Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
Полученные формулы (3.47) и (3.49) позволяют определять ло-
1
L
1
L
/Nu L=αλ
/Sh LD= β
0
Re /
L
uL v=
кальные значения коэффициентов тепло- и массоотдачи, изменяющиеся от точки к точкепо длине пластины. Однако в практических
инженерныхрасчетахудобнееиметьделонеслокальными,асосреднимипоповерхности значениямиэтих величин. Несложнопоказать,
чтосреднеезначениекоэффициентатеплоотдачи(атакжекоэффициентамассоотдачи)дляпластиныдлинойLравноудвоенномулокальномузначениюэтогокоэффициентаприx=L.
Таким образом, критериальные (т.е. записанные в безразмерном
виде) формулы для средних коэффициентов тепло- и массоотдачи
имеютвслучаеплоскойповерхностиследующийвид:
0,5
0,5
3
3
;
0,664 ReNu Pr
= ;
0,664 ReSh Sc
=
где
втурбулентномпограничном слое,пользуютсядвуслойнойсхемой
этоготечения, всоответствиис которой турбулентный пограничный
слой состоит из двух зон: собственно турбулентнойзоны и вязкого
(ламинарного)подслоя,прилегающегок поверхноститела. Следовательно,процессыпереносатеплотыимассывтурбулентнойзонеобусловленычистотурбулентными механизмами(турбулентнойтеплопроводностью и диффузией), а в вязком подслое – молекулярными
механизмами(молекулярнойтеплопроводностьюидиффузией).
муюгидродинамическуютеориютепло-имассообмена,основанную
на аналогии между процессами турбулентногопереноса импульсаи
теплоты(либомассыпримеси).
ститела приналичии на нейтурбулентного пограничногослояпропорциональна сопротивлению трения, которое оказывает поверхностьдвижениюжидкости:
;
;
.
Прирассмотрениипроцессовтепло-имассоотдачи,происходящих
Эти процессы можно проанализировать используя так называе-
Согласноэтой теории, интенсивность теплообмена на поверхно-
101
p
тг т
cT
τ∆
+−
0,75
т
т
т
Pr
a
ν
= =
w
qT= α∆
тг т
c
τ
+−
1
1
тг т
0
0
Sc Sc
Sc
Sc Sc
wp
c
u
u
u
τ
β= ⋅
+−
q
=
w
u
0
гдеτ
–касательноенапряжениетрениянаповерхноститела;
w
w
u
Pr
Pr
u
Pr Pr
0
,
Pr
1
ΔT –температурныйнапор,ΔT = T0 – Tw;
uг–скоростьжидкостинаграницемеждуламинарнымподслоем
итурбулентнойзоной;
Pr–физическийкритерийПрандтля;
–турбулентноечисло Прандтля,здесьν
матическийкоэффициенттурбулентнойвязкости;а
– кине-
т
–коэффици-
т
енттурбулентнойтемпературопроводности;
–скоростьневозмущенногопотока.
u
0
Выразив в последнем равенстве плотность теплового потока на
поверхностичерезтемпературныйнапорикоэффициенттеплоотдачи
всоответствиисформулойНьютона
иразделивобечасти
этогоравенстванаΔТ,получимокончательнуюформулудлякоэффициентатеплоотдачивслучаетурбулентногопограничногослоя:
wp
α= ⋅
Pr Pr
u
Pr
0
Pr Pr
1
u
1
u
0
. (3.50)
Аналогичная формула для коэффициентамассоотдачиимеет сле-
дующийвид:
, (3.51)
гдеSc
–турбулентноечислоШмидта,Scт=0,75.
т
Формулы(3.50), (3.51) справедливыдлятурбулентного пограничногослоя, образующегосяна поверхности любой формы. Специфический вид выражений для коэффициентов тепло- и массоотдачи в
случаетел различнойформыполучается врезультатеподстановкив
формулы(3.50),(3.51)соответствующихвыраженийдлякасательного
напряжениятрениянаповерхноститела.Последниенаходятспомо-
102
щьюгидродинамическихэкспериментовилиизрешениясоответству-
0
wp
cuτ
τ
w
τ
wx
0,036 Re
2 0,2
0wL
u
−
τ= ρ
x
λ
L
λ
ющихгидродинамическихзадач.
Заметим, что формулы (3.50), (3.51) достаточно сложны, тем более
чтодляихиспользованияпредварительнодолжнабытьопределенаскоростьu
награницемеждуламинарнымподслоемитурбулентнойзоной.
