Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
Образец – процесс или аппарат, на который хотят перенести ре-
.
ddw
Fm
t
=
d
w
t
′
d
w
t
′′
зультатыисследования,проведенногонамодели.
Число (безразмерная независимая переменная или безразмерная
функция)– безразмерныйкомплекс,составленныйпоопределенным
правиламизвеличин,входящихвматематическуюмодельизучаемогообъекта,средикоторыхимеютсянезависимыепеременныеилиискомыевеличины.
Критерий подобия(безразмерныйпараметрзадачи)–безразмерныйкомплекс,составленныйпоопределеннымправиламизвеличин,
заданныхв условияходнозначностиматематической модели.Критерииподобия всегдаимеют физический смысл(мера отношенияразличныхсил, мера отношениявнешнегои внутреннеготермического
сопротивлениятелаит.д.),втовремя какчислапредставляютсобой
простобезразмерныепеременныеилиискомыевеличины(безразмернаякоордината,безразмерноевремя,безразмернаяскоростьит.д.).
1.2.2. Первая теорема теории подобия (теорема Ньютона)
Изосновной теоремыподобия следует,чтоу подобныхобъектов
должныбытьчисленно равныне толькокритерииподобия,но иискомые величины, представленные в виде безразмерных комплексов,
т.е. чисел. Этоположениедоказываетсяс помощьюпервой теоремы
теорииподобия–теоремыНьютона.Пояснимсказанноенапримере.
Предположим,чтонамоделиисследуетсяпроцессдвижениятвердоготела, имеющийместо на образце.Тогдаоднимизосновныхуравненийматематическоймоделипроцессабудет уравнениевторогозаконаНьютона:
Обозначиммассутеламоделичерезm′,егоскоростьивремядвижения–черезw′ иt′ соответственно.
Тогдаимеемдлямодели
d
′
′
fm
=
.
′
Послеаналогичныхрассужденийзапишемдляобразца:
d
′′
′′
fm
=
.
(1.3)
′′
(1.1)
(1.2)
11
Еслидвижениятелвмоделииобразцеподобны,междувсемиод-
·,
обр модx
x Cx=
; ; ; .
f m wt
f C f m C m W C w t Ct
′ ′′ ′
= = = =
′′ ′ ′′ ′ ′′
⋅ ⋅ ⋅⋅
''
'' ''dd
ww
ww
=
( )
( )
.
d
d
w
fm
t
Cw
C f Cm
Ci
′′
⋅
′′ ′′
=⋅ ⋅⋅
′′
⋅
( )
( )
,
d
d
w
fm
t
Cw
C f Cm
Ci
′′
⋅
′′ ′′
=⋅ ⋅⋅
′′
⋅
.
d
d
ft
mw
CC
w
fm
CC i
=
⋅
′′
′′ ′′
⋅⋅
′′
⋅
CC
⋅
ноименнымивеличинамиэтихобъектовсуществуетлинейнаязависимость:
гдеСх–масштабподобияпофакторух.
Такимобразом,
Используяпринципвзаимозаменяемости
,получаемвы-
(1.4)
ражение
Преобразуемспомощью(1.4)выражение(1.2):
исгруппируемвсемасштабыподобия.Тогдаполучим
(1.5)
Изсопоставлениявыражений (1.3)и (1.5)следует,что последнее
уравнениесправедливотольковслучае,если
ft
CC⋅
mw
1
. (1.6)
=
Комплекс,составленныйизмасштабовподобия,называетсяинди-
катором подобия. Такимобразом,установлено, что, как утверждает
теоремаНьютона, у подобных объектов индикаторы подобия равны единице. Это утверждение называется первой теоремой теории
подобияНьютона.
