Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
Такие – нестационарные – процессы имеют место при нагревании
(охлаждении) различных заготовок и изделий, производстве стекла,
обжигекирпича,вулканизациирезины,пускеиостановкеразличных
теплообменныхустройств,энергетическихагрегатовит.д.
При расчетенагрева тел важнейшее значениеимеют два режима
нагрева:
– телостремитсяктепловомуравновесию;
– температурателапретерпеваетпериодическиеизменения.
Кпервомурежимуотносятся процессыпрогреваилиохлаждения
тел,помещенныхвсредусзаданнойтемпературой,напримерпрогрев
заготовки в печи, охлаждение металлических брусков и чушек, охлаждениезакаливаемойдеталиит.п.
Ковторому режиму относятся процессы в периодически действующихподогревателях,например тепловые процессы в регенераторах,
насадкакоторыхпериодическинагреваетсядымовымигазамииохлаждаетсявоздухом.Нарис.3.7показанхарактеркривых,полученныхпри
нагреванииоднородноготвердоготелав средес постояннойтемпературойТ
.Померенагреватемпературавкаждойточкеасимптотически
0
приближаетсяктемпературенагревающейсреды.Вначальныйпериод
наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхноститела.Черезнекотороевремяпосленачаланагреванаступает
регулярныйпериод,втечениекоторогоскоростьизменениятемпературытеластановитсяпропорциональнойразноститемпературТ
–T.
0
Т
0
Т
Т
пов
Т
ц
0
Рис.3.7.Характеризменениятемпературытелавовремени
t
В условиях передачитеплоты через стенку при внезапном изменении температуры одного из теплоносителей не вся теплота будет
передаватьсячерез стенку:часть ее уйдетна изменение внутренней
энергии самой стенки (ее температуры), и только при наступлении
стационарногопроцессавсятеплотабудетпередаватьсячерезстенку
отоднойжидкостикдругой.
121
Приведенныепримерыпоказывают,чтонестационарныетепловые
222
222
T TTT
a
t
xyz
∂ ∂∂∂
= ++
∂
∂∂∂
( )
0 w
w
T
TT
n
∂
−λ = α −
∂
( )
00
, , ,, , , ,
н
, T T x y zt aT T l= α
процессы всегдасвязаны с изменением внутренней энергии или энтальпиивещества.
Математическая модель процесса нестационарной теплопро-
водности
Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии
внутреннихисточниковтеплотыимеетвид
. (3.93)
Условияоднозначностизадаютсяввиде:
– значениякоэффициентатемпературопроводностиa;
– формыиразмерателаl
– начальногоусловия–приt=0T = T
;
0
(x, y, z);
н
– граничногоусловиятретьегорода:
гдеT
–температураокружающейсреды.
0
Дифференциальноеуравнениетеплопроводности(3.93)совместно
суказаннымиусловиямиоднозначностидаетзаконченнуюматематическую формулировку рассматриваемой задачи, решение которой в
общемвидепредставляетсязависимостью
Решение задачи нестационарной теплопроводности при граничных условиях первого и третьего рода
Рассмотрим пластину, имеющую толщину δ в направлении оси
Оx.Еслитолщинапластинымалапосравнениюсдлинойишириной,
тоее считают неограниченной. Изменениетемпературы происходит
тольковнаправленииосиОx,вдвухдругихнаправленияхтемпература не изменяется, следовательно, задачатеплопроводности является
одномерной. Начальное распределение температуры в пластине задано некоторойфункцией T(x,0) = T
постояннойтемпературойT
теплотыосуществляетсяпри одинаковомипостоянномзначениикоэффициентатеплоотдачиα.
122
,
. (3.94)
. Нагрев происходитв средес
н
= const.На обеихповерхностях подвод
0
При
0
TT
yz
∂∂
= =
∂∂
2
2
TT
a
t
x
∂∂
=
∂
∂
00x
T
x
=
∂
=
∂
( )
,0
н
Tx T=
( )
0 x
x
T
TT
x
=δ
=δ
∂
λ =α−
∂
дифференциальное уравнение(3.93) принимает
вид
. (3.95)
Так как граничные условия на обеих поверхностях пластины
одинаковые, то температурное поле пластины симметрично относительноцентральнойплоскости(рис.3.8)ирешениеуравнения(3.95)
можнопроизводитьвобласти0<x <δ/2,соответствующейполовине
толщиныпластины. Приэтом,независимо от граничныхусловийна
поверхностипластины(приx=δ/2),граничноеусловиеналевойграницерасчетнойобласти(приx=0)имеетвид
. (3.96)
Уточнимостальныеусловияоднозначностидлярассматриваемого
случая.Вкачественачальногоусловия примемравномерноераспределениетемпературыпотолщинепластины:
Граничноеусловиетретьегородазапишемследующимобразом:
Впроцессенагреватемпературывсехточектелаприближаютсяк
температуреT
Рис.3.8.Нагревплоскойпластины
приграничныхусловияхтретьегорода
. (3.97)
. (3.98)
.
