
.
Определение ГХС других простых сечений (треугольник, круг, квадрат) осуществляется аналогично.
20