12
Преобразуемсоотношение(1.5),замениввнеммасштабыподобия
1 . или
ft
ft f t
ft
mw
mw m w
mw
′′
⋅
′ ′ ′′ ′′
′′ ′′
⋅⋅
= =
′′
⋅
′ ′ ′′ ′′
⋅⋅
′′ ′′
⋅
⋅
сучетом(1.4):
(1.7)
Таккакf′иf ″являютсяискомымивеличинами,тоиз(1.7)следует,
чтоподобныеобъектыхарактеризуютсяпомиморавенствакритериев
подобияещеичисленноравнымибезразмернымиискомымивеличинами,чтоитребовалосьдоказать.
Изприведенныхвыкладокследуетещеодинвывод,имеющийключевоезначениедлямоделирования.Согласно(1.6)впроцессемоделирования произвольно можно выбрать масштабы всех величин, кроме
одной,масштабкоторойдолженопределятьсяизуравнения(1.6).
Для независимых переменныхи искомыхвеличин в процессе их
преобразования в безразмерный вид в качестве масштабов подобия
выбираются либо одноименныевеличины, заданные в условиях однозначности,либо масштаб подобия составляется изнесколькихвеличин,такжезаданныхвусловияходнозначности.Например,еслив
ходе исследования определяется значение скорости в заданной точкепотока внекоторыймомент времени, тоопределяемую величину
можнопредставить какw/w
пример, значение скорости w
,если в начальныхусловиях задано,на-
0
потока на входе в модель. В данном
0
случае в качестве масштаба подобия скорости принята величина
=1/w0.Есливусловияходнозначностинезаданониодногозначе-
C
w
нияскоростипотока,безразмернуюскоростьможновыразитьввиде
комплекса w·l
стииспользуетсясоотношениеC
/ν.Вэтомслучаев качествемасштаба подобияскоро-
0
=l0/ν,гдеl0–характерныйлиней-
w
ныйразмер модели,заданный в геометрическихусловиях однозначности,аν –кинематическийкоэффициентвязкостипотока,заданный
вфизическихусловияходнозначности.
1.2.3 p-теорема теории подобия (теорема Бекингема)
Теория подобия утверждает, что зависимость между безразмерными величинами, характеризующими явление или аппарат, всегда
можетбыть представленав видеобобщенногокритериальногоуравнения. Иначе говоря, если искомая величина представлена в виде
13
комплекса p1, а независимые переменные и параметры модели в
видеp
p
,p3,…,pn,тозависимостьмеждуними длялюбыхзначений
2
,p3,…,pn,можновыразить ввиде уравненияp1=f(p2,p3,…,pn).
2
Это положение, которое называется теоремой Бекингема, или
p-теоремой, определяет, в каком виде необходимо представлять результаты численного исследования модели, если оно выполнено по
правиламтеорииподобия.Итак,припостановкеи проведениилабораторногоиликомпьютерного исследованияпо правилам теорииподобиянеобходимовыполнитьследующиедействия.
1. Составить математическую модель изучаемогообъекта в виде
системыосновныхуравненийиусловийоднозначности.
2.Выполнитьпреобразованиеэтойсистемывбезразмернуюформу.
3.Выделитьиз числаполученныхбезразмерныхкомплексовкритерииподобияиустановитьихчисленныезначениянамодели,атакжепределыихизменениявходеисследования.
4.Установить,исходяизцелиисследования,необходимыеизменениябезразмерныхпеременных(чисел).
5. Провести численный эксперимент на компьютере или лабораторнойустановкеиопределитьзначенияискомойфункции,представленнойвбезразмерномвиде, для всехсочетанийзначенийнезависимыхпеременныхикритериевподобия.
6. Полученные результаты обработать по правилам математическойстатистикииполучитьвявномвидеобобщенноекритериальное
уравнениеp
=f(p2,p3,…,pn).
1
Какправило,обобщенное уравнениепредставляютввидепоказательной функциинесколькихпеременных. Однакопри желании это
уравнениеможетбытьпредставлено,например,ввидеполиномаn-й
степениит.д.
