Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии, машиностроения и материаловедения теплофизические основы технологических процессов. Учебное пособие
.pdf
чениятрубы,вблизистенкиобразуетсякольцевойпограничныйслой
(заштрихованная зона), а в центральной части сечения сохраняется
зона невозмущенного потока, называемая потенциальным ядром, в
которойотсутствуетпоперечный градиентскорости. По мере удаленияотвходногосечениятолщинапограничногослоявозрастает,и в
сечении2–2онсмыкаетсянаоси,заполняявсюплощадьпоперечного
сечениятрубы.
Рис.2.14.Схематеченияжидкостивтрубе:а–ламинарныйрежим;
б–турбулентныйрежим
Участок I, расположенный между сечениями 1–1 и 2–2, на протяжении которого существуют пограничный слой и потенциальное
ядро, называется входным. На переходном участке II между сечениями 2–2 и 3–3 продолжается перестройка поперечного профиля
скорости. Наконец, в сечении 3–3 эта перестройка заканчивается, и
начинаетсяучастокIII,называемыйучасткомгидродинамическистабилизированного, или установившегося, течения. Описанная схема
являетсяобщей какдля ламинарного (рис.2.14, а),так идля турбулентного(рис.2.14, б)режимов движенияжидкостив трубе,однако
вслучае турбулентного режимав связисболее интенсивнымнарастаниемтолщиныпограничногослоядлинавходногоучасткаоказывается меньшей;уменьшается и длина переходного участка. При этом
в связи с интенсивным переносом импульса профиль скорости на
участкеустановившегосятеченияполучаетсяболее сглаженным,т.е.
болееблизкимкоднородному.
Интересной особенностью течения на входном участке является
тот факт, что в невозмущенной части потока, т.е. в потенциальном
ядре,скоростьрастетпоегодлине.Этообъясняетсятем,чтоплощадь
сеченияядра по длине уменьшается, арасходжидкостичерез поперечноесечениетрубыпостояненпоеедлине.
51
2.4.4. Математическое описание и расчет течения
1d
grad
d
w
kp
t
= −
ρ
( )
0
d
divdw
t
ρ
+ρ =
0
wt∂
=
∂
( )
1
div gradw wk p= −
ρ
( )
0div w =
0
0;
u
ww
y
∂
= =
∂
несжимаемой жидкости в пограничном слое
Какотмечалосьранее,течениевневозмущенномпотоке,запределами пограничного слоя, можно рассматриватькак течение идеальнойжидкостииописыватьегоуравнениемЭйлера
иуравнениемнеразрывности
.
Вчастовстречающемсянапрактикеслучаеустановившегосядви-
жениянесжимаемойжидкости
сяквиду
ауравнениенеразрывностипринимаетвид
К приведенной системе уравненийнеобходимодобавить условия
однозначности, гдев граничных условиях описатьдинамику потока
награнице пограничного слоя иневозмущенногопотока,а такжена
бесконечномудаленииотэтойграницы.Обычноэтиусловиязадаютсяследующимобразом.
Какбылоустановленовыше, внешняя границалюбого пограничногослоя–этогеометрическоеместоточек,вкоторыхскоростьжидкостиравна скорости невозмущенного потока, а поперечный градиент продольной составляющей скорости обращается в нуль. Таким
образом,награниценевозмущенногопотокаипограничногослоясоблюдаютсяравенства:
уравнение (2.38)преобразует-
, (2.54)
.
приy=d. (2.55)
52
Впределах пограничного слояпренебрегатьдействием силы вяз-
0w =
( )
2
1
grad gradww p w= − + ν∇
ρ
кого трения нельзя. В связи с этим вместо уравнения Эйлера (2.38)
необходимо использоватьуравнение Навье – Стокса (2.34), а в случаенесжимаемойжидкости–уравнение(2.36).КуравнениюНавье–
Стоксаприбавляется уравнение неразрывности(2.29), авслучаенесжимаемойжидкости–уравнение(2.31).
К указанной системе уравнений необходимо добавить условия
однозначности.Вчастности,граничныеусловиянавнешнейгранице
пристеночногопограничногослояимеютвид(2.55)анаповерхности
обтекаемойстенкиихзадаютисходяизусловияприлипанияпотокак
поверхности:
приy=0. (2.56)
Уравнения движенияинеразрывности,записанные длятеченияв
пограничномслое, могут быть существенно упрощены.Рассмотрим
этонаконкретныхпримерах.
Течение в пристеночном ламинарном пограничном слое
Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкостив пристеночномпограничном слое на плоской поверхности (см.
рис.2.11).
По определению,толщина пограничногослоя на любомрасстоянииxотпереднейкромкипластиныоченьмалапосравнениюсэтим
расстоянием:d<<x,поэтомувлияниемсилытяжести,т.е. изменением давления по толщине пограничного слоя, вызванном действием
силы тяжести, можно пренебречь. Таким образом, из правой части
уравнения (2.36) исключается выражение для массовой плотности
внешнеймассовойсилы, аиз еголевой части– локальнаясоставляющая субстанциальной производной вектора скорости по времени.
Тогдаполучим
. (2.57)
В пограничномслое вектор скоростиимеет проекции как на ось
Оx,такинаосьОy,поэтомууравнение(2.57)впроекцияхнакоординатныеосиприобретаетследующийвид:
53
22
22
22
22
u u p uu
xy
xy
∂∂ ∂ ∂∂
∂∂
uu u
∂∂∂
0
, 0, 0
u
uu
yy
∂∂
= = =
∂∂
uy∂
τ=µ
∂
1uu
xy y
∂ ∂ ∂τ
∂ ∂ ∂ ∂∂
u
+ =− +ν +
ʋ
xy x
∂ ∂ ρ∂
ʋ ʋ ʋ ʋ
+ =− +ν +
u
ʋ
∂ ∂ ρ∂
xy y
u
∂∂
ʋ
+=
xy
∂∂
0.
1
;
∂∂
p
1
;
Искомыми функциями в этой системе уравнений являются две
компоненты вектора скоростