Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
на координатные оси и разложив полную производнуюскорости на
11
11
uuu u
p uuu u w
p uw
∂∂∂ ∂
11
2
1d
grad
d
w
k pw
t
= − + ν∇
ρ
222
222
22 2
222
222
222
u u u u p uuu
xyz
xyz
w w w w p www
xyz
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂
∂∂∂
локальнуюи конвективнуюсоставляющие,получимсистемуизтрех
скалярныхуравнений:
+++ =
t xy z
∂∂∂ ∂
k
= − +ν + + + + +
x
∂∂∂ ∂
uw
+++ =
t xy z
∂∂∂ ∂
k
= − +ν + + + + +
y
www w
∂∂∂ ∂
+++
t xy
∂∂∂
k
=− + + + ++
z
гдеk
,ky,kz–проекциивекторамассовойплотностивнешнейобъем-
x
ʋ
uw
222
∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂
ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ʋʋ ʋ
∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂
ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
uw
ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x xx y z
222
xyz
∂∂∂
3
ʋ
222
ʋ ʋ ʋ
y yx y z
p www u w
∂∂∂∂ ∂∂∂∂
z zx y z
222
xyz
∂∂∂
ʋ
222
222
∂∂∂
xyz
=
z
∂
3
3
нойсилынасоответствующиекоординатныеоси.
Для несжимаемой жидкости с учетом (2.31) получим более про-
стоеуравнение:
, (2.36)
котороевпроекцияхнакоординатныеосиимеетследующийвид:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂
u wk
+ + + = − +ν + +
t xy z x
∂ ∂ ∂ ∂ ρ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
ʋ ʋ ʋ ʋ ʋ ʋ ʋ
+ + + = − +ν + +
u wk
∂ ∂ ∂ ∂ ρ∂
t xy z y
u wk
+ + + = − +ν + +
∂∂∂ ∂ ∂
t xy z z
ʋ
ʋ
ʋ
1
x
p
1
y
1
z
ñ
∂∂∂
∂∂∂
ʋ
;
(2.35)
ʋ
ʋ
;
,
;
;
(2.37)
.
31
Присоединивксистемеуравнений(2.35)или(2.37)уравнениене-
1
w
kp
разрывности (2.29)или (2.31), получим замкнутуюсистему четырех
нелинейныхуравненийвчастныхпроизводныхвторогопорядкасчетырьмянеизвестнымифункциямиu, v, w иp.
Для получения конкретных решений при интегрировании каждой
изуказанныхсистемдолжныбытьзаданыусловияоднозначности,которыевключают,какуказывалосьранее,геометрические, физические,
граничные, а в случае нестационарного движения и начальныеусловия.Вреальнойжидкостиосновное граничноеусловиенаомываемой
жидкостью твердой поверхности заключается в допущении о прилипании жидкости к твердой поверхности, вследствиечего касательная
составляющаяскоростижидкостинанеподвижнойповерхностиравна
нулю.Второеграничноеусловиезаключаетсявнепроницаемоститвердой поверхности и в связи с этим равенстве нулю нормальной к поверхностисоставляющейвектораскоростижидкости.
Вчислограничныхусловиймогутвходитьтакжезаданныезначенияскоростиидавлениянадостаточнобольшомрасстоянииоттела–
при его внешнем обтекании, или во входном сечении канала – при
течениижидкостивканале.Начальныеусловияпредусматриваютзаданиераспределений скоростии давления в потокев некоторыйначальныймоментвремени.
Приведенные выше системы уравнений с соответствующимиусловиямиоднозначностиописываютгидродинамикулюбойсплошной
среды:реальнойиидеальной,сжимаемойинесжимаемой,движущейсяипокоящейся.Длярешенияэтихсистемвобщемслучаенеобходимоприменениеметодоввычислительнойматематики.Аналитические
решения удается получить только в частных случаях; некоторые из
нихбудутрассмотреныдалее.
Прирешении практическихзадачМЖГ частоприменяется модель
идеальной жидкости. Выражение закона сохраненияимпульса в этом
случаеполучим, исключиввуравнении Навье –Стокса(2.34) слагаемое,характеризующеемассовуюплотностьсилывнутреннеготрения:
32
2.2.3. Закон сохранения импульса для идеальной
жидкости или газа
d
= −
d
t
grad
ρ
. (2.38)
( )
Этоуравнениеназываетсяуравнением Эйлера.
uuu u p
t xy z x
t xy z y
www w p
t xy z z
∂∂∂ ∂ ∂
∂∂∂ ∂ ∂
∂∂∂ ∂ ∂
0ddwt=
1
gradkp=
ρ
0gradp =
ВпроекцияхнакоординатныеосиуравнениеЭйлеразаписывается
ввидевсистемытрехскалярныхуравнений:
u wk
+++ =−
∂ ∂ ∂ ∂ ρ∂
ʋ ʋ ʋ ʋ
+++ =−
∂ ∂ ∂ ∂ ρ∂
ʋ
ʋ
u wk
u wk
+++ =−
∂ ∂ ∂ ∂ ρ∂
ʋ
1
x
y
z
;
p
1
(2.39)
;
1
.
ВотличиеотуравненийНавье–СтоксауравненияЭйлераявляютсянелинейнымидифференциальнымиуравнениямивчастныхпроизводныхпервогопорядка.
Присоединивкуравнениям(2.39)уравнениенеразрывности(2.29)
или(2.31),получимзамкнутуюсистемуизчетырехуравненийдлянахождения четырех неизвестных функций: трех компонент скорости
и давления. Для получения единственного решения к этой системе
уравненийнеобходимоприсоединитьусловияоднозначности.
Уравнение Эйлера применимо как для сжимаемой, так и для несжимаемойжидкости,так как видеальной жидкости при изменении
объеманевозникаетникакихдополнительныхсил.
2.3. Уравнения Эйлера для статики
Еслижидкостьнеподвижнаилидвижетсяспостоянной,независящейниоткоординат,ниотвременискоростью,то
,ивместо
уравнения(2.38)получим
Это соотношение называется уравнением Эйлера для статики и
выражаетусловиеравновесиянеподвижнойжидкости:внешниемассовыесилыуравновешенысиламидавления.
Таким образом, силы давления в неподвижной жидкости действуюттольковтомслучае, когдажидкостьнаходитсяв поле внешних объемных сил, например силы тяжести. В противном случае
,давлениевсюдуодинаковоисилыдавленияотсутствуют.
. (2.40)
33
Уравнения статикисправедливыкакдляидеальной, таки для ре-
g
0
xy
kk= =
0
pp
xy
∂∂
= =
∂∂
( )
, constpxy =
1 ddp
gz=
ρ
ddp gz=ρ⋅
p gz C=ρ⋅ ⋅ +
0
pp g z= + ⋅ρ⋅
альной жидкости, так как при отсутствии движения в жидкости отсутствуютсилы трения. Если из внешних сил на покоящуюсяжидкостьдействуеттолькосилатяжести,томассоваяплотностьвнешней
силы равна ускорению силы тяжести
. Тогда при выборе системы координат с горизонтально направленными осями Оx и Оy получим
. Из уравнения (2.40) следует, что в этом случае
или
,т.е.впокоящейсяжидкостидавление
вгоризонтальнойплоскостиостаетсянеизменным.
2.3.1. Изменение давления по глубине в неподвижной
несжимаемой жидкости
Рассмотрим неподвижную жидкость, находящуюся в поле силы
тяжестиизанимающуюнастолькобольшойобъем,чтокраевымиэффектами,связаннымисдействиемсилповерхностногонатяженияна
стенкахсосуда,можнопренебречь.
Пусть положительноенаправление оси Оz совпадает с направлениемдействиясилытяжестииz = 0насвободнойповерхностижидкости,гдедействуетдавлениеp
(рис.2.4).
0
Врассматриваемомслучаеуравнение(2.40)принимаетвид
. (2.41)
Умножаяобечастинаρdz,получаем
.
Интегрируяпоследнееуравнениеприρ=const,находим
,
гдеC–постояннаяинтегрирования,значениекоторойопределяемиз
бине линейно увеличивается, и тем быстрее, чем выше плотность
жидкости.
34
граничногоусловияp(0) =p
:полагая z = 0, получаемC = p0и,
0
следовательно,решениезадачиимеетвид
. (2.42)
Такимобразом,вслучаенесжимаемойжидкостидавлениепоглу-
Рис.2.4.Распределениедавленияпоглубиневнеподвижнойжидкости
( )
0
0pp=
1 ddp
gz−=
ρ
ddp gz= −ρ⋅
00
/ppρ=ρ
00
ddp pgzp=−ρ ⋅ ⋅
0
0
ddgz
p
pp
ρ⋅
= −
0
0
lngp zC
p
ρ⋅
=−+
2.3.2. Изменение давления по высоте в сжимаемом
газе
Рассмотрим случай, когда плотность газа зависит от давления и
уменьшаетсяповысотевсвязисуменьшениемдавления.
ОсьОzнаправимвертикальновверх,приz = 0давление
Изуравнения(2.40)получим
и
.
Газсчитаемидеальным,температурупостоянной;тогдавсоответствиисзакономБойля –Мариотта плотностьпропорциональна давлению, т.е.
ниюp
.Подставляяэтовыражениевуравнение(2.43),получаем
0
или,разделяяпеременные,
Послеинтегрированияэтогоуравненияполучаем
. (2.43)
, где ρ0 – плотность, соответствующаядавле-
.
.
35
ПостояннуюинтегрированияСопределимизграничногоусловия
( )
0
0pp=
0
lnCp=
00 0
ln lnp p gzp= −ρ ⋅ ⋅
( )
00
0
gp z
p pe
−ρ⋅
=
0
pp g z= − ⋅ρ⋅
0гг
p p gz= −ρ ⋅ ⋅
0вв
p p gz= −ρ ⋅ ⋅
.Полагаяв последнем решении z = 0,получаем
Такимобразом, это решение принимаетвид
откуда,потенцируя,получимокончательно
.
,
. (2.44)
Отметим, что при небольших значениях z, когдаможносчи-
тать,чтоρ=const,аналогично(2.42)получим
. (2.45)
2.3.3. Избыточное давление в рабочем пространстве
печи, заполненном легким газом
На рис. 2.5 изображена схема металлургической печи, рабочее
пространство которой заполнено высокотемпературными газами с
плотностью, существенно меньшей, чем плотность окружающего
воздуха.Наподупечи,науровнерабочихоконподдерживаетсядавлениеp
,равное давлениюокружающейсреды.Это необходимодля
0
исключения подсоса воздуха в печь или выбивания газов из печи.
Найдем,какизменяетсяповысотедавлениевнутрипечиp
жающемвоздухеp
.Всвязиснебольшойвысотойпечиhизменением
в
ивокру-
г
плотностиповысотебудемпренебрегать.
Применяя решение (2.45), получаем следующие выражения для
давления:
– внутрипечи
– вокружающемвоздухе
36
Рис.2.5.Изменениеизбыточногодавленияповысотепечи
;
.
Поскольку
гв
ρ <ρ
( )
г в вг
p p p gz∆ ≡ − = ρ −ρ ⋅ ⋅
( ) ( )
вг
ph gh∆ = ρ −ρ ⋅ ⋅
,давлениевнутрипечиубываетповысотемедленнее,чемснаружи(см.графикнарис.2.5),иприлюбомz > 0давлениевпечибудетбольше,чемвокружающейсреденавеличину
. (2.46)
Например,приz = h,т.е.подсводомпечи,
. (2.47)
Такимобразом,есливверхнейчастипечиимеютсяотверстияили
неплотностивкладке,точерезнихбудетпроисходитьвыбиваниегазовизпечи.
2.3.4. Принцип действия дымовой трубы
Нарис.2.6приведенасхема,накоторойпоказанадымоваятрубаА
высотойH,соединеннаядымовымканаломБспечьюВ.
Давлениевпечи на уровнепода,откудапроизводитсяотбор продуктов сгорания, практически равно атмосферному давлению на
уровне основания трубы, т.е.в сечении 2–2. В сечении 1–1 в устье
трубы давление такое же, какв окружающей среде на этомуровне,
.
т.е.p
0
А
Направимось Оzвертикальновниз.Плоскостьz = 0 расположим
всечении1–1устья трубы.Плотностьρ
В
Б
Рис.2.6.Распределениедавленияповысотетрубы
продуктовсгорания,запол-
г
37
няющих трубу, имеющих достаточно высокую температуру, суще-
00
;
вв гг
p p gz p p gz= +ρ ⋅ ⋅ = +ρ ⋅ ⋅
вг
ρ >ρ
( ) ( )
00
;
в вг г
p H p gH p H p gH= +ρ ⋅ ⋅ = +ρ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )
г в гв
p p H p H gH∆ = − = ρ −ρ ⋅ ⋅
ственно меньше плотности ρ
изменениемρ
иρв,связаннымс изменениемдавления,оба газа, т.е.
г
окружающего воздуха. Пренебрегая
в
продуктысгорания и окружающий воздух, будем рассматриватькак
несжимаемыежидкости.
Легковидеть,чторассматриваемаязадачааналогичназадачеораспределениидавления по глубине жидкости, т.е. изменение давления
каквнутритрубыp
,такив окружающейсредеpвпомереудаления
г
внизотсечения1–1описываетсявыражением(2.42):
.
Таким образом, в любом сечении, расположенном ниже сечения
1–1,давлениевнутритрубыбудетменьше,чемвокружающейсреде,
поскольку
.В частности,в плоскостиоснования трубы(все-
чении2–2),т.е.приz = H,
.
Следовательно,воснованиитрубысоздаетсяразрежение
Поскольку,как было сказано выше,давление впечи равнор
под действием разрежения продукты сгорания будут отводиться из
печивдымовойканаливтрубу.