0
123
Решение уравнения (3.95) с условиями однозначности (3.96)–
nn n
( )
ctg
n
n
µλ
µ=
ωδ
( )
( ) ( )
2sin
sin cos
n
n
n nn
Cµ=
µ+ µ µ
(3.98) производится методом разделения переменных. Окончательныйрезультатимеетследующийвид:
∞
,
T xt T T T C
гдеl
= δ – характерный размер пластины в случае симметричного
0
= − − −µ µ
( )
( )
00
∑
н
n
=
1
at x
exp cos
2
2
l
0
, (3.99)
l
0
температурногополя;
μn (n = 1, 2, …) – корни характеристического уравнения
, графическое решение которого представлено на
рис.3.9;
Cn–коэффициент,которыйвыражаетсячерезхарактеристическое
числоμn следующимобразом:
.
ниечленовбесконечногоряда при возрастанииn,поэтомупри практических расчетахобычно бываетдостаточноучета только несколькихпервых слагаемых. По мере нагреватела вкладвсех слагаемых,
начиная со второго,становится пренебрежимо малым и выражение
(3.99)принимаетвид
124
Рис.3.9.Графическоерешениехарактеристическогоуравнения
Особенностьюрешенияуравнения(3.99)являетсябыстроеубыва-
( )
( )
2
00 1 1 1
2
0
0
,
н
exp cos
at x
T xt T T T C
l
l
= − − −µ µ
. (3.100)
TT
TT
−
( )
2
11 1
2
0
0
, exp cos
at x
xt C
l
l
θ = −µ µ
t
∂θ
( )
0
,.T tTδ=
( )
212
n
nµ= − π
( ) ( )
1
n
Cn
+
( )
( )
2
00
2
0
0
4
,
42
н
exp cos
at x
T xt T T T
l
l
ππ
=−− −
π
Тепловойрежим,описываемыйприведеннойзависимостью,называетсярегулярным.
Согласно полученным выражениям процесс нагрева пластины
протекает таким образом, что распределение температуры по сечениювыравнивается,какэтопоказанонарис.3.10.
Закономерности нагрева тела становятся более наглядными при
введениибезразмернойизбыточнойтемпературы
0
θ=
. (3.101)
−
0 н
Вначальныймомент времениθ =1, ав процессе нагреваθ →0.
Так,прирегулярномрежиме
, (3.102)
т.е. безразмерная избыточнаятемпература перестает зависеть от начальногоусловияистечениемвремениуменьшаетсяпоэкспоненциальномузакону, такчто скоростьее измененияоказывается пропор-
циональной величине:
т.е. чем ближе температура в некоторой точке тела к температуре
окружающейсреды,теммедленнееонаубывает.
При граничном условии первого рода температура поверхности
пластинызаданапоусловию
Однакоив этомслучае по-прежнемусправедливаформула(3.99)
при
и
регулярномрежиме
Графикраспределения температурыпо толщинепластины в процессееенагревапоказаннарис.3.10.
~
θ∂: чем меньше избыточнаятемпература,
41 /2 1
= − − π
n
. В частности, при
. (3.103)
125
Рис.3.10.Нагревпластиныприграничныхусловияхпервогорода
( )
00
,, , , , , ,
н
T T xtl a T T= λα
0
TT
TT
−
2
2
Fo
X
∂θ ∂ θ
=
∂
∂
00XX=
∂θ
=
∂
( )
,0 1Xθ=
1
1
Bi
X
X
X
=
=
∂θ
= θ
∂
3.3.4. Применение теории подобия при решении задач
нестационарной теплопроводности
Решениезадачитеплопроводности(3.95)–(3.98)имеетвидзависимоститемпературыоткоординаты x,времениtишестипараметров:
характерногоразмераl
,коэффициентатеплопроводностиλ,коэффи-
0
циентатемпературопроводностиа,коэффициентатеплоотдачиα,начальнойтемпературытелаТ
итемпературыокружающейсредыТ0:
н
.
