Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
илинагревающее (приTw > T0)влияние поверхности пластиныраспространяется вследствие теплопроводности на все новые и новые
слои жидкости. Однакоэтот слой, так же как и гидродинамический
пограничный слой, остается тонким по сравнению с характерными
размерамипластины.
Такимобразом,тепловойпограничныйслой характеризуетсятем,
что в пределах его толщины имеет место градиент температуры и
перенос теплоты поперек потока(в направлении оси Оy). За пределамитепловогопограничногослояпоперечныйпереностеплотыотсутствует.
Аналогичный смысл имеет понятие диффузионного пограничногослоя.В пределах егомалойтолщины δ
концентрациипримесиотзначенияС
С
навнешнейграницепограничногослоя.Толщинадиффузионного
i0
iw
происходитизменение
С
наповерхностипластины до
пограничного слоя также возрастает по длине пластины вследствие
массообменасповерхностью,ноостаетсямалойпосравнениюсэтой
длиной. В пределах диффузионногопограничногослоя имеет место
градиент концентрации и происходит поперечный перенос массы
примеси путем молекулярной диффузии. За пределами диффузионногопограничногослоя(вневозмущенномпотоке)концентрацияC
i0
постояннаипоперечныйпотокмассыпримесиотсутствует.
Для решения задачи конвективного тепломассообмена с использованием моделей теплового и диффузионного пограничных слоев
необходимо доказать,что толщина этих слоев меньше толщины гидродинамического пограничного слоя. Только в этом случае можно
считать,что поперечный перенос теплоты и массы примеси в омывающей среде происходит только за счет молекулярного движения.
Исходя из тройнойаналогии и данных, приведенных в разд. 2, принимаем, что толщина пограничного слоя зависит от значения соответствующего коэффициента переноса – чем больше коэффициент
переноса,тембольшетолщинасоответствующегопограничногослоя.
Тогда соотношение толщины пограничных слоев пропорционально
соотношениюсоответствующихкоэффициентовпереноса. Втеорию
конвективного тепломассообменас этой целью вводятдва критерия
подобия. Первый из них называется критерием Прандтля и представляетсобойотношениекинематическогокоэффициентавязкостик
коэффициентутемпературопроводности:
91
Pr
a
ν
=
,
Sc
i
D
ν
=
3
Pr Re
x
x
Re
0
3
l
c
x
S
Re
0
3
l
c
x
S
т.е. отношение интенсивностей молекулярного переноса импульсаи
теплоты. Второй критерий называется критерием Шмидта ипредставляетсобойотношениекинематическогокоэффициентавязкостик
коэффициентумолекулярнойдиффузиипримеси:
,
т.е. отношение интенсивностей молекулярного переноса импульсаи
массыпримеси.
Установлено, что толщинатеплового пограничногослоя уменьша-
етсяпривозрастаниикритерияПрандтлявсоответствиисвыражением
δ
~
Т
, (3.30)
гдеx–расстояниеотпереднейкромкиповерхности.
Толщина диффузионного пограничного слоя аналогичным обра-
зомзависитоткритерияШмидта:
δ
~
С
. (3.31)
Вразд.2былопоказано,чтотолщинагидродинамическогопограничногослояпри ламинарномомывании пластиныобратно пропорциональнакритериюРейнольдсавстепени0,5:
δ
~
С
. (3.32)
Для газов значения критериев Прандтля и Шмидта постоянны и
близки к единице. Тогда из выражений (3.30)–(3.32) следует, что в
этомслучае
d ≈ d
≈ dС.
