Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
( )
0
1
d
L
wL w
xx
L
τ= τ
∫
. (2.75)
L
0
ReLuLv=
Подставляявэтовыражениеформулу(2.83)длялокальногозначе-
ивыполняяинтегрирование,получаем
нияτ
w
2
uρ
0
(2.76)
0,2
Re
где
τ=
0,036 ,
wL
.
2.5. Элементы гидравлики (движение жидкости
по трубам и каналам)
2.5.1. Уравнение Бернулли для потока реальной
жидкости в трубе или канале
Винженерныхрасчетахдвиженияреальнойжидкостипотрубами
каналамширокоиспользуетсяуравнение,которое,такжекакиуравнение (2.51), выражает закон сохранения механическойэнергии, но
недлятрубкитокаидеальнойжидкости,адляпотокареальнойжидкостивтрубеиликанале,итакженазываетсяуравнениемБернулли.
При записи уравнения Бернуллидля потока реальной жидкости,
вотличиеотуравнения (2.51), должныбытьучтены дваобстоятельства.Во-первых,распределениескоростивпоперечномсечениитрубы является неоднородным, поскольку на стенках скорость равна
нулю (выполняется условие прилипания потока к стенке), неоднороднымивследствиеконечногоразмерасеченияявляютсятакжераспределения статического и геометрического давлений. Во-вторых,
посколькужидкостьявляется реальной,часть механическойэнергии
теряется,переходявтеплотувследствиедействиясилтрения.
0 0
Рис.2.16.КвыводууравненияБернуллидляпотокареальной
жидкостивтрубе
61
Рассмотримстационарноетечениереальнойнесжимаемойжидко-
11 2д г1 д2 г2 пот
p pp p p p p++ = + + +
S
pS
1
d
S
V
u uS
SS
= =
∫
V
2
2uρ
2
2
д
pu= αρ
стивпроизвольноориентированнойтрубелюбого,напримеркруглого,сечения(рис.2.16).
Полнаямеханическая энергияпотока, отнесенная кединице объема,всечении1–1равнасуммединамическогоp
геометрическогоp
давлений,т.е.суммеобъемныхплотностейкине-
г1
,статическогоp1и
д1
тическойэнергии,потенциальнойэнергиидавленияипотенциальной
энергииположения.Приэтом,посколькувсеэтивеличиныявляются
переменными по сечению трубы, необходимо использовать их значения, осредненные по площади сечения. Точнотак жедля сечения
2–2 можно записатьсумму осредненных по площади этогосечения
динамическогоp
, статического p2 и геометрическогоpг2 давлений,
д2
представляющую собой объемную плотность полной механической
энергии жидкости в данном сечении. Поскольку жидкость является
реальнойи, следовательно,имеютсяпотери энергии p
,полнаяме-
пот
ханическаяэнергия всечении1–1 будет больше, чемв сечении2–2,
навеличинуэтихпотерь:
.
Среднеепо площадисечениядинамическоедавлениеопределяетсяизвыражения
2
ρ
1
u
, (2.77)
=
д
S
d
∫
2
гдеu–локальноезначениескоростивлюбойточкесечениятрубы.
Однако на практикеизвестной величиной является обычно средняяпосечениюскорость
где
–объемныйрасходжидкости,м3/с.
Динамическоедавление,найденноеповеличинесреднейскорости
,неравносреднемудинамическомудавлению,определяемому
выражением(2.86).Поэтомуможнозаписать:
62
,
, (2.78)
гдеα – коэффициент Кориолиса, зависящий от формы поперечного
( )
2
/2
д
puα= ρ
г
p gz= ρ
22
22
2
профиля скорости и равный отношению среднего динамическогодавления к динамическомудавлению,найденномупо средней
скорости:
.
Для круглого поперечногосечения среднее значениегеометриче-
скогодавления
, (2.79)
гдеz–высотарасположениягеометрическогоцентраданногосечения
поотношениюкнекоторойплоскостиотсчета0–0 (см.рис.2.21).
Такимобразом,уравнение Бернуллидля потока реальной жидко-
стивтрубепринимаетвид
uu
αρ αρ
11 2 2
p gz p gz p
+ +ρ = + +ρ +
11 2 2
пот
. (2.80)
Это уравнение выражает закон сохранения механической энергии
для потока реальной жидкости в трубе с учетом неоднородности
распределения характеристик потока по сечению и потерь энергии.
Этипотери, посколькуони выражаютсяв единицах объемной плотностиэнергии,т.е.единицахдавления,частоназываютпотерямидавления.
