Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
З. Н. Соколовский, М. А. Федорова
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
Омск
Издательство ОмГТУ
2022
————————————————————————————————––––
Сведения об издании: 1, 2
© ОмГТУ, 2022
ISBN 978-5-8149-3430-7
УДК 620.01(075)
ББК 30.121я73
С59
Рецензенты:
С. А. Макеев, д. т. н., профессор кафедры «Теоретическая
и прикладная механика» ФГБОУ ВО «ОмГУПС»;
Л. В. Красотина, к. т. н., доцент,
зав. кафедрой «Строительные конструкции» ФГБОУ ВО «СибАДИ»
Соколовский, З. Н. Сопротивление материалов. Основные вопросы : учеб.
пособие / З. Н. Соколовский, М. А. Федорова ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн.
ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2022. – 1 CD-ROM (1,40 Мб). – Систем. требования:
процессор с частотой 1,3 ГГц и выше ; 256 Мб RAM и более ; свободное место
на жестком диске 300 Мб и более ; Windows XP и выше ; разрешение экрана 1024×768
и выше ; CD/DVD-ROM дисковод ; Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше. – Загл. с титул.
экрана. – ISBN 978-5-8149-
Рассмотрены понятия о напряжениях; интегральные характеристики плоских сечений; напряженное и деформированное состояния твердого тела; полная математическая
модель растяжения, кручения, изгиба; примеры вычисления перемещений и др.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Сопротивление материалов», будет полезно при освоении смежных дисциплин, таких как «Теоретическая механика», «Детали машин», «Теория механизмов и машин» и «Прикладная механика».
3430-7.
Редактор О. В. Маер
Компьютерная верстка О. Г. Белименко
Для дизайна этикетки использованы материалы
из открытых интернет-источников
—————————––––––––––––——————————————————————
Сводный темплан 2022 г. © ОмГТУ, 2022
Подписано к использованию 21.02.22.
Объем 1,40 Мб.
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое применение численных методов в расчетах на прочность
и жесткость позволяет существенно расширить возможности классических методов сопротивления материалов за счет интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей, не имеющих аналитического решения.
Настоящее пособие является результатом многолетнего труда авторов
и разработчиков курса «Сопротивление материалов», который прошел
апробацию на факультете транспорта нефти и газа ОмГТУ. Ориентация на
численные методы позволяет в ограниченном объеме курса существенно
расширить круг решаемых задач.
В пособии «Сопротивление материалов. Основные вопросы» рассмотрены понятия о напряженном и деформированном состоянии твердого тела; общие принципы расчета; полная математическая модель растяжения, кручения, изгиба стержней и стержневых систем, их статика и динамика; вопросы устойчивости; методы аналитического и численного извлечения информации из расчетов на жесткость и статическую прочность.
Изложены алгоритмы численных расчетов, их реализация в MS Excel,
применительно к методу конечных элементов (МКЭ). Некоторые из предлагаемых шаблонов численного решения оформлены как контрольнообучающие, что облегчает выполнение заданий и способствует закреплению материала.
В пособии «Сопротивление материалов. Дополнительные главы»
в аналогичном аспекте рассмотрены трубы, пластины и оболочки, а также
вопросы выносливости и трещиностойкости.
3
ПРЕДМЕТ И ЕГО МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
В курсе «Сопротивление материалов» (СМ) рассматриваются вопросы прочности и жесткости деталей машин, конструкций, приборов и аппаратуры.
В отличие от теоретической механики в СМ тело не идеализируется
как абсолютно жесткое, а считается деформируемым. Под деформацией
в СМ понимают изменение взаимного расположения частиц тела при действии нагрузок. При этом между частицами возникают силовые взаимодействия. Если эти взаимодействия превышают допустимые для данного
материала значения, происходит нарушение связей частиц материала детали, то есть разрушение. Кроме того, складываясь, деформации изменяют
форму и размеры тела детали и могут привести к недопустимым изменениям условий работы машины, прибора или конструкции и, в итоге, к ее
разрушению под нагрузкой.
Прочность – способность материала детали выдерживать приложен-
ные нагрузки не разрушаясь, т. е. не теряя сплошности.