Т
Если движущаяся среда – жидкость, то значения критериев
Прандтля и Шмидта изменяются в широких пределах, оставаясь
большеединицы.Таккаксогласновыражениям(3.30)–(3.32)соотношениямеждуδ,δ
92
иδСимеютвид
Т
T
δ
δ
3
1
Pr
δ
δ
3
1
Sc
2
TTT T
u w aT
t dx dy dz
∂∂∂ ∂
+ +ν + = ∇
∂
~
и
C
~
, (3.33)
тодляслучаевомыванияпластиныжидкостьютолщиныдиффузионногоитепловогопограничныхслоев окажутсяменьшетолщиныгидродинамического пограничногослоя. Такимобразом, решая задачи
конвективного тепло- и массообмена, можно применять модели тепловогоидиффузионногопограничныхслоев.
Исключениесоставляют жидкие металлы, для которых в связи с
наличиемэлектронной проводимостикоэффициенттемпературопроводностиаоченьвелик,акритерийПрандтлянастолькомал, что d
Т
определяемаяпоформуле(3.30),становитсябольшеd.Вэтомслучае
теориятепловогопограничногослоянеприменима для исследования
конвективнойтеплоотдачивжидкихметаллах.
Представленныйвышеанализмеханизмовконвективного переносатеплотыимассыпримесипоказывает,чтодляопределенияпотоков
теплотыи массыпримеси, переносимых в процессах конвективного
обмена,предварительнонеобходиморешить гидродинамическуюзадачу–найтиполескоростейдвижущейсясреды.
В дальнейшем при изложении математических моделей конвективного переноса предполагается, что соответствующая гидродинамическаязадачауже решена и скорость средынайденакак функция
координативремени.
,
3.2.1. Уравнения энергии и конвективной диффузии
Длянахожденияполей температурыи концентрациипримесииспользуютсязаконысохраненияэнергииимассы.
Закон сохранения энергии выражается уравнением переноса теплотывдвижущейсясреде(уравнениемэнергии)
Выражение,стоящеевлевойчастиуравнения(3.34),представляет
собойполную(субстанциальную) производнуютемпературыпо времениdT/dtивключаетвсебяизменениетемпературывданнойточке
1
В литературеможновстретить и другие названияэтогоуравнения: уравнение
Фурье–Кирхгофа,уравнениетеплопроводностидлядвижущейсяжидкости.
1
:
. (3.34)
93
вовремени (локальная производная∂T/∂t)и изменениетемпературы
gradwT
d
T
aT
t
( )
,,,w xyzt
d dd
m
M Vt
∂
,,
x yz
mmm
div ddM mV t∇=−
2
dd
C
MVt
t
∂
∇=ρ
∂
во времени, обусловленное перемещением этой точки в поле переменнойтемпературывместесдвижущейсяжидкостью(конвективная
производная
).Такимобразом,уравнение(3.34)можнопред-
ставитьвследующемвиде:
d
2
= ∇ .
Уравнение энергии позволяет при использовании соответствующих условий однозначности и при известном распределении скорости
рассчитатьраспределениетемпературывпотокежид-
кости.
Совершеннотакже,какиуравнениеэнергии,записываетсяуравнение конвективной диффузии, т.е. уравнение переноса массы примесив движущейсяжидкости.При этомжидкостьсчитается несжимаемой,коэффициентдиффузиипостоянным,авлияниетеплообмена
напереносмассы примеси пренебрежимо малым(точнотакже, как
пренебрежимомалымсчиталосьвлияниемассообменанапереностеплоты).
Рассматриваяпроцесс переноса массы примеси через элементарныйобъемdVзавремяdt, получаемвыражениедля разностимежду
количествомпримеси,поступившейвобъемdVивышедшейизнего:
m
где
2
∂
=− ++
x
xyz
∂∂∂
– проекции вектора плотностипотокамассы наоси
m
∂
y
z
,
координат,или
Однако изменение количества примеси в объеме dV за время dt
есть
Приравнивая на основе закона сохранения массы правые части
приведенныхвыраженийиучитывая,чтоперенос массыпроисходит
за счет молекулярной диффузии и чисто конвективного механизма,
получаем
94
2
.
.
2
.
