Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
q
2
T
xq
xq
x
δ∂
∂
w
w
T
q
n
∂
= −λ
∂
2
0
Т(x,t)
х
q
1
Т
н
–d/2 d/2
Рис.3.3.Распределениетемпературыпотолщинепластины
приграничныхусловияхвторогорода
3. Граничные условия третьего рода. В этом случае задаются
температураокружающейсредыT
изаконтеплообменамеждуокру-
0
жающей средой и поверхностью тела. Граничные условия третьего
родаявляются наиболееобщими часто встречающимсяна практике
случаем.По существу, приэтомзадается некотораясвязь между известной температуройокружающейсреды инеизвестными значениямитемпературыповерхностителаиградиентатемпературынаэтой
поверхности.Например,если внешний теплообменмежду окружающейсредойи поверхностьютела стемпературойT
осуществляется
w
путемконвективнойтеплоотдачи,плотностьтепловогопотока,подводимогокповерхноститела(илиотводимогоотнее),выражаетсяспомощьюформулыНьютонакаквеличина,пропорциональнаяразности
температурсредыиповерхноститела:
гдеα – коэффициенттеплоотдачи.
Сдругойстороны,согласнопостулатуФурьеплотностьтеплового
потоканаповерхноститела
при
при
= − −λ =
2
δ∂
= +λ =
∂
x
T
,
;
1
,
2
111
гдеλ–коэффициенттеплопроводноститела;
( )
0.w
w
T
TT
n
∂
−λ = α −
∂
n–координата,направленнаяповнешнейнормаликповерхности
тела.
Приравниваянаоснованиизаконасохраненияэнергииправыечастидвухпоследнихвыражений,получаемматематическуюформулировкуграничныхусловийтретьегородадляслучаяконвективнойтеплоотдачинаповерхноститела:
Такимобразом,граничныеусловиятретьегородаформулируются
ввидеуравнения,вкоторомизвестнымивеличинамиявляютсякоэффициенттеплоотдачиα,температурасредыТ
и коэффициенттепло-
0
проводностителаλ.Неизвестными функциямивремени икоординат
на поверхности теля являются температура и ее градиент. Заметим,
чтовобщемслучаекоэффициенттеплоотдачиαитемператураТ
мо-
0
гутбытьпеременными,нообязательнозаданнымифункциямивремениикоординат.
T
α
02
2
ВслучаеодномерноготемпературногополяT(x, t)в плоскойпластинетолщинойδграничныеусловия третьегородазадаются следующимобразом(рис.3.4):
112
T
01
α
1
Т
н
–d/2 d/2
Рис.3.4.Распределениетемпературыпотолщинепластиныпригра-
ничныхусловияхтретьегорода
0
Т(x,t)
х
( )
2
при
T
x
δ∂
∂
00приTx
t
∂
= =
∂
x TT
= − −λ = α −
при
2
δ∂
x TT
= +λ = α −
x
∂
T
1 01
( )
2 02
, Т01иα2, Т02–заданныепоусловиюкоэффициентытеплоотда-
гдеα
1
;
x
=−δ
2
(3.70)
,
x
=δ
2
чиитемпературыокружающейсредыс левойиправойстороны
отпластинысоответственно.
Присимметричномнагревеплоскойпластины (при Т
чаеграничных условий первогорода,q
ловийвторогорода,Т
=Т02иα1=α2в случаеграничных условий
01
=q2в случае граничныхус-
1
=Т2вслу-
1
третьегорода) температурноеполе является симметричным относительноцентральнойплоскостиx=0ирешениеуравнениятеплопроводности(3.63)можнопроизводитьвобласти0≤x≤δ/2,соответствующей половине толщины пластины (рис. 3.5). При этом граничное
условиеналевойграницерасчетнойобласти(приx=0)имеетследующийвид:
. (3.71)
T
0
α α
Т
н
–d/2
0
Т(x,t)
d/2
T
0
х
Рис.3.5.Распределениетемпературыпотолщинепластины
приграничныхусловияхтретьегородаисимметричномнагреве
Эторавенствовыражаеттотфакт,чтовплоскостисимметриираспределениетемпературыТ(x,t)вкаждыймоментвремениимеетэкстремум(минимумилимаксимум).