Жесткость – способность детали изменять под нагрузкой свои размеры и форму в допустимых пределах, т. е. не нарушая работоспособности
машины, прибора или конструкции.
В традиционном изложении эти вопросы изучаются в курсах «Сопротивление материалов», «Теория упругости», «Теория пластичности». С ними можно ознакомиться в источниках [1, 11, 13] из списка литературы,
приведенного в конце издания. Можно использовать как более ранние, так
и боле поздние редакции указанных книг.
«Сопротивление материалов», как и любая учебная дисциплина, базируется на предшествующих. В нашем случае это, в основном, «Теоретическая механика» и «Высшая математика».
Из теоретической механики используется принцип отвердевания, т. е.
любая часть тела после нагружения и деформации находится в равновесии
под действием внешних для нее сил.
4
Из высшей математики используется аппарат дифференциального
p
ν
σ
τ
ν
ν
ε
ν
γ
dS
жения
dS
нагружения
α
и интегрального исчисления, что приводит к необходимости допущения
непрерывности материала детали. Неточность такого описания преодоле-
вается использованием результатов специальных испытаний материалов.
Для решения поставленной в СМ задачи необходима количественная
оценка нагруженности материала детали – силового взаимодействия частиц тела и деформаций в каждой его точке.
ОЦЕНКА НАГРУЖЕННОСТИ МАТЕРИАЛА ДЕТАЛИ
В сопротивлении материалов степень силового взаимодействия частиц
принято оценивать напряжениями. Под напряжением понимают давление
соседних частиц на некоторую бесконечно малую площадку в плоскости,
проведенной через точку. Напряжение – это вектор с размерностью давления – Паскаль [Па] или мегапаскаль [MПа].
При произвольном направлении относительно орта нормали ν к плос-
кости площадки будем обозначать полное напряжение на этой площадке
как вектор p (рис. 1, а), проекцию его на нормаль – σ, проекцию на плос-
кость – τ (нормальное и касательное напряжения в точке в выбранной
плоскости).
1
после
до нагру-
а б
Рис. 1. К понятиям напряжение (а) и деформация (б)
5
Для справки:
1
dS 0
dS dS
lim
dS
ν→
−
ε=
ν
γ
2
ν
π
γ = −α
ν
ε
− разрушение от однократного нагружения сталей, применяемых
в машиностроительных конструкциях, происходит при напряжениях
200…1500 МПа и примерно одинаково при растяжении и сжатии;
− разрушение алюминиевых и титановых сплавов обнаруживается
при напряжениях примерно в 1,5 раза меньших, при удельном весе пример-
но в 2...2,7 раза меньшем, чем у стали;
− разрушение бетона начинается при напряжениях 0,4…2,6 МПа при
растяжении и 2,8…43,8 МПа при сжатии;
− дерево (сосна) при растяжении вдоль волокон выдерживает напря-
жение до 80 МПа, при сжатии вдоль волокон – до 40 МПа.
Деформации в точке приводят к изменению длины бесконечно малых
отрезков (рис. 1, б), проведенных из данной точки (линейная деформация),
и сопровождаются искажением самой плоскости, в которой измеряются
напряжения (угловая деформация). Линейная деформация в направлении
нормали к выбранной плоскости вычисляется как
,
а угловая деформация
как уменьшение изначально прямого угла
в плоскости
.
Обе величины безразмерны.
однократной нагрузкой для металлов разных марок составляет ≈ 0,4...40 %.
Для справки: предельная линейная деформация
6
и при разрушении
ВАЖНО! Нагруженность материала детали характеризуется сово-
Жесткое
Свободное закрепление в плоскости нормального сечения
Δl
l
А
Р
=
σ
ν
Р
l
l∆
=ε
ν
купностью нормальных и касательных напряжений в каждой точке в разных плоскостях и во всех точках и плоскостях тела (НСТ – напряженное
состояние в точке, НС – в теле) и в итоге определяет прочность (или непрочность) конструкции.
Жесткость детали обусловливается совокупностью линейных и угло-
вых деформаций во всех точках и плоскостях.