CCC C
u v w DC
t xy z
∂∂∂ ∂
+++ =∇
∂∂∂ ∂
(3.35а)
d
C
DC
t
0
Tt∂
=
∂
22
22
T T TT
uva
xy
xy
∂ ∂ ∂∂
+= +
∂∂
∂∂
22
22
TT
xy
∂∂
<<
∂∂
Это уравнение, полученное на основании постулата Фика (3.16)
изаконасохранениямассы,носитназвание уравнения конвективной
диффузии. Оно полностью аналогично уравнению энергии (3.35а).
Выражение, стоящее в левой части уравнения (3.35а), представляет
собойсубстанциальнуюпроизводнуюконцентрациипримесиповремени,поэтомуэтоуравнениеможнозаписатьвследующемвиде:
d
2
= ∇ . (3.35б)
Решением уравнения конвективной диффузии определяется распределениеконцентрациипримесивпотокежидкости.
3.2.2. Уравнения энергии и конвективной диффузии
для пограничного слоя
Тепловойпограничный слойхарактеризуетсятем, чтовпределах
его толщины имеет место градиент температуры и, следовательно,
поперечныйпереностеплоты.Запределамитепловогопограничного
слоя(приy > d
)поперечногопереносатеплотынет.Толщинатепло-
х
вогопограничного слоя является функцией продольнойкоординаты
x,возрастаяпомереудаленияотпереднейкромкипластины,ноостаетсямалойпосравнениюсx.
Течениев пограничных слояхможно считатьплоским. Егопараметрыизменяютсявдольосей ОxиОy,но неизменнывдольосиОz.
Тогдадлястационарногорежиматеплообмена(при
)исходное
уравнениеэнергии(3.34)принимаетвид
. (3.36)
Оценкапорядкавеличинвправойчастиуравнения(3.36)показы-
вает, что
ногослояпринимаетследующийокончательныйвид:
,иуравнениеэнергии длятепловогопогранич-
95
2
2
TT T
uva
xy
y
∂∂∂
+=
∂∂
∂
. (3.37)
2
2
CC C
uvD
xy
y
∂∂ ∂
+=
∂∂
∂
( )
1
тyy
p
TT
u v qq
x y cy
∂∂ ∂
+=− +
∂ ∂ ρ∂
1
yy
u u mm
+=− +
y
T
q
y
∂
= −λ
∂
yp
′′
y
C
mD
y
∂
= −
∂
′′
Точно так же можноиз уравнения конвективнойдиффузииполу-
читьдлядиффузионногопограничногослоя:
. (3.38)
Применительно к турбулентному пограничному слою уравнения
энергиииконвективнойдиффузииприобретаютследующийвид:
; (3.39)
∂∂ ∂
CC
xy y
гдеq
–плотностьпоперечного(вдольосиOy)тепловогопотока,пе-
y
∂ ∂ ρ∂
( )
, (3.40)
т
реносимогочистомолекулярныммеханизмом,
– плотность поперечноготеплового потока,переносимого за
q
тy
счетпульсационногопоперечногодвижениятурбулентныхмолей,
q c vT
= ρ
т
;
my– плотностьпоперечногопотокамассыпримеси,переносимо-
гочистомолекулярныммеханизмом,
– плотность потока массы примеси, переносимой за счет
m
тy
пульсационногопоперечногодвижениятурбулентных молей,т.е.
засчеттурбулентнойдиффузии,
3.2.3. Уравнения конвективной тепло- и массоотдачи
Предположим, что вблизи поверхности некоторого тела произвольной формы движется сплошная среда (жидкость или газ), имеющаятемпературуT
≠ Tw, между жидкостью и поверхностью тела будетпроисходить
T
0
теплообмен.Приэтомплотностьтепловогопотока,передаваемогоот
невозмущенногопотока к поверхности тела или наоборот, согласно
формулеНьютона(3.28),
96
;
;
m vC
= ρ .