г
Однакоформулатеплоотдачисущественно упрощаетсядля газов, у которых физический критерий Прандтля близок к турбулентному числу
Прандтля.Вэтомслучаеизвыражения(3.50)приPr=Pr
получим
т
α=
. (3.52)
Pr
Формуламассоотдачи(3.51) также упрощается для тех смесей, у
которыхфизическийкритерийШмидтаблизокктурбулентному.Действительно,приSc=Sc
извыражения(3.51)получим
т
β=
w
ρ
. (3.53)
Sc
u
0
При анализе гидродинамического турбулентного пограничного
слояна плоскойповерхности былинайдены выражениядля локального,т.е.изменяющегося от точкик точкепо длинепластины, касательногонапряжениятренияτ
исреднегозначения
w
нанекоторой
длинеL.Этивыраженияимеютследующийвид:
2 0,2
0,0291 Re
τ= ρ ;
−
u
0
.
Поставляя эти результатыв формулу (3.52), получим выражение
длялокальногозначениякоэффициентатеплоотдачи:
0,8
0,0291Re ,
α= ⋅
(3.54a)
x
иегосреднегонадлинеLзначения:
Умноживкаждоеизвыражений(3.52),(3.53) на линейныйразмер
(первоенаx, автороенаL) и разделивнаλ,получим соответствующиеформулывбезразмерномвиде:
0,0291Re .
α= ⋅
0,8
L
(3.54б)
103
0,8
0,036 ReNuL=
D
x
D
L
0,8
0,0291ReShx=
0,8
0,036 ReSh
LL
=
( )
0,0291Re ;Nux= (3.55а)
0,8
. (3.55б)
Формулы массоотдачи для турбулентного пограничного слоя на
плоскойпластинебудутиметьаналогичныйвид:
– длялокальногокоэффициентамассоотдачи
0,8
0,0291Re
β= ⋅
; (3.56а)
x
– длясреднегоподлинеLзначенияэтойвеличины
0,036 Re
β= ⋅ (3.56б)
0,8
L
или,вбезразмерномвиде,
; (3.57а)
. (3.57б)
Напомним, что приведенные формулы теплоотдачи справедливы
длягазов,амассоотдачи–длятакихсмесей,которыехарактеризуютсяфизическимкритериемШмидта,близкимпозначениюк0,75.
Вобщемслучае,кактурбулентного,такиламинарногодвижения,
формулыдлятепло-имассоотдачипривынужденнойконвекцииимеютвидNu= Nu(Re, Pr)иSh= Sh(Re,Sc).Этиформулыдля различныхслучаевдвиженияжидкостиидляповерхностейразличнойформыприведенывсправочниках.
3.2.5. Применение теории подобия для исследования
процессов конвективного тепло- и массопереноса
Рассмотрим процесс теплоотдачи при вынужденной конвекции
применительнокдвумерномустационарномутечениюнесжимаемой
жидкости вблизи твердой поверхности. Будемсчитать, что вязкость
жидкости не зависит от температуры, в этом случае динамическая
задача(расчетраспределенияскоростиидавлениявпотоке)не зависит от тепловой задачи и можетбыть решена заранее, так что поле
скорости
полагать,чтовыделениетеплазасчетвнутреннеготренияпренебрежимомало,атеплофизическиепараметрыжидкости–коэффициенты
104
,,,wx yztможно считатьизвестным. Каки ранее,будем
теплопроводностиλитемпературопроводностиa–постоянны,т.е.не
22
22
T T TT
uva
xy
xy
∂ ∂ ∂∂
+= +
∂∂
∂∂
0y
T
Ty
=
λ∂
α=
∆∂
0 w
TT T∆= −
( )
,,,, , ;
( )
,,,, , ,
зависятоттемпературы.ЗаданнымивеличинамиявляютсятакжетемператураповерхностиT
терный размер l
(например, гидравлический диаметр канала) и ха-
0
рактерноезначениескорости потокаu
ижидкостивдалиотповерхностиT0,харак-
w
(например, средняяскорость
0
навходевканал).
В соответствии с принятыми допущениями математическая фор-
мулировказадачивключаетуравнениеэнергии
(3.58)
и формулу для коэффициентаконвективнойтеплоотдачи(знак «минус»опущен,таккакнаправлениеосиОyпротивоположнонаправлениювнешнейнормаликтвердойповерхности)
. (3.59)
В результате решения сформулированной таким образом задачи
двеискомыевеличины(температураTикоэффициенттеплоотдачиθ)
определяютсяввидефункцийоткоординативсехпараметровзадачи,
вчислокоторыхвходяткоэффициенттеплопроводностиλ,коэффициенттемпературопроводностиa,температурныйнапор
,а
такжепараметры, определяющиерешение динамическойзадачи: характерноезначениескоростиu
,характерныйразмерпотокаl0,кине-
0
матическийкоэффициентвязкостииускорениесилытяжести.Таким
образом,эторешениедолжноиметьследующийвид:
т.е.каждаяискомаявеличиназависитотдвухкоординатисемипараметров.