Длянахожденияобобщенногорешения,описывающегогруппуподобных температурных полей, приведем систему уравнений (3.95)–
(3.98)кбезразмерномувиду.Дляэтоговведембезразмернуюкоорди-
натуX = x/l
ибезразмернуюизбыточнуютемпературу
0
умножимэтиуравнениянаl
/aиl0/λсоответственно.Получим:
0
θ=
0
и
−
н
; (3.104)
; (3.105)
; (3.106)
гдеFo – число Фурье, представляющее собой безразмерную форму
времени,Fo=at/l
Bi–критерийБио,физическийсмыслкоторогобудетрассмотрен
ниже,Bi=αl/λ.
126
, (3.107)
2
;
0
Решениесистемыуравнений(3.104)–(3.107)вотличиеотисходной
( )
системы(3.95)–(3.98)имеетвидзависимостибезразмернойизбыточнойтемпературыотбезразмернойкоординаты,безразмерноговремениивсегоодногобезразмерногопараметра–критерияБио:
, Fo, BiXθ=θ .
Таким образом, необходимым и достаточным условием подобия
температурныхполей в бесконечныхплоских пластинах, т.е.равенства безразмерной температуры (θ = idem) в сходственных точках
(X = idem) в сходственные моменты времени (Fo= idem), являются
одинаковыезначениякритерияБио(Bi=idem).
Для прояснения физического смысла критерия Био представим
егов видеα/(λ/l
).Вчислителе этоговыражения стоит коэффициент
0
теплоотдачи α, характеризующий интенсивность внешнего теплообмена, т.е.теплоотдачи от среды к поверхности тела. В знаменателе
стоит отношение коэффициента теплопроводности к характерному
размерутела,показывающейинтенсивностьтеплообмена междуповерхностью тела и еговнутренними слоями. Таким образом,критерий Био представляет собой отношение интенсивностей процессов
внешнегоивнутреннеготеплообмена.
Сдругойстороны, критерийБио можетбыть представленв виде
/λ)/(1/α). Изэтоговыраженияследует,чтокритерий Биопредстав-
(l
0
ляет собой отношение внутреннего теплового сопротивления к наружному.
Обеприведенные формулировкипозволяют сделать выводотом,
чтокритерийБиоопределяетхарактерраспределениятемпературыв
объеменагреваемого тела. Чем больше эта величина, тем выше интенсивностьвнешнеготеплообменапосравнениюсинтенсивностью
внутреннеготеплообмена,или,чтотожесамое,тембольшевнутреннеетепловоесопротивлениепосравнениюснаружным.
Таким образом, бóльшим значениям критерия Био должна соответствовать меньшая равномерность распределения температуры в
объеметела.ВпредельномслучаеBi→∞(практическиприBi>100)
интенсивность внешнего теплообмена настольковелика, т.е.наружное тепловое сопротивление настолько мало, что поверхность тела
мгновенно принимает температуруокружающей среды (в этомслучаетело называетсятермически массивным).В результате заданной
величинойоказываетсятемператураповерхности тела,т.е.получаем
127
задачусграничнымусловиемпервогорода.Врассматриваемомслу-
( )
00
ddT
cl T T
t
ρ =α−
н
(0)TT=
( )
( )
00
0
exp
í
Tt T T T t
cl
α
=−− −
ρ
( ) ( )
Fo exp Bi Foθ = −⋅
( )
( )
( )
2
1
,Fo exp Fo cos
nn n
n
XC X
∞
=
θ = −µ µ
∑
( )
ctg
Bi
µ
µ=
чае это означает, что в начальный момент времени температураповерхностипластины мгновеннодостигает заданногозначенияТ
ив
0
дальнейшемостаетсяпостоянной.
И наоборот, чем меньше значениекритерия Био, тем равномернее
распределенатемпературавобъеметеланапротяжениивсегопериода
нагрева,таккакподводимыйкповерхноститепловойпотокинтенсивноотводитсяк внутреннимслоямтела.ПриBi→0 (практическипри
Bi<0,25)тело,называемоевэтомслучаетермически тонким,нагрева-
ется,будучивкаждыймоментвремениравномернопрогретым.