Полученное критериальное уравнение справедливо для всех подобныхпроцессовиявлений.Оноустанавливаетвзаимосвязьмежду
искомойвеличиной,аргументамиипараметрамиматематическоймоделивпределахизменениякритериевподобияибезразмерныхчисел,
реализованныхвэксперименте.
Вопросы для самоконтроля
1.Чтотакоемодельявленияипочемуматематическаямодельяв-
ляетсяболееинформативной,чемфизическая?
2.Каковаструктураматематическоймодели?
14
3.Какиедвапутиреализацииматематическоймоделисуществуют
ивчемпринципиальноеразличиемеждуними?
4.Какие двапути численной реализации математическоймодели
существуютичемониотличаются?
5.Вчемзаключаетсясущественныйнедостатокчисленнойреализации математических моделейи как можно усилить результатчисленногорешения?
6.Накакомфизическомпостулатебазируетсятеорияподобия?
7.Какоепреобразованиеисходнойматематическоймоделинеобходимопроизвести,каквыполнитьчисленныйэкспериментиоформить
егорезультатыприиспользованииметодовтеорииподобия?
8.Чтотакоемодель,образец,число,критерийподобия?
9.Какформулируетсяосновнаятеорематеорииподобия?
10.Какформулируетсятеорема подобияНьютона и какдоказать,
чтоесли модельи образецподобны,тоискомая величина,представленнаявбезразмерномвиде,будетдляэтихобъектоводинаковой?
11.КакойсмыслимееттеоремаБекингема?
12.Чтопонимаетсяподавтомодельностьюфункцииотносительно
какого-либоаргумента?
13. Что такоеусловия однозначностии для чего они формулируются?
14.Какуюинформациюсодержатграничныеусловия?Когда формулируютсяначальныеусловияичтовнихзадается?
15.Когдацелесообразноиспользоватьметодытеорииподобия?
16.Чтотакоемасштабподобияииндикаторподобия?
15
2. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
1Kn
L
Λ
= <<
Вметаллургиичастоприходитсяиметьделосдвижущейсясредой.
Примерамитакихсредмогутслужитьрасплавывваннахплавильных
печей,электролиты вэлектролизных ваннах,продукты сгораниятоплива в рабочем пространстве печей, различные жидкости и газы,
движущиесяпотрубамиканалам.Знаниезакономерностейдвижения
жидкостей и газов необходимо для проведения расчетов различных
металлургических агрегатов, горелочных устройств, компрессоров,
дымососов,дымовыхтруб,приописаниипроцессовпередачитеплоты,протеканияхимическихреакцийит.д.
Разделтеоретическоймеханики,изучающийвопросы кинематики
идинамикидвижущихсясред,называетсямеханикойжидкостейигазов(МЖГ).
2.1. Основные постулаты, понятия и определения
механики жидкостей и газов
2.1.1. Основные постулаты и понятия
Первый постулат МЖГ
Теоретическая механика, рассматривая движение и взаимодействие материальных тел, представляет их либо как материальную
точку,либокаксистемуматериальныхточек.Впоследнемслучаесистемаможет быть как дискретной,состоящейиз отдельныхматериальных точек, так и сплошной, когда в любом, сколь угодномалом
объеме, содержится бесконечно большое количество материальных
точеки имеетместонепрерывное распределениев пространствевещества,а следовательно,физическиххарактеристикего состоянияи
движения.Вэтомслучаесистемуназываютсплошной средой.ВМЖГ
жидкостиигазырассматриваются,каксплошныесреды.
Прииспользованиипонятиясплошнойсредыпредполагается,что
число молекул жидкости или газа при стремлении элементарного
объемасреды кнулю остается бесконечнобольшим; это положение
математическивыражаетсяспомощьюкритерияКнудсена:
гдеL–характерныйразмеробъема;
Λ–длинапутисвободногопробегамолекулы.
16
,
Таким образом, постулат о сплошности реализуется до тех пор,
пока линейные размеры рассматриваемого элементарного объема
жидкостиилигазанамногобольше,чемдлинапутисвободногопробегамолекулыэтоговещества.