113
3.3.2. Теплопроводность при стационарном режиме
0
Tt∂
=
∂
2
0T∇=
2
2
0
ddT
x
=
1
ddT
Cx=
ddT
qx= −λ
( )
21
CxCxT +=
В случае когда температура в каждой точке тела неизменна во
времени, вследствие того что
, уравнение теплопроводности
(3.62)принимаетвид
. (3.72)
Рассмотримнесколько задачстационарной теплопроводностидля
двухтелпростейшейформы:неограниченнойпластиныибесконечно
длинногопологоцилиндра.
Напомним,чтодлязадачстационарнойтеплопроводностиначальныеусловиянеимеютсмысла,такчтоследуетзадаватьлишьграничныеусловия.
Неограниченная пластина
Для пластины, неограниченно простирающейся в направлении
осей Оyи Оz, но имеющей конечную толщинуδ внаправлении оси
Оx(практическиэтоозначает,чтовысотаиширинапластинывелики
посравнениюсеетолщиной),уравнение(3.72)принимаетвид
. (3.73)
Интегрируяэто уравнение один раз, получаем
, гдеС1 –
константаинтегрирования.
Таккак
,извыражения(3.73)следует,чтоплотностьте-
пловогопотокаестьвеличинапостояннаяпотолщинепластины.Этот
результат являетсявполне естественными непосредственно следует
иззаконасохраненияэнергиидлярассматриваемогослучая.Действительно,длясохранениястационарногорежиманеобходимо,чтобыколичество теплоты, проходящей через единицу площади плоскостей,
параллельныхплоскостиyОz,вединицувремени,былопостоянным,
таккаквпротивномслучаетемпературапластиныдолжнаизменятьсявовремени.
Вторичноинтегрируяуравнение(3.73),получаем
–постояннаяинтегрирования.
гдеС
2
114
, (3.74)
Заметим, что, как это следует из найденного решения, распреде-
const
ddT
x
λ=
d d constTx=
12
TT
δ
( )
12
1
TT
Tx T x
−
= −
δ
1
ddTxC=
ddTx
ddq Tx= −λ
ление температуры по толщине пластины является линейным. Этот
результат, однако, получается только при условии постоянства коэффициента теплопроводности. Действительно, из условия постоянства
плотности теплового потокапо толщинеимеем
.Отсюда
следует,чтолинейныйхарактерраспределениятемпературы,т.е.полученныйрезультат
,можетиметьместотолькоприусловииλ=const.Впротивномслучаераспределениетемпературыпотолщиненелинейно,какэтопоказаноштриховымилинияминарис.3.6.
Рис.3.6.Стационарноетемпературноеполевплоскойстенке
приграничныхусловияхпервогорода
ЗначенияС1иС2следуетопределятьисходяизграничныхусловий.
Граничные условия первого рода. Врассматриваемомслучаегра-
ничныеусловия первогородазаключаютсявтом, что заданызначениятемпературыT
иТ2наповерхностипластины(см.рис.3.6):
1
приx=0T=T
→С2=Т1;
1
ПодставляязначенияпостоянныхС
чаемвыражениедля распределениятемпературыврассматриваемой
плоскойстенке:
ДляопределенияплотноститепловогопотокаqвоспользуемсязакономФурье.Учитывая,что
выражениезаконаФурье
приx=δT=T
→
C−= −
2
1
иС2вформулу(3.74),полу-
1
.
. (3.75)
,послеподстановки
получаем
в
115
( )
12
q TT
λ
= −
δ
. (3.76)
( )
12
Q qFt T T Ft
λ
= = −
δ
12
TT
q
−
=
δλ
( )
1
q
Tx T x= −
λ
Изформулы(3.76)следует, чтоплотность тепловогопотокачерез
плоскую стенку прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности и разности температур на поверхностях стенки и обратно
пропорциональна ее толщине. Следует подчеркнуть, что плотность
тепловогопотокаопределяетсянеабсолютнымизначениямитемпературыТ
стенки,аобратнаявеличинаδ/λ,м
,Т2,аихразностьюТ1–Т2.