Длянахожденияобобщенногорешения,описывающегогруппуподобных температурных полей, приведем систему уравнений (3.58),
(3.59) к безразмерному виду. Для этого введем безразмерные переменные:координатыX=x/l
U=u/u
, V=v/u0, избыточнуютемпературуθ =(T0–T)/ΔT, иумно-
0
, ,,T T xy a Tu l g= λ∆ ν
00
, ,,xy a Tu l gα=α λ ∆ ν
00
, Y=y/l0,компонентывектораскорости
0
105
жимсоотношения(3.58)и (3.59)наl0/aиl0/λсоответственно.Полу-
22
22
1
Pe
UV
XY
XY
∂θ ∂θ ∂ θ ∂ θ
+= +
∂∂
∂∂
0NuYY=
∂θ
=
∂
( )
,,
( )
,,
( )
Sh lD= β
/Sc D= ν
чим:
; (3.60)
, (3.61)
гдеPe–числоПекле,характеризующеесоотношениеинтенсивностей
переносатеплаконвекциейитеплопроводностью,Pe=u
0l0
/a;
Nu–числоНуссельта,Nu=αl0/λ,представляющеесобойбезраз-
мернуюформукоэффициентаконвективнойтеплоотдачи.
Решениесистемыуравнений(3.60), (3.61),вотличиеотисходной
системы(3.58),(3.59),имеетвидзависимостейбезразмерноготемпературного поля и безразмерного коэффициента теплоотдачи от безразмерных координати всего двух безразмерных параметров Re, Pr
(посколькуPe=Re∙ν/a=Re∙Pr):
Re,Fr,PrXYθ= ;
Nu Nu Re, Fr,PrXY= .
Приопределениисреднегопоповерхностизначениякоэффициентатеплоотдачивпренебрежениивлияниемсилытяжестиполучим
Именнотакойвид имеют эмпирические формулыдля конвективной теплоотдачи, получаемые путем обработки экспериментальных
данных.
К аналогичным выводам можно прийти в результате приведения
кбезразмерномувиду уравненияконвективнойдиффузии.При этом
аналогомчисла Нуссельтаявляетсябезразмерныйкоэффициентмассоотдачи (числоШервуда)
рийШмидта
Переностеплотытеплопроводностьювчистомвидеимеетместов
неподвижнойсплошнойсреде,напримервтвердыхтелах.
106
Nu Nu Re, Pr= .
,а критерия Прандтля–крите-
.
3.3. Перенос теплоты теплопроводностью
Теориятеплопроводности являетсяфеноменологическойтеорией.
T
w TaT
t
∂
+=∇
∂
0=w
2
T
aT
t
∂
= ∇
∂
/ac=λρ
222
222
T TTT
a
t
xyz
∂ ∂∂∂
= ++
∂
∂∂∂
Это означает, что она не рассматривает детального механизма процесса распространения теплоты, а ограничивается лишь описанием
этогопроцесса,основаннымнапостулатеФурье.
ВсвязистемчтосогласнопостулатуФурьевеличинаинаправлениевектораплотноститепловогопотокавкаждойточкепространства
полностьюопределяютсяраспределениемтемпературы,основнойзадачейтеориитеплопроводности являетсяотыскание температурного
полявсреде,т.е.нахождениефункцииT = T(x,y,z,t).
Для решения поставленной задачииспользуется дифференциальное уравнение теплопроводности. Рассмотрим подробнее частные
случаирешенияэтойзадачи.
3.3.1. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Постановка задачи теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности является частнымслучаемуравненияэнергии:
В неподвижной среде, в частности в твердом теле,
получаем
где
–коэффициенттемпературопроводности,м2/с.
Уравнение (3.62) позволяет уточнить смысл коэффициента температуропроводности применительно к нестационарным процессам теплопереноса: чем больше величина а, тем быстрее происходит перестройка(например,выравнивание)температурногополявтеле. Таким
образом,коэффициент температуропроводности характеризует термоинерционныесвойствавещества,чтоестественно,таккакэтавеличина
обратнопропорциональнаобъемнойтеплоемкостиматериаласρ.
Вдекартовыхкоординатахуравнениетеплопроводности(3.62)записываетсяследующимобразом:
grad
2
.
