Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
Для определения скорости движения жидкости или газа введем
dV
0
lim
d
d
d
t
VV
V
tt
∆→
∆
= =
∆
w
dV
ddV
wn
S
=
w
n
w ui= +
i jk
( )
( )
,,w wxyz
понятиепотокаобъема(объемногорасхода)
,м3/с,какотношения
объемажидкостиилигазаΔV,проходящегочерезнекоторуюповерхностьΔSзаинтервалвремениΔt,квеличинеэтогоэлементарногоинтервала:
. (2.7)
Скорость движения жидкости или газа
бой плотность потока объема, т.е. отношение потока объема
,м/с,представляетсо-
к
площади dS элементарной поверхности, нормальной к направлению
движенияпотока:
, (2.8)
где
–векторскорости;
–единичныйвектор,нормальныйкэлементарнойповерхности
dS.
В проекциях на координатныеоси векторскорости записывается
следующимобразом:
гдеu, ʋ, w–проекциивектораскоростинакоординатныеосиОx,Оy,
Вобщемслучаескоростьдвиженияжидкостиилигазаизменяется
впространствеивовремени:
Такоедвижениеназываетсяпространственным нестационарным.
Еслискоростьизменяетсяв пространстве,новкаждойеготочкепостоянна во времени, то движение называется пространственным
стационарным:
Оz соответственно;
,,
–единичныевекторы,направленныевдольэтихосей.
ʋ j wk+
,,,w wxy zt=
=
, (2.9)
. (2.10)
. (2.11)
21
Еслискоростьизменяется вдольдвухкоординат,то движение на-
div
uw
w
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
d
ww
ww
tt
∂
∂
wt∂
∂
( )
gradww
uu u u u
uw
tt x y z
uw
ww w w w
uw
tt x y z
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
зываетсяплоским нестационарным илистационарным,аесливдоль
одной координаты – одномерным нестационарным или стационар-
ным.
Изменениескоростисплошнойсредывпространствехарактеризуетсясуммойизмененийпроекцийвектораскоростинакоординатные
оси
ʋ
и называется дивергенцией вектора скорости.Дивергенция вектора
скорости является скалярной величиной, которая можетбыть положительнойили отрицательной.Впервомслучае потокрасширяется,
вовтором–сжимается.Длянесжимаемойжидкостидивергенциявектораскоростиравнанулю.
В динамике жидкостей и газов используется понятие ускорения
сплошнойсреды:
d
= +
представляющего собой полную, или субстанциальную, производную
вектораскорости, состоящуюиз двух слагаемых – локальной произво-
grad
( )
(2.12)
, (2.13)
дной
точке потока, и конвективной производной
щейизменениескоростивовременивтойжеточкепотока,обусловленноедвижениемжидкостивпространстве.Впроекцияхнакоординатные
осивыражение(2.13)записываетсяследующимобразом:
движущихся жидкостей и газов является плотность потока мас-
22
,характеризующейизменениевовременискоростивзаданной
Помимо скорости и ускорения важнейшей характеристикой
d
=+++
d
d
=+++
∂∂∂ ∂
tt x y z
d
d
=+++
d
ʋ
ʋʋʋʋ ʋ
ʋ
ʋ
, характеризую-
;
;
(2.14)
.
сы – векторная величина, численно равная массе сплошной среды,
m
( ) ( ) ( )
m w ui v j wk=ρ =ρ +ρ +ρ
0
lim
d
d
VV
V
V
FF
k
VV
∆→
∆
= =
∆
0
lim
d
d
VV
m
V
FF
k
mm
∆→
∆
= =
∆
проходящейчерез единицуплощади поверхности, нормальной кнаправлению движения потока, в единицу времени. Плотность потока
массы
,кг/(м2·с),определяетсяпоформуле
. (2.15)
2.1.3. Силы, действующие в жидкостях и газах
Вдинамикесплошныхсредпринятовыделятьдваклассадействующихначастицысредысил:объемные иповерхностные.Подобъемными силами понимаюттакие, которые действуютна элементыобъема,напримерсилатяжести.Кповерхностным силам относяттакие,
которыедействуютнаэлементыповерхности, напримерсилы давленияисилывнутреннеготрения.