1
Отношение λ/δ, Вт/(м
2⋅
К), называется тепловой проводимостью
2⋅
К/Вт,–тепловым, или термиче-
ским, сопротивлением стенки.Последнеевыражениеопределяетпадениетемпературывстенкенаединицуплотноститепловогопотока.
Знаяплотностьтепловогопотока,легковычислитьобщееколичествотеплотыQ,котороепередаетсячерезповерхностьстенкиплощадьюSзапромежутоквремениt:
. (3.77)
Изуравнения(3.76)следует,что:
.
После учета этого равенства в выражении температурного поля
(3.74)получим
Изуравнения(3.78)следует,чтоприпрочихравныхусловияхтемпературавстенкеубываеттембыстрее,чембольшеплотностьтепловогопотока.
Рассмотримтеплопроводностьмногослойной плоскойстенки, состоящейиз nоднородныхслоев. Примем,чтоконтактымеждуслоямиидеальны,такчтотемпературанасоприкасающихсяповерхностях
соседнихслоеводинакова.
При заданных значениях температурына внешних поверхностях
стенкиисоответствующихкоэффициентовтеплопроводности,атакжезаданныхразмерахслоевможносоставитьсистемууравнений:
116
. (3.78)
( )
( )
( )
( )
1
12
1
2
23
2
1
;
;
.
n
n
n
n
q TT
q TT
q TT
+
λ
= −
δ
λ
= −
δ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
λ
= −
δ
(3.79)
( )
1
1
12
...
n
n
n
TT q
+
δ
δδ
− = + ++
λλ λ
( ) ( )
11
11
12
12
1
...
nn
n
n
i
n
ii
TT TT
q
++
=
−−
= =
δ
δδ
δ
+ ++
λλ λ
λ
∑
1
n
i
ii=
δ
=
λ
∑
Влевых частях всехуравнений фигурирует одна ита же величинаq,посколькупри стационарномрежиметепловойпоток,проходящийчерез любуюизотермическуюповерхностьнеоднороднойстенки,сохраняетпостоянноезначение.Определивизсистемыуравнений
(3.79)температурныенапорывкаждомслоеисложивправыеилевые
частиполученныхуравнений,получим
.
Отсюдаплотностьтепловогопотока
. (3.80)
Величина
слоев, называетсяполным термическим сопротивлением многослой-
ной стенки.
Граничные условия третьего рода (теплопередача). Передача
теплаотоднойподвижнойсреды(жидкостиилигаза)кдругойчерез
разделяющуюиходнороднуюилимногослойнуютвердуюстенкуназываетсятеплопередачей.Теплопередачавключаетвсебятеплоотдачуот болеегорячейподвижнойсреды кстенке,теплопроводность в
стенке,теплоотдачуотстенкикболеехолоднойподвижнойсреде.
плоскиестенки.
Рассмотрим теплопередачу через однослойную и многослойную
,равнаясумметермическихсопротивленийвсех
117
Имеется плоская однороднаястенка толщиной δ. Заданы коэффи-
0
T
′
0
T
′′
0
T
′
0
T
′′
( )
10 1
q TT
′
=α−
( )
12
q TT
λ
= −
δ
( )
22 0
q TT
′′
=α−
01
12
20
q TT
q TT
00
12
11
q TT
δ
′ ′′
++ = −
α λα
00
12
11
TT
q
′ ′′
−
=
δ
++
α λα
циенттеплопроводностистенкиλ,значениятемпературыокружающей
и
среды
тать,чтовеличины
,атакжекоэффициентытеплоотдачиα1иα2;будемсчи-
,
,α1иα2постоянныинеменяютсявдольповерхности.Этопозволяетрассматриватьизменениетемпературыстенкитольковнаправлении,перпендикулярномплоскостистенки.
Требуется определить тепловой поток от горячей среды к холод-
нойизначениятемпературынаповерхностяхстенки.