2.5.2. Потери давления на трение
Потеридавлениянатрениевозникаютпридвижениижидкостипо
прямолинейнымучасткамтрубопроводоввотсутствиеизмененийпоперечногосечениятрубы.Онисвязанытолькосдействиемсилытренияи представляютсобойработу этой силы,отнесеннуюк единице
объемажидкости.
Припрактических расчетахпотеридавленияна трениеопределяюткаквеличину,пропорциональную динамическомудавлению,подсчитанномупосреднейскорости:
p
=
гдеξ
–безразмерныйкоэффициентпропорциональности,иликоэф-
тр
тр
ξρ
тр
2
u
, (2.81)
фициентсопротивлениятрению.
63
Изфизических соображенийследует, чтокоэффициентсопротив-
Ldλ
64
Re
Re ud= ν
лениятрениядолженбытьтемвыше,чембольшедлинаучасткатрубы,накоторомопределяютсяпотери,итемниже,чембольшеразмер
поперечногосечения трубы. Действительно, при увеличении длины
возрастает работа силы трения, аследовательно,и коэффициентсопротивления.Увеличение размерасечениятрубы приводитк уменьшению удельной, т.е. отнесенной к единице объема, поверхности
контактамеждустенкойтрубыидвижущейсяжидкостью,что,всвою
очередь,приводиткуменьшениюξ
.Такимобразом,выражениедля
тр
коэффициентасопротивлениятренияимеетвид
ξ=
тр
, (2.82)
г
гдеL–длинаисследуемогоучасткатрубы;
d
– гидравлический диаметр трубы – величина, вводимая для
г
единообразной оценки размера труб с разной формой поперечногосечения,dг=4S/П,здесь S– площадь поперечногосечения
трубы;П–периметр поперечногосечения,длятрубыс круглым
поперечным сечением гидравлический диаметр равен диаметру
трубы;
λ–гидравлический коэффициент трения.
Гидравлический коэффициент трения определяется по-разному
длядвухразличныхрежимовдвиженияжидкости.
Приламинарномрежимедвижениягидравлический коэффициент
трения выражается как величина, обратно пропорциональная числу
Рейнольдса.Например,длякруглойтрубы
где
.
λ= , (2.83)
ТакаязависимостьλотReобъясняетсятем,чтоувеличениечисла
Рейнольдса означает уменьшение относительной роли силы трения
по сравнению с силой инерции, что приводит к уменьшению доли
кинетическойэнергиипотока,теряемойнапреодолениедействиясил
трения.
При турбулентном режиме движения возможны два случая, обусловленныеособенностямитурбулентногопотокавтрубахиканалах.
Деловтом,чтоприэтомрежименевсесечениепотоказанятотурбу-
64
лентно движущейся жидкостью. Вблизи стенки трубы,где скорость
kr= ∆
резко падает до нуля, абсолютное значение скорости оказывается
малым,апотомумалойявляется и силаинерции.Чтокасается силы
трения,то онав этойузкойзонепотокавеликав связис резкимизменениемскоростии,следовательно,сбольшойразностьюскоростей
между соседними слоями жидкости. Таким образом, вблизи стенки
трубы обязательно должен существовать ламинарный, или вязкий,
подслой.
Толщиналаминарногоподслояуменьшаетсяприувеличениичисла Рейнольдса, так как при этом уменьшается сила трения по сравнениюс силойинерции и,следовательно,уменьшается размер зоны
потока,вкоторойсилатренияпреобладает.
Толщина ламинарного подслоя связана с числом Рейнольдса выражением
0,875
68, 4 Re
δ= , (2.84)
л.п
−
r
гдеr–радиуспоперечногосечениятрубы,м.
Если притурбулентном режиме движения абсолютнаяшероховатостьстенкитрубы(средняявысотавыступовшероховатости)Δоказываетсяменьшетолщиныламинарногоподслоя,течениеназывается
течением в гидравлически гладкой трубе. При этом гидравлический
коэффициент трения, как и при ламинарном режиме, уменьшается
приувеличениичислаРейнольдса,однаковлияниечислаРейнольдса
вэтомслучаеслабее,чемприламинарномрежиме.Всоответствиис
эмпирическойформулойБлазиуса
0,316
λ= . (2.85)
0,25Re−
Если абсолютная шероховатость больше толщины ламинарного
подслоя, выступы шероховатости проникают в турбулентное ядро
потока.В этомслучае гидравлическийкоэффициенттренияне зависит от числа Рейнольдса и однозначно определяется относительной
шероховатостью трубы
, т.е. отношением высоты выступов
шероховатостик радиусутрубы.Приэтомλнезависит отскорости,
ив соответствиис формулой(2.82) потери давления натрениепропорциональны квадрату скорости (квадратичный закон сопротивления).Инымисловами, сила инерциив этомслучае настолько велика
посравнениюссилойтрения,чтоизменениеихсоотношенияужене
65
влияет на гидравлический коэффициент трения. Указанный режим
называетсятечением в гидравлически шероховатой трубе.Для расчетагидравлическогокоэффициентатренияприэтомрежимеиспользуютразличныеформулы,вчастностиформулуНикурадзе:
2
λ= +
∆
r
2 1, 74lg
−
(2.86)
.