Таккаксплошностьсредыпредполагаетнепрерывноеизменениев
пространстве ее физических идинамических характеристик,применениепостулатао сплошностипозволяетпри описаниикинематическихи динамических процессов, протекающих вжидкостяхигазах,
использоватьхорошоразработанныйматематическийаппаратдифференциальногоиинтегральногоисчисления.
Второй постулат МЖГ
Кромесвойствасплошности,играющеговажнуюрольпри описаниикинематикижидкостей игазов, длядинамики существенноеще
одноихсвойство–текучесть.
Свойствотекучестивыражаетсявтом,чтовнутреннеетрение(касательныенапряжениясилытрения)вдвижущейсясредеотличноот
нулятолькоприналичииотносительногодвижениямеждуотдельнымислоями.Приотносительномпокое(т.е.вотсутствиедвиженияслоев друготносительно друга) внутреннее трение отсутствует. В этом
заключается отличие жидкой или газообразной среды от твердого
тела, в котороммогут существовать касательные напряженияпокоя,
возникающиепридеформацииотдельныхслоев этоготела в состоянии покоя. Количественная связь между касательныминапряжениями и скоростьюсдвигового (относительного) движения может быть
различной.Вданномучебном пособиирассматриваютсядвемодели
движущейся среды: идеальная среда, в которой отсутствуют силы
внутреннего трения, и реальная среда (ньютоновская жидкость),в
которойнапряжения силвнутреннего трения пропорциональны скоростисдвига.Кчислуньютоновскихжидкостейотносятсявсегазыи
большинствожидкостей:вода,жидкиеметаллыишлакиит.д.Свойствотекучести используетсяв динамикежидкостей и газовприрасчетедействующихвнихсилвязкоготрения.
Обладаяобщимисвойстваминепрерывностиитекучести,жидкости
игазыотличаютсядруготдругасвойствами,связаннымисразличием
ихмолекулярнойструктуры.Рассмотримэтисвойстваболееподробно.
Расстояние между молекулами жидкости крайне мало, что приводитквозникновению значительных молекулярныхсил сцепления.
17
Эти силы особенно велики на поверхностях, отделяющих данную
d
mm
VV
∆
жидкостьотдругойжидкостиилигаза.Подвлияниемповерхностных
силжидкостьподвергаетсястольсильномусжатию,чтосравнительно
небольшие изменения давления, связанные с движением жидкости,
практическиневызываютизмененияееобъема.Всвязисэтимвподавляющембольшинствеслучаевжидкостьможносчитатьнесжимаемойсредой.
В газах межмолекулярныерасстояниявелики, а силывзаимодействиямеждумолекуламималы,поэтомугазыобладаютзначительной
посравнениюс жидкостью сжимаемостью.Однаков рядеслучаев–
прималыхизмененияхдавленияитемпературыипри скоростидвижения,малойпосравнениюсоскоростьюзвука,–газы,такжекаки
жидкости,могутрассматриватьсякакнесжимаемыесреды.
ПоэтойпричиневкурсеМЖГкакдлягазов,такидляжидкостей
используютодинтермин–«жидкость»,отмечая,когда этонеобходимо,окакойжидкостиидетречь:сжимаемойилинесжимаемой.
Втехслучаях, когда при моделированиидвиженияжидкостиможнопренебречьсиламивнутреннеготрения,рассматриваемуюжидкость
можно считать идеальной. Модель идеальной жидкости оказывается
пригоднойдляописаниямногихважныхпроцессовобтеканиятелили
движенияжидкости по каналам, ноне может объяснитьпроисхождения сопротивления тел, разогревания жидкостей и газов в результате
преобразованиямеханическойэнергии втеплоту, тепло- и массопереносавжидкостиит.д.Дляописанияэтихявленийнеобходимопользоватьсяболее сложноймодельювязкойжидкости,проводящейтеплоту
иобладающейспособностьюпереносапримесей(диффузии).
2.1.2. Плотность, скорость и плотность потока массы
РассмотриммалыйобъемжидкостиилигазаΔV,содержащийвнутрисебязаданнуюточкупространстваМ,ипустьмассаэтогообъема
3
равнаΔm; скалярная величина ρ, кг/м
, представленнаяпредельным
выражением
lim
ρ= =∆, (2.1)
V
∆→
0
d
называется плотностью среды в точке М (предполагается, что при
стремлении объема ΔV к нулю точка М все время остается внутри
этогообъема).
18
Плотность движущейся среды зависит от ее материального со-
x0
lim
xx
∆→
∆ρ ∂ρ
=
∆∂
става,температурыи давления.В общем случае плотность является
функциейкоординативремени:
ρ=ρ(x,y,z,t). (2.2)
Выражение (2.2) описывает нестационарное пространственное
поле плотности. Если плотность в заданной точке пространства не
меняется во времени, то говорят о стационарном пространственном
полеплотности:
ρ=ρ(x,y,z). (2.3)
Если в объеме сплошной среды с переменной плотностью соединитьмеждусобой точкис одинаковой плотностью,тополучится
система поверхностей, в каждой из которых плотность будет иметь
постоянноезначение.Этиповерхностинемогутпересекатьсямежду
собой, так как в противном случае в точках пересечения плотность
должнабылабыиметьодновременнодваразныхзначения,чтоневозможно.Построим сечениерассматриваемогообъема некоторойплоскостью.Линии пересечения поверхностей постоянной плотности с
этойплоскостью (изолинии) представляют собойсистему непересекающихсялиний(рис.2.1).
–
Рис.2.1.Копределениюпонятияградиентаплотности
Таккак вдольизолинийплотность не меняется,ееизменениеможетпроисходитьтольковпоперечныхнаправлениях,напримервнаправлении оси Оx. Интенсивность изменения плотности вдольэтой
осихарактеризуетсявеличиной
.
19
Очевидно,чтосамаявысокаяинтенсивностьизмененияплотности
grad
n
∂ρ
≡ρ
∂
grad i jk
xy z
∂ρ ∂ρ ∂ρ
ρ= + +
∂∂∂
ijk
ж
constρ=
0
Tp
⋅
отзначенияρ до(ρ+Δρ)будет иметьместо внаправлениинормали
клиниямρ=constи (ρ +Δρ)=const,так какв этомслучаеΔn <Δx.
Величина
называется градиентом плотности. Градиент
плотности является векторной величиной, направленной в сторону
наискорейшего увеличенияплотностии выражающейсячерез ее измененияпокоординатнымосямследующимобразом:
, (2.4)
, ,
где
–единичныевекторывдольсоответствующихкоординат-
ныхосей.
Плотностьнесжимаемой жидкостислабо зависитоттемпературы
ипрактическинезависитотдавления,такчтообычносчитаетсяпостояннойвеличиной:
. (2.5)
Плотность газа (сжимаемой жидкости) существенно зависит от
давленияитемпературы.Прификсированнойтемпературеплотность
газа прямо пропорциональна давлению (закон Бойля – Мариотта),
прификсированномдавлении–обратнопропорциональнатемпературе(законГей-Люссака):
0
где ρ
ρ=ρ
г
0
, p0, T0, – параметры газа при нормальных условиях,
0
⋅
Tp
,
(2.6)
p0=0,981∙105Па,Т0=273,13К;
ρг,p,T–параметрыгазапритемпературеT идавленииp.
Основнойкинематическойхарактеристикойсплошнойсредыявляетсяеескорость.
Какизвестно,скоростьтвердоготелаопределяетсякакотношение
пути,пройденногоцентромтяжестиэтоготела,кпромежуткувремени,втечениекоторогоэтотпутьбылпройден.Определитьтакимже
образомскоростьжидкостиилигазаневозможно,таккакдлядвижущейсясредынеприменимопонятие«центртяжести».
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]