Плотность тепловогопотокаотгорячей средык левойповерхно-
стистенкиопределяетсяпоформуле
. (3.81)
При стационарном тепловом режиме такой же тепловой поток
пройдетпутемтеплопроводностичерезстенку:
. (3.82)
Такойжетепловойпотокпередаетсяотправойповерхностистен-
кикхолоднойследезасчетконвективнойтеплоотдачи:
. (3.83)
Соотношения(3.81)–(3.83)можнопереписатьвследующемвиде:
1
q TT
α
1
δ
λ
1
α
= −
= −
= −
2
′
;
(3.84)
;
′′
.
Сложивполученныеравенствапочленно,получим
,
откуда
118
. (3.85)
Введемобозначение
12
1
11
k =
δ
++
α λα
( )
00
TTkq
′′
−
′
=
12
11
Rδ= ++
α λα
12
112 2
11
...
n
n
R
δ
δδ
= + + ++ +
αλλ λα
1
12
11
n
i
i
i
R
=
δ
=++
α λα
∑
. (3.86)
Сучетом(3.86)формула(3.85)принимаетвид
Величина k, Вт/(м
2
∙ К), имеет ту жеразмерность, что и коэффи-
. (3.87)
циент теплоотдачи α, и называется коэффициентом теплопередачи,
который характеризует интенсивность передачи теплоты от одной
средыкдругойчерезразделяющуюихстенкуичисленноравенколичествутеплоты,котороепередаетсячерезединицуповерхностистенки в единицу времени при разности значений температуры между
средамиводинградус.
ВеличинаR,м ∙К/Вт,обратнаякоэффициентутеплопередачи,на-
зываетсяполным термическим сопротивлением теплопередачи.
Полное термическое сопротивление однослойной стенки рассчи-
тываетсяпоформуле
. (3.88)
Изэтойформулыследует, чтополноетермическоесопротивление
складывается из отдельных термических сопротивлений 1/α
,причем1/α1представляетсобойтермическоесопротивлениете-
1/α
2
, δ/λ и
1
плоотдачиотгорячейсредыкповерхностистенки;δ/λ–термическое
сопротивлениестенки; 1/α
–термическоесопротивлениетеплоотда-
2
чиотповерхностистенкикхолоднойсреде.
Посколькуобщее термическое сопротивлениесостоит из отдельных термических сопротивлений, то в случае многослойной стенки
полноетермическоесопротивлениетеплопередачи
или
,
119
откудадлямногослойнойстенки
11 2
1
11
in
i
ii
k
=
=
=
δ
++
α λα
∑
( )
00
00
11 2
11
in
i
ii
TT
q kT T
=
=
′ ′′
−
′ ′′
= = −
δ
++
α λα
∑
Q qS k TS= = ∆
10
1
1
TTq
′
= −
α
20
1
1
TTq
δ
′′
=−+
αλ
20
2
1
TTq
′′
= +
α
10
1
1
1
k
i
k
i
i
T Tq
+
=
δ
′
=−+
αλ
∑
. (3.89)
Такимобразом,плотность тепловогопотокачерез многослойную
стенку
. (3.90)
Из сравнения формул (3.89) и (3.13) следует, что соотношение
(3.13)являетсячастнымслучаемформулы(3.89)приn=1.
Тепловой поток Q, Вт, через поверхность площадью S плоской
стенки
. (3.91)
Значения температуры поверхностей однородной стенки можно
найтиизуравнений(3.84):
;
или
.
Изсопоставленияформул(3.80)и(3.90)следует,чтопередачатеплотычерезмногослойную стенкуприграничных условиях первого
родаявляетсячастнымслучаемпередачитеплотыприграничныхусловияхтретьегорода.
Наоснованиисказанноготемпературанаграницелюбыхдвухслоевсномерамиkиk + 1приграничныхусловияхтретьегородаможет
бытьопределенапоформуле
. (3.92)
3.3.3. Теплопроводность при нестационарном режиме
Рассмотримпереностеплотызасчеттеплопроводностиприизменениитемпературытелане только впространстве,но ивовремени.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]