Какследуетизвыражения(2.48),разрежение,создаваемоетрубой,
будеттембольшим,чембольшееевысотаHичемменьшеплотность
продуктовсгорания,т.е.чемвышеихтемпература.
2.3.5. Закон сохранения энергии для идеальной
жидкости (уравнение Бернулли)
Другимпрактическиважнымслучаем,когдаудетсялегкополучить
аналитическое решение уравнений Эйлера, является стационарное
движениенесжимаемой идеальной жидкостив трубемалого диаметра. Получаемоепри этомрешение, т.е. интеграл уравнений Эйлера
подлинетрубы,носитназваниеуравнения Бернулли ивыражаетзакон
сохраненияэнергиидляидеальнойжидкости.
38
. (2.48)
(Н),
в
Рассмотримэлементдлинытрубкитока1,показанныйнарис. 2.7.
1
cos
dd
dd
up
ug
nn
=− α−
ρ
cos ddznα=
( )
2
0
2
d
dd
dd d
u
pz
g
nn n
ρ
+ +ρ =
Жидкостьдвижется вполе силытяжести, ускорениекоторой, т.е.ее
массоваяплотность, направлено противоположно оси Оz. Движение
врассматриваемойточкепроисходит внаправленииn. Жидкостьнесжимаема,режимдвижениястационарный.
dn
dz
Рис.2.7.КвыводууравненияБернулли
Запишемуравнение Эйлера (2.38)при указанныхусловияхвпроекции на ось On, обозначив проекцию вектора скорости на это направлениечерез u иучитывая,что всвязисо стационарностью движенияималымзначениемпоперечногосечениятрубкитокаскорость
жидкостиидавлениезависяттолькоотn:
. (2.49)
Заметим,чтолеваячастьэтогоуравнения представляетсобой половинупроизводнойквадратаскоростипоnи
.Умножая
обечастинаρ,получаем
Уравнения (2.49) и (2.50) представляют собой различные формы
записиодногоитогожеуравненияЭйлерадлярассматриваемоготечения,но еслив (2.49)каждое слагаемоепредставляетсобой массо-
1
Трубкой токаназывается объем движущейся жидкости,ограниченный поверхностьютока,т.е.такойповерхностью,вкаждойточкекоторойвекторскоростиявляетсякасательнойк поверхности.Такимобразом, потокнигдене пересекаетповерхностьтока.
. (2.50)
39
вую плотность определенной силы и имеет размерность [Н/кг] или
2
2
const
u
p gz
ρ
+ +ρ =
2
/2uρ⋅
2
],тов(2.50)каждоеслагаемое–этообъемнаяплотностьсилыс
[м/с
3
размерностьюН/м
.
Проинтегрировав последнее уравнение по n и учитывая, что
ρ=const,получаем
. (2.51)
Полученное выражение представляет собой уравнение Бернул-
*
ли для трубкитока
уравнении,имеющееразмерность[Дж/м
идеальной жидкости. Каждое слагаемое в этом
3
],[Н/м2]или[Па],получено
интегрированиемобъемнойплотности силыпо путидвижения жидкости и, следовательно, имеет смысл объемной плотности энергии,
т.е.энергии,отнесеннойкединицеобъема.Однакопосколькуразмерностьвсехслагаемыхсовпадаетсразмерностьюдавления,ониназываютсядавлениями.
Первое слагаемое
в уравнении (2.51) представляет собой объемную лотность кинетической энергии движущейся жидкостииназываетсядинамическим давлением.Второеслагаемоеpимеет
смысл объемной плотности потенциальной энергии давления и называется статическим давлением. Наконец, третье слагаемое ρ·g∙z,
представляющеесобойобъемнуюплотность потенциальнойэнергии
положения,называетсягеометрическим давлением.
Таким образом, уравнение Бернулли является математическим
выражением законасохранения энергии для трубки тока несжимаемойидеальнойжидкостии показывает,чтосуммарнаямеханическая
энергия, т.е. суммакинетическойи потенциальной энергий, по длине трубки тока остается постоянной. Этот результат объясняется,
во-первых,тем,чтопри движенииидеальнойжидкостиотсутствуют
силытренияипотериэнергиинатрениеи,во-вторых,тем,чточерез
поверхностьтрубкитокажидкостьнепроходити,следовательно,отсутствуетобменэнергиейсокружающейжидкостью.
ВсоответствиисуравнениемБернуллимеханическаяэнергияможет переходить из одного вида в другой. Так, при горизонтальном
движениижидкости,т.е.при z= const, ускорениепотокаприводитк
уменьшению статического давления и, наоборот, при уменьшении
скоростистатическое давление возрастает.На этомявлении основа-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]