, тогда
, (3.62)
,
107
вчастности, для одномерноготемпературногополя, изменяющегося
2
2
TT
a
t
x
∂∂
=
∂
∂
2 22
2 22 2
11TTTTT
a
t rr
r rz
∂∂∂∂∂
= ++ +
∂∂
∂ ∂ϕ ∂
2
2
1T TT
a
t rr
r
∂∂∂
= +
∂∂
∂
C
DC
t
∂
2
2
CC
D
t
x
∂∂
=
∂
∂
вдольосиОx,получим
. (3.63)
В цилиндрических координатах (r, φ, z) уравнение (3.63) имеет
следующийвид:
, (3.64)
в частности, для одномерного осесимметричного температурного
поля,изменяющегосяпорадиусуцилиндра,
. (3.65)
Аналогичнымобразомдляописанияпереносамассыпримесивнутритвердоготелазасчетмолекулярнойдиффузиииспользуетсяуравнениедиффузии
2
= ∇∂, (3.66)
2
гдеD–коэффициентмолекулярнойдиффузии,м
/с.
Вчастности,есликонцентрацияпримесиизменяетсятольковдоль
осиОx,получим
Условия однозначности
Вопрос об условиях однозначности рассмотрим применительно
куравнению теплопроводности(3.62). Этоуравнение имеетбесчисленноемножестворешений,соответствующихбесчисленномуклассу
явленийтеплопроводности. Чтобы из этогомножества решений выделитьодно,соответствующееединичномуявлениюданногокласса,
необходимозадатьследующиеусловияоднозначности:
– геометрическиеусловия,определяющиеформуиразмерытела;
– физические параметры материала (коэффициент теплопрово-
дности,удельнуютеплоемкость,плотность);
108
. (3.67)
– начальные условия, т.е. распределение температуры в объеме
( ) ( )
( )
( )
,0
Tx T
( )
,,,
телавнекоторыймоментвремени t = 0, принимаемый заначалоотсчета;
– граничные условия, характеризующие тепловое взаимодей-
ствиеповерхностителасокружающейсредой.
Начальные и граничные условия объединяются термином «крае-
выеусловия».
Начальноеусловиезаписываетсявследующемвиде:
,,,0 ,,
T xyz T xyz= ,
T x, y, z – заданноепоусловию начальноераспределение тем-
где
н
н
пературы;например, для плоскойпластины толщиной δ, равномерно прогретой в начальный момент времени до температуры
,начальноеусловиеимеетвид
Т
н
= .
н
Граничныеусловия могутбыть заданытремя различнымиспосо-
бами.
1. Граничные условия первого рода.В этомслучае задаетсярас-
пределениетемпературынаповерхностителаиизменениеэтогораспределениявовремени,т.е.задаетсяфункция
T T x yzt= .
ww
Вчастномслучаеэтатемператураможетбытьпостояннойвовре-
мени,акрометого,инеизменнойповсейповерхноститела.
Т
2
0
Т(x,t)
х
Т
1
Т
н
–d/2 d/2
Рис.3.2.Распределениетемпературыпотолщинепластины
приграничныхусловияхпервогорода
109
ВслучаеодномерноготемпературногополяТ(x, t) вплоскойпла-
2
x TT
δ
=−=
2
T
xq
xq
x
δ∂
∂
стинетолщинойδграничныеусловияпервогородазадаютсяследующимобразом(рис.3.2):
при
2
δ
при
x TT
= =
гдеТ
иТ2–заданныепоусловиюзначениятемпературылевойипра-
1
;
1
(3.68)
,
2
войповерхностейпластины.
2. Граничные условия второго рода. Вэтомслучаезадаетсяраспре-
делениеплотноститепловогопотоканаповерхностителаиизменение
этогораспределениявовремени.СучетомпостулатаФурьеграничные
условиявторогородаможнозаписатьследующимобразом:
T
∂
−λ =
n
∂
w
,,,
q x yzt
( )
w
,
гдеn–координата,направленнаяповнешнейнормаликповерхности
тела;
q
–плотностьтепловогопотока,считаетсяположительной,если
w
переностеплотыпроисходитотвнешнихисточниковктепловоспринимающейповерхноститела.
Такимобразом,задание граничных условий второгородаозначает,посуществу,заданиеградиентатемпературынаповерхноститела.
Вчастномслучаеплотностьтепловогопотоканаповерхностиможет
бытьпостояннойвовремени,акрометого,инеизменнойповсейповерхноститела.
ВслучаеодномерноготемпературногополяT(x, t)в плоскойпластинетолщинойδграничныеусловиявторогородазадаютсяследующимобразом(рис.3.3):
при
= − −λ =
при
гдеq
>0иq2>0–заданныепоусловиюзначенияплотноститепло-
1
вогопотоканалевойиправойповерхностяхпластины.
110
2
δ∂
= +λ =
∂
x
T
;
1
(3.69)
,
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]