Силы,действующиенаконтрольныйобъемжидкостиилигаза,не
остаютсяпостояннымивовсехточкахэтогообъема.Ихзначенияизменяютсяприизменениитакиххарактеристик,кактемпература,давление, плотность, скорость, которые в жидкостяхи газахизменяютсянепрерывно в пространстве и во времени. Всвязи с этимвместо
интегральныхзначенийсилиспользуютихудельныехарактеристики
(плотностираспределения),такиекакмассоваяплотностьсилы,объемнаяплотностьсилы,напряжениесилы.
Рассмотрим контрольный объемжидкости или газа ΔV, содержащийвнутри себязаданную точкупространства М. Обозначим через
результирующуюсилу,действующуюнаобъемΔV.ВеличинаkV,
∆F
V
3
,определяемаяпредельнымвыражением
Н/м
называетсяобъемной плотностью силыF
ся, чтопри стремлении объемаΔV к нулюточка М все время остаетсявнутриэтогообъема).Если рассматривать отношение силы ∆F
кмассе контрольногообъемаΔm = ρ ∙ ΔV, получиммассовую плот-
ность силы k
,Н/кг(м/с2):
m
, (2.16)
вточкеM(предполагает-
V
V
. (2.17)
23
Объемнаяимассоваяплотностисилысвязаныпростымсоотноше-
Vm
kk=ρ⋅
dd d
VV m
F k V kV= ⋅ =ρ⋅
0
lim
SS
S
F dF
S dS
∆→
∆
τ= =
∆
dd
S
FS= τ
dSF
нием
Массоваяплотность силыF
. (2.18)
численно равнаускорению,которое
V
эта сила сообщает элементарному объему dV. Так, массовая плотностьсилытяжестиравнаускорениюсвободногопаденияg.
Изсоотношений(2.16),(2.17)следует,чтосилаdF
,приложенная
V
кэлементарномуобъемуdV,
. (2.19)
ДлязаданияповерхностнойсилыFSиспользуетсяпонятиенапря-
2
жения силыτ,Н/м
(Па):
, (2.20)
гдеΔS–площадканаповерхностиконтрольногообъема.
Тогдаповерхностнаясила,приложеннаякэлементарнойплощадке
dS вданнойточкепространства,
S
. (2.21)
dV
Проведеммысленно всплошной среде замкнутую поверхность S
и ограничим с ее помощьюэлементарный объемdV этойсреды. На
поверхностиSвыделимэлементарнуюплощадкуdS.Результирующая
поверхностнаясила,действующаянаплощадкуdSсосторонысреды,
окружающейобъемdV, приложенакплощадкеdS вточкеМподне-
24
dP
dF
τ
M
dS
Рис.2.2.Действиеповерхностныхсил
которымуглом(рис.2.2)иможетбытьразложенана двесоставляю-
ddP
pS=
P
ppp
pi jk
xy z
∂∂∂
∂∂∂
d grad dP pV= −
ddF
S
τ
τ=
щие–нормальнуюикасательную.Перваяназываетсясилой давления
dР,вторая–силой трения dF
.
τ
Отношениесилыдавления,приходящейсянаэлементарнуюповерх-
2
ность,кплощадиdSэтойплощадки,называетсядавлением p,Н/м
(Па):
. (2.22)
Давлениеявляется скалярнойвеличиной, так какв заданнойточке
пространства вовсех направленияхимеет постоянное значение.Сила
d
давления
,действующаянаконтрольныйобъемdV,зависитотнеод-
нородностиполядавления,характеризующейсяградиентом давления
=++
,grad
иопределяетсяпоформуле
. (2.23)
Градиент давления – векторная величина, направленная в сторонуповышения давления. Вто жевремя сила давления,которая,как
и любая сила, также является векторной величиной, направлена в
сторонупонижения давления.Таким образом,уравнение (2.23) объединяетдве векторныевеличины,направленныевпротивоположные
стороны.Этим объясняетсязнак «минус»в правойчасти указанного
уравнения. Из (2.23) следует, что сила давления действуетна объем
dVтольковтомслучае,когданеравеннулюградиентдавлениявэтом
объеме.Приэтом сила давлениядействуетнезависимо оттого,движетсясплошнаясредаилинаходитсявпокое.
Отношениесилы тренияdF
,приходящейсяна элементарнуюпо-
τ
верхность,кплощадиdSэтойповерхности,называетсянапряжением
2
трения τ,Н/м
(Па):
. (2.24)
В простейшем случае прямолинейного слоистого (ламинарного)движения ньютоновскойжидкости (рис. 2.3) напряжение трения
определяетсяпозакону Ньютона:
25
uy∂
τ=µ
∂
, (2.25)
.ν=µ ρ
2
w∇
222
2
222
xyz
∂∂∂
∇≡++
∂∂∂
согласнокоторому существует линейная зависимость между напряжениямитрения,действующимивплоскостяхсоприкосновенияслоевжидкостиипроизводнымиотскоростипонаправлениям,нормальнымкэтимплоскостям.
y
u
dy
dS
x
Рис.2.3.ИллюстрациякзаконувязкоготренияНьютона
Коэффициентµ, Па∙с, называется динамическим коэффициентом
вязкостив отличие от кинематического коэффициента вязкости ν,
2
/с, равного отношению динамического коэффициента вязкости к
м
плотностижидкости:
Динамический и кинематическийкоэффициентывязкостижидкостейигазовсущественнозависятоттемпературы;дляжидкостейпри
возрастании температуры оба коэффициента убывают, для газов –
возрастают, что связано с различием молекулярной структуры этих
сред.
В случае пространственного движения сила внутреннего трения
пропорциональнастепениобъемнойнеоднородностиполя скоростей
,гдеоператорЛапласа
иопределяетсяпоформулам:
26
(2.26)
,
– длянесжимаемойжидкости
2
ddF wV
τ
= µ∇
2
1
3
d graddiv dF w wV
τ
=µ∇ +
d
grad
d
P
p
V
= −
2
ddF
w
V
τ
= µ∇
2
1
3
d
graddiv
d
F
ww
V
τ
=µ∇ +
ddG
gV= ρ
ddG mg=
ddmV= ρ
; (2.27)
– длясжимаемойжидкости(газа)
. (2.28)
Первоеслагаемоевправойчастиформулы(2.28)определяетсилу
внутреннего трения, обусловленную неоднородностью поля скоростейдвижущегося газа. Второеслагаемое определяет силувнутреннеготрения, возникающую в движущемся газе при его расширении
илисжатии.
Изуравнений(2.27)и(2.28)следует,чтосилавязкоготрениядействуеттолько в движущихсяжидкостяхили газах и тольков случае
неоднородного поля скоростей.В покоящейсяжидкости или жидкости,движущейсясодинаковойповсемуобъемускоростью,силатрениянедействует.
Взаключениеперечислимудельныехарактеристикисил,действующихвжидкостяхигазах.
Объемные плотности сил (отношения сил к элементарному объемужидкостиилигазаdV):
– объемнаяплотностьсилыдавления
;
– объемнаяплотностьсилывнутреннеготрения
несжимаемой жидкости,
жидкости;
– объемная плотность силы тяжести
тяжести).
Массовыеплотности сил (отношениясилкмассе, заключеннойв
элементарномобъемежидкостиилигаза
– массоваяплотностьсилыдавления
для
для сжимаемой
(
– сила
):
1d
P
d
m
= −
ρ
grad
p
;
27
– массоваяплотность силы внутреннего трения
2
ddF
vw
m
τ
= ∇
2
1
3
d
graddiv
d
F
ww
m
τ
=ν∇ +
ddG
gm=
( )
( )
0
d
divdw
t
ρ
+ρ =
ddtρ
dwtt
ρ ∂ρ
=+ρ
∂
для
несжимаемой жидкости,
для сжимаемой
жидкости;
– массоваяплотностьсилытяжести
.
2.2. Уравнения механики жидкости и газов
Основной задачейМЖГ является определение скоростии давле-
ниядвижущейсясредыкакфункцийкоординативремени:
,,,w wxy zt=
,,,p p x yzt= .
Длярешения этойзадачинеобходимо иметь четыренезависимых
уравнения. Для определения вектора скорости нужно найти три ее
компоненты как функции координат и времени. Давление является
скалярной величиной, и для его определения необходимоеще одно
уравнение.Такоеуравнениеможновыбратьизчислауравнений,выражающихзаконысохранениямассыиимпульсадвижущейсясреды.
2.2.1. Закон сохранения массы
Предположим, что в движущейся среде не протекают процессы,
вызывающиеуменьшениеилиувеличениемассы(испарение,конденсацияит.д.).Втакихслучаяхобычноговорятоботсутствииисточниковистоковмассы.Приэтомуравнениезаконасохранениямассыдля
единицыобъемазаписываетсяввиде уравнения неразрывности:
;
где
жидкостиилигаза;этавеличинаназываетсяполной(илисубстанциальной)производнойплотностиповремени и состоитиздвух
слагаемых:
28
, (2.29)
– скорость изменения плотности движущейся частицы
d
grad
, (2.30)
здесь
wu w
xy z
∂ρ ∂ρ ∂ρ
∂∂ ∂
div
uw
w
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
0divw >
0divw <
div 0w =
S
M
S
V ws
V
MV
grad
ρ= + +
ʋ
.
Первое слагаемое в правой части соотношения (2.30) представляет собой локальную производную, характеризующую изменение
вовремениплотностидвижущейся частицы средыв фиксированном
микрообъеме потока, связанное с процессами, протекающими в заданнойточке.Второеслагаемое –конвективнаяпроизводная,характеризующаяизменениеплотности тогоже микрообъема во времени,
обусловленноеегоперемещениемвпространстве.
Вотличиеотлокальнойпроизводной,характеризующейнестационарностьплотностидвижущейсясредывданнойточке,конвективная
производнаяхарактеризуетнеоднородностьплотностиэтойсредыво
всемзанимаемомеюобъемевзаданныймоментвремени.
Физическийсмыслуравнениянеразрывности(2.29)становитсяясен,
если учесть, что дивергенция вектора скорости
ʋ
определяет скорость относительного изменения элементарного объема
движущейсясреды–расширенияпри
илисжатияпри
Такимобразом, согласноуравнению неразрывности, плотность движущейсясредыизменяется в техточкахпространства,вкоторыхпроисходитеерасширениеилисжатие.
Для несжимаемой жидкости ρ = const, первое слагаемое в левой
частиуравнения (2.29)обращается внуль,и уравнениенеразрывностипринимаетвид
. (2.31)
При расчетах движения жидкостей и газов по трубам и каналам
используют интегральную форму уравнения неразрывности, записываяегонедляточки,адляпоперечногосечениятрубыиликанала
следующимобразом:
.
гдеS–площадьпоперечногосечениятрубыиликанала;
–потокмассы(массовыйрасход)жидкостиилигаза,кг/с.
Таккаксогласно(2.8)
расход)жидкостиилигаза,м
M ws≡ ρ⋅ =
d const
∫
d
=
,где
∫
3
/с,из(2.32)получим
, (2.32)
–потокобъема(объемный
=ρ⋅
.
29
Для несжимаемой жидкости (при ρ = const) соотношение (2.32)
d const
S
V ws= =
∫
constV uS≡=
1
d
S
u us
S
=
∫
d
d ddd
d
w
m KPF
t
τ
= ++
K
11
k pw w
ddk Km=
упрощается:
,
апри одномерном движениижидкостивдольпродольнойоси трубы
иликаналапринимаетвид
где
–среднеепосечениюSзначениескоростижидкости.
, (2.33)
2.2.2. Закон сохранения импульса для реальной
жидкости или газа
Согласно закону сохранения импульса, равнодействующая всех
внешних сил, действующих на тело, равна скорости изменения его
импульса.Применивэтотзаконкэлементарномуобъемудвижущейся
реальнойжидкости dV,имеющемумассуdm = ρdV,получим
,
где
–внешняяобъемнаясила.
Поделив все слагаемые этого уравнения на массу элементарного
объемаdm,получимвыражениезаконасохраненияимпульсавтерминахмассовойплотностисоответствующихсил,называемоеуравнени-
ем Навье – Стокса.Для сжимаемой жидкости этоуравнение имеет
вид
d
w
= − +ν ∇ +
d
t
grad graddiv
ρ
2
, (2.34)
3
где
–массоваяплотностьвнешнейобъемнойсилы.
Влевойчастиуравнения(2.34) фигурируетускорениеэлементарного объема жидкости, определяемое по формуле (2.13), в правой
части – сумма массовых плотностей сил, действующих на элементарный объем ньютоновской сжимаемой жидкости: силы тяжести,
давления и внутреннего трения. Записав проекции уравнения (2.34)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]