Формулыи другие данные для определения гидравлическогоко-
эффициентатрениявразличныхслучаяхприводятсявсправочниках.
Рассмотренные особенности зависимости гидравлического коэффициентатренияотчислаРейнольдсаиотшероховатоститрубыпри
различных режимах хорошо иллюстрируются графиком, представленным на рис. 2.17, построенным по экспериментальным данным
Никурадзеиназваннымегоименем.
Рис.2.17.ГрафикНикурадзе
Прямая 1 соответствует ламинарному режиму и формуле (2.83),
когдаλизменяетсяобратнопропорциональночислуРейнольдса.Прямая2соответствуеттечениювгидравлическигладкойтрубепритурбулентномрежиме,когдаλтакжеуменьшаетсяприувеличениичисла
Рейнольдса(см.формулу(2.86)).Серияпрямых3соответствуетслучаю течения в гидравлически шероховатой трубе. При этом в соответствиисформулой(2.86)λнезависитотчислаРейнольдсаиопределяется только относительной шероховатостью трубы: чем выше
шероховатость, тем выше расположена соответствующая кривая на
графике и тем меньше число Рейнольдса, при котором происходит
переходкрежимутечениявшероховатойтрубе.
Такимобразом,прирасчетепотерьдавлениянатрениенеобходимо прежде всего определить характер движения жидкости в трубе,
66
для чегоследует найти значениечисла Рейнольдса. Если этозначениеменьше нижнегокритического значения,т.е.если Re< 2300, то
режим движения ламинарный и гидравлический коэффициент трения определяется по формуле (2.83). При турбулентном режиме необходимо выяснить, является ли труба гидравлически гладкой или
шероховатой, сравнив толщину ламинарного подслоя с абсолютной
шероховатостью.Послеэтогопоформулам(2.85)и(2.86)находятгидравлическийкоэффициенттрения.
2.5.3. Потери давления на местные сопротивления
Потери давления на местные сопротивления возникают, когда по
пути движения жидкости изменяется размер или форма поперечногосечения трубылибо имеет место изгибтрубына некоторый угол
иликогда поперечное сечениетрубызагроможденоизмерительными
илирегулирующимиорганами. Этипотери обусловленыдвумяпричинами:во-первых, они вызваныизменением величины и направленияскорости,т.е.действиемсилинерции;во-вторых,вовсехслучаях
местныхсопротивленийв потокеимеютсязоны, в которыхскорость
мала,а давление возрастаетв направлениидвижения. Этоприводит
кизменениюнаправлениядвиженияжидкостинаобратноеиобразованиюзонвихревогодвижения,в которыхпроисходит отрывпотока
отстенки,и энергиядвижущейся жидкостиинтенсивнопереходитв
теплоту(рис.2.18).
Рис.2.18.Некоторыевидыместныхсопротивлений
Потеридавлениянаместные сопротивления,такжекаки потери
на трение, определяются как доля динамического давления, т.е. по
формуле,аналогичнойвыражению(2.81):
67
2
2
22
22
22
xy
∂∂
u
ξρ
м.с
м.с
=
p
, (2.87)
гдеξ
–коэффициентместногосопротивления.
м.с
В подавляющем большинствеслучаев коэффициентместного сопротивлениянаходитсяэкспериментально,иегозначениядляразличныхслучаевприводятсявсправочнойлитературе.
2.6. Применение теории подобия при исследовании
задач механики жидкостей и газов
2.6.1. Математическая модель течения реальной
жидкости или газа
ЗапишемсистемууравненийНавье–Стоксаинеразрывностиприменительнок двумерномустационарномутечениюреальнойнесжимаемойжидкости в поле силы тяжести. ОсьOx расположимв горизонтальнойплоскости,осьOyнаправимвертикальновверх.Получим:
∂∂
p
22
;
xy
ʋ
ʋ
(2.88)
;
(напри-
0
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
u u u p uu
+ + =− +ν +
uw
ʋ
∂ ∂ ∂ ρ∂
xy z x
∂∂ ∂ ∂ ∂∂
u wg
∂ ∂ ∂ ρ∂
u
∂∂
xy
∂∂
ʋ ʋ
ʋ
+ + =− +ν +
ʋ
xy z y
ʋ
+=
0.
1
1
В граничных условиях зададим геометрические характеристики
потока,вчастностихарактерныйразмерl(например,гидравлический
диаметр канала)и характерное значение скоростипотокаu
мер,среднююскоростьнавходевканал).
В результате решения сформулированной таким образом задачи
триискомыевеличины(двекомпонентывектораскоростиuиʋ идавление р) определяются в виде функций от двух аргументов х и у и
всехпараметровзадачи,вчислокоторыхвходятплотностьжидкости
ρ,кинематическийкоэффициентвязкостиν,ускорениесилытяжести
g,характерное значениескорости u
Такимобразом,эторешениедолжноиметьследующийвид:
68
и характерныйразмерпотокаl.
0
( )
0 0 00 0
, , , , , , , u uxy gu l d= ρµ ;
( )
0 0 00 0
( )
0 0 00 0
2
0
ul
0
ul
, X xl Y yl= =
00
,
U uu V u= =
22
22
V V UU
XY
∂ ∂ ∂ ∂∂
∂∂
( )
pu
0
Re ul= ν
( )
2
0
Fr u gl=
, , , , , , , v vxy gu l d= ρµ ;
, , , , , , , p pxy gu l d= ρµ ,
т.е. каждая искомая величина является функцией двух аргументови
шестипараметров.
Приведеннаясистемадифференциальныхуравнений,дополненная
граничнымиусловиямииопределяющаяединственноерешениезадачи(единичныйпоток), называется математической модельютечения
жидкости.
2.6.2. Преобразование математической модели
к безразмерному виду
Для получения обобщенного решения, описывающего груп-
пу подобных потоков, приведем систему уравнений (2.88) к без-
размерному виду. Для этого представим все фигурирующие в ней
переменные величины – как функции, так и аргументы – безразмерными величинами. Для этого разделим обе части первых двух
уравненийна
координаты
,третьеуравнениена
и безразмерные компоненты скорости
ʋ
.Тогдаполучим:
ивведембезразмерные
∂ ∂ ∂ ∂∂
U U UU
+ =−+ +
UV
∂∂∂
XYX
UV
где
= ρ –безразмерноедавление(числоЭйлера);
+ =−+ +
XY Y
∂∂ ∂
UV
∂∂
+=
XY
∂∂
2
/Eu
0
–числоРейнольдса;
–числоФруда.
11
Fr
0,
Eu
Eu
22
1
Re
∂∂
XY
Re
22
;
, (2.89)
;
69
Решение системы (2.89), в отличие от исходной системы (2.88),
( )
, , Fr, ReU U XY=
( )
, , Fr, ReV V XY=
( )
Eu Eu , , Fr, ReXY=
должноиметьвидзависимоститрехбезразмерныхискомыхфункций
U,VиEuотдвухбезразмерныхкоординат X, Y и отдвухбезразмер-
ныхпараметровReиFr:
;
;
.
2.6.3. Критерии подобия и безразмерные числа
Из полученного результата в соответствии с основной теоремой
теории подобия следует необходимое и достаточное условие подобияпотоков,т.е.равенствбезразмерных величинскоростейи давленияU,VиEu(U=idem,V=idem,Eu=idem)всходственныхточках
(X = idem, Y = idem). Потоки, описываемые одинаковой системой
уравнений, распространяющиеся в геометрически подобных системахприподобныхусловияходнозначности,оказываютсяподобными
приодинаковыхзначенияхчиселРейнольдсаиФруда,т.е.привыполненииусловийRe=idemиFr =idem.Поэтойпричинебезразмерные
параметрыReиFrназываютсякритериямиподобия.
Критерииподобия,какправило, характеризуютсоотношениеразличных сил, действующих в движущейся жидкости. Так, критерий
Рейнольдса характеризуетсоотношение сил инерции и внутреннего
трения,акритерийФруда–силинерцииисилытяжести.Этоследует
изпервыхдвухуравненийсистемы(2.89),вкоторыхвеличины1/Reи
1/Frопределяютотносительныевкладысилтренияисилытяжестив
развитиепроцесса.
Сопоставлениевидарешенийрассмотреннойзадачи,сформулированнойвразмерныхвеличинах(2.88)ивбезразмерных(2.89),позволяетсделатьещеодинважныйвывод.Оказывается,чтоврезультате
приведениязадачикбезразмерномувидучисловеличин,откоторых
зависятискомыефункции,существенносокращается.Действительно,
если в решении (2.88) каждая из искомыхфункций зависит от двух
аргументовипятипараметров,товрешении(2.89)каждаяизбезразмерныхискомыхфункцийзависит отдвухбезразмерныхаргументов
и всего от двух безразмерных параметров. Этот факт, являющийся
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]