тy
.Температураповерхности теларавнаTw.Если
0
( )
0 w
q TT=α−
.
0n
T
q
n
=
∂
= −λ
∂
0n
T
0n
0n
Сдругойстороны,впределахтепловогопограничногослоя,внепосредственной близости от твердой поверхности, скорость потока
уменьшается и обращается в нуль на самой поверхности. В узкой
зонеламинарногоподслояпереностеплотывнаправлении,нормальномкповерхности,возможентолькозасчетмолекулярнойтеплопроводности.СогласнопостулатуФурье(3.9)плотностьтепловогопотокавэтомслучае
.
Посколькудля установившегося режима теплообмена плотности
тепловыхпотоковдолжныбытьравны,получимуравнение
T
α∆ = −λ
T
∂
∂
, (3.41)
n
=
которое называется дифференциальным уравнением конвективной
теплоотдачи. Это уравнение часто используетсяпри формулирова-
нииграничныхусловийвзадачахконвективноготеплообмена.Кроме
того,из уравнения(3.41)можнополучить формулу дляопределения
коэффициентатеплоотдачиприизвестномраспределениитемпературывпотокевблизиповерхноститела(ΔTиλдолжныбытьзаданы):
λ∂
α=
Tn
∆∂
. (3.42)
0n
=
Наоснованииэтихрассуждений,исходяизпостулатаФика(3.16)
и формулы (3.29), можно получить дифференциальное уравнение
конвективноймассоотдачи:
гдеΔC
Из уравнения (3.43) легко получить формулу для коэффициента
массоотдачи,аналогичнуюформуле(3.42):
= C0i – Cwi.
i
β∆ = −
CD
β=
∆∂
C
∂
∂
n
DC
∂
Cn
, (3.43)
=
, (3.44)
=
97
которая позволяет найти коэффициент массоотдачи при известном
( )
3
0
31
,
22
yy
uy u
= −
δδ
0,5
т
3
δ
1
δ
Pr
≈
05 033
т
,,
x
0
Re
x
ux
v
=
распределенииконцентрациипримесивдвижущейсяжидкостивблизиповерхноститела.
3.2.4. Конвективная тепло- и массоотдача
при вынужденном движении в ламинарном
пограничном слое
Рассмотрим сначала процесс теплоотдачи в ламинарном погра-
ничном слое наплоскойпластине.Задачасостоитвопределенииза-
висимостикоэффициентатеплоотдачиαоткоординатыхиосновных
параметров процесса. Для ее решения необходимо предварительно
определитьраспределения скорости u(y) и температурыT(y) по толщинетепловогопограничногослоя.
Чтокасаетсяраспределенияскорости,топриисследованиигидродинамическоголаминарногопограничногослоянаплоскойпластине
былополученовыражение
гдеδ – толщина гидродинамического пограничного слоя, найденная
изрешениядинамическойзадачикакфункциякоординатыx;
u0–скоростьневозмущенногопотока.
Всвязистемчтоизменениетолщиныгидродинамическоголаминарногопограничного слоя по длинепластиныизвестноиз решения
гидродинамическойзадачи:
4,64 Rexx
δ= ,
−
формула(3.33)
позволяетнайтивыражениедлятолщинытепловогопограничногослоя:
где
4 64 Re Pr
,x
δ= , (3.45)
– число Рейнольдса,вкоторомрольхарактерногораз-
−
мераиграеттекущеерасстояниеотпереднейкромкипластины.
98
Полученныйрезультатозначает,чтотолщинатепловогопогранич-
δ
1
x
ногослоя:
– каки толщинагидродинамического пограничногослоя, растет
0,5
вдоль поверхности пропорционально x
, что объясняется проникновением, по мере продвижения вдольповерхности, теплового воздействиястенкивседальшеидальшевневозмущенныйпотоквследствиепоперечногопереносатеплоты;
– будет тем большей, чем выше коэффициент температуропро-
1/3
~а
водностижидкости(δ
т
),таккакувеличениеаозначаетростинтенсивностипоперечногопереносатеплотызасчетмолекулярнойтеплопроводности;
– уменьшается при увеличении скорости невозмущенногопотока
(δт~u
u
0
–0,5
),чтообъясняетсяувеличениеминтенсивностиконвектив-
0
ного,продольногопереносатеплоты,приводящимкболееинтенсивномупроникновениюневозмущенногопотокавпограничныйслой.
Необходимоподчеркнуть,чтовсеприведенныевышерассуждения
справедливыприусловии 1
чает,чтоPr≥1,чтовыполняетсядлянеэлектропроводныхжидкостей.
т
≤δ.Согласноформуле(3.33) этоозна-
г
Длягазов,укоторых0,6≤Pr≤1,оно,строгоговоря,невыполняется,
однакоошибка,связаннаяснарушениемуказанногоусловия,невеликаиполученныевыводыможносчитатьсправедливыми.Этивыводы
несправедливы, как ужеуказывалось выше, для теплоотдачив жидкихметаллах.
Знаятолщину тепловогопограничногослоя, определяем коэффи-
циенттеплоотдачипоформуле
λ∂
α=
T
∆∂
Ty
0,y
=
или,сучетом(3.45),поформуле
λ
05
,
0 332 Re Pr
,
α=
3
. (3.46)
x
Такимобразом,коэффициенттеплоотдачиуменьшаетсяпо длине
пластиныобратнопропорциональноx
0,5
.
Такой характер изменения коэффициента теплоотдачи по длине
пластины объясняетсятем, что по мере удаления отпереднего края
99
пластинытолщинатепловогопограничногослояувеличивается,нов
1
x
D
x
D
x
тоже время разность температур(температурныйнапор) по толщинепограничногослояΔТ = Т
– Тwостаетсянеизменной.Поэтомупо
0
мере удаления от передней кромки пластины поперечный градиент
температурынаповерхностиуменьшается,чтоприводиткуменьшениюкоэффициентатеплоотдачи.
Из выражения (3.46) следует также, что коэффициент теплоот-
дачи возрастает при увеличении скорости невозмущенного потока
0,5
(α~ u
),таккак при этомуменьшается толщина тепловогопогра-
0
ничногослоя.Оноказываетсятембольшим,чемвышекоэффициент
температуропроводностижидкости,посколькуприэтомувеличиваетсяинтенсивностьмолекулярногопереносатеплотыпоперекпотока.
Выражение (3.46) легко представить в безразмерном виде. Действительно,умноживобечастиэтоговыражениянаxиразделивнаλ,
получимвлевойегочастибезразмернуювеличинуαx/λ=Nu,которая
называетсячислом Нуссельта ипредставляетсобойбезразмерныйко-
эффициенттеплоотдачи.Такимобразом,формуладлякоэффициента
теплоотдачиимеетвбезразмернойформеследующийвид:
0,5
Nu 0,332Re Pr
= . (3.47)
3
Аналогичным образом можно рассчитать процесс массоотдачи
при ламинарном движении жидкости вдоль плоской поверхности:
коэффициентмассоотдачи,такжекаккоэффициенттеплоотдачи,обратно пропорционален толщине диффузионного пограничного слоя,
чтообусловленовозрастаниемсопротивленияпоперечномупереносу
массыпримесии уменьшением градиентаконцентрациипримесина
поверхностипомереувеличениятолщиныпограничногослоя:
0,332 Re Sc
β= . (3.48)
3
x
Разделивобечастивыражения (3.48)наD иумноживнаx, получимв еголевой частибезразмернуювеличину βx/D = Sh, аналогичную числу Нуссельта, представляющую собой безразмерный коэффициент массоотдачи и называемую числом Шервуда. В результате
формула(3.48)приобретаетследующийвид:
0,332 Re Sc
β= . (3.49)
3
x
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]