Проиллюстрируем изложенное простыми примерами, когда количе-
ственная или качественная оценка напряжений и деформаций очевидна
(рис. 2).
закрепление
а б
Рис. 2. Схемы свободного (а) и жесткого (б) закреплений
На первой схеме (рис. 2) в нормальном сечении отсутствуют каса-
тельные напряжения и угловые деформации, нормальные напряжения
распределены равномерно. Это точно справедливо только в том случае,
если верхний конец свободен в поперечном направлении. В противном
случае возникнут некоторые касательные напряжения и угловые деформации. Прочность определяется величиной нормальных напряжений.
7
На рис. 3 прочность определяется величиной касательных напряже-
Р
Р
А
Р
≈τ
ний в зоне нагружения.
Рис. 3. Схема распределения касательных напряжений под нагрузкой
На рис. 4 в нормальном сечении есть как нормальные, так и касательные напряжения.
Рис. 4. Распределение нормальных и касательных напряжений
от действия поперечной силы
Нормальные напряжения (рис. 4) меняют знак по высоте сечения,
а касательные равны нулю на поверхности. Также присутствуют линейные и угловые деформации.
ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ МАТЕРИАЛА ДЕТАЛИ
Опасность напряженного состояния в точке обусловлена физическими свойствами материала и не может быть определена теоретически из-за
предположения непрерывности и других причин, которые будут рассмот-
8
рены ниже. Поэтому единственным возможным способом оценки опасно-
экв
[]
n
σ
σ≤
сти напряженного состояния является специально поставленный эксперимент или серия экспериментов.
Введем понятие однородного напряженного состояния, т. е. такого
состояния, когда во всех точках тела имеют место одинаковые напря-
жения в аналогичных плоскостях. Тогда увеличив пропорционально при-
ложенные нагрузки и доведя деталь до разрушения, мы определим опасное напряженное состояние. Наиболее простой и доступный способ испытания – испытание на одноосное растяжение.
При одном однородном напряженном состоянии невозможно постро-
ить общую теорию опасности напряженных состояний. Однако, проведя
серию испытаний при разных однородных напряженных состояниях,
можно выдвинуть ряд теорий (гипотез) об опасности напряженного состояния и принять для расчетов ту, результаты которой лучше соответствуют
опытным данным как при однородном, так и при неоднородном состоянии. Именно так и развивалась наука о статической прочности материалов. Имея такую теорию, можно для конкретного материала проводить
только простейшие испытания на растяжение, по результатам которого
и по принятой теории вычислять предельное число – предельное эквивалентное напряжение [σ]. В конкретном случае рассчитывается максимальное эквивалентное напряжение σ
в теле. Тогда условие прочности
экв
будет
,
где n – запас прочности, учитывающий погрешности расчета и моделирования свойств материала, определение расчетных нагрузок и другие
факторы. Значение n нормируется в разных отраслях техники и составляет 1,3…6,0.
9
Тема 1. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
xyz
Q(Q ,Q ,Q )
xyz
M(M ,M ,M )
xyzxyz
Q ,Q ,Q ,M ,M ,M
τ
τ
τ
y
x
y
z
σ
)Q,Q,Q(Q
zyx
)M,M
,M
(
M
zy
x
И НАПРЯЖЕНИЯ В СЕЧЕНИИ
Принятый способ оценки нагруженности прямо приводит к необходимости исследования сил и напряжений в сечении тела плоскостью.
Мысленно отбросим одну из частей тела (рис. 5), например правую.
Приложим к сечению правую декартову систему координат и спроектиру-
ем на нее главный вектор
и главный момент
всех внешних сил, действующих на отброшенную часть тела с обратным
знаком (в соответствии с третьим законом Ньютона действие отброшенной части уравновешивается внутренними силами).
Рис. 5. Система координат в сечении
Проекции
векторов Q и M на координатные
оси назовем внутренними силами в сечении. Если известны все внешние
силы, включая реакции опор, их величины могут быть рассчитаны по
формулам теоретической механики. В статически определимых задачах,
когда у тела отняты 6 степеней свободы, реакции опор могут быть найдены из условий равновесия отброшенной части тела.
10