Расчетнагреватермическитонкоготеласущественноупрощается,
поскольку уравнение теплопроводности заменяется уравнением тепловогобаланса
решениекоторогоимеетвид
или,вбезразмерныхпеременных,
Использование безразмерных переменных позволяет записывать
решениезадачтеплопроводностивболеекомпактномвиде.Так,вместо(3.99)получим
где характеристические числа являются корнями уравнения
Номограммы, построенные по обобщенным решениям задач нестационарной теплопроводности, имеют вид зависимостей относительнойизбыточнойтемпературы(ось ординат)отчислаФурье (ось
абсцисс)длязаданногозначениябезразмернойкоординатыиразличных значенийкритерия Био. Такие номограммы приводятся в справочникахичастоиспользуютсяприпрактическихрасчетах.
128
при
,
.
, (3.108)
Примечание. Сходство критерия Био и числа Нуссельта является
чистовнешним.Во-первых,числоНуссельта–какбезразмерноевыражениекоэффициентатеплоотдачи–являетсяопределяемойвеличиной,
в то время каккритерий Био, составленный извеличин, заданных по
условиюзадачи,являетсяопределяющимпараметромнагреватела.Вовторых,в знаменателекритерия Био фигурируеткоэффициент теплопроводности нагреваемого тела, а в числе Нуссельта – коэффициент
теплопроводностисреды,омывающейповерхностьэтоготела.
3.4. Радиационный теплообмен
Прикладная теория радиационного теплообмена не рассматривает
механизмвзаимодействия излучения с веществом.В рамках этой теориисчитается,чтокаждоетелоиспускаетэлектромагнитноеизлучение,
атеплообмен междутелами происходит в результатераспространения
электромагнитныхволн,энергия которых при взаимодействиисвеществомпереходитв теплоту.Основныесоотношения теории радиационноготеплообменаследуютиз законовтермодинамики и излученияабсолютночерноготела.Приэтомрадиационныесвойствареальныхтел,
определяющиехарактерихсобственногоизлучения,атакжеповедение
поотношениюкпадающемунанихизлучениюдругихтел,описываютсянекоторымиэмпирическимивеличинами,такимикакстепеньчерноты,поглощательная,отражательнаяипропускательнаяспособности.
Тепловомуизлучениюсоответствуетинтервалдлинволнот0,4до
25 мкм, включающий оптический диапазон (0,4…0,8 мкм) и ближнююинфракраснуюобласть(0,8…25мкм).Именнонаэтотинтервал
длинволнприходитсяосновнаядолятеплообменаизлучениемвпромышленныхтеплотехническихаппаратах.
3.4.1 Основные понятия, определения
и законы радиационного теплообмена
Количественное описание теплового излучения
Поток излучения и плотность потока излучения. Количественноеописание тепловогоизлученияоснованона понятиях потокаизлученияиплотностипотокаизлучения.
Потоком излученияQ, Вт,называется количество лучистойэнер-
гии,переносимое черезнекоторуюповерхность площадью S за единицувремени.
129
Плотностью потока излучения q, Вт/м2, называется отношение
d
F
Q qS=
∫
d
Q
q
/ddqq
ω
= θ
потокаизлученияdQ, приходящегосянаэлементарнуюповерхность,
кплощадиdSэтойповерхности:
q =dQ/dS.
При известном распределении плотности потока излучения q по
поверхности S полный поток Q определяется интегрированием по
этойповерхности:
.Еслиплотностьпотокаизлучения рав-
номернораспределена по поверхности S, приведенное соотношение
упрощается:
d
qS= ,приэтомплотностьпотокаизлученияравнапо-
токуизлучения,приходящемусянаединицуплощадиповерхности.
Угловая и полусферическая плотность потока излучения. Для
описанияраспределенияэнергииизлученияпоразличнымнаправлениямвпространствевведемпонятиеугловойплотностипотокаизлучения.
РассмотримэлементарныйучастокизлучающейповерхностиплощадьюdS инекотороенаправлениевпространстве,задаваемоеуглом
наблюдения θ, отсчитываемым от нормали к поверхности dS. Обозначимчерезdω элементарныйтелесныйугол,соответствующийвыбранномунаправлению(рис.3.11).
θ
dω
dS
dS
Рис.3.11.Копределениюугловойплотностипотокаизлучения
ияркостиизлучения
Угловой плотностью потока излучения
n
,Вт/(м2⋅ ср),называет-
ω
сяотношениеплотностипотокаизлученияdq,приходящегосянаэлементарный телесный уголdθ, к величинеэтогоэлементарного теле-
.
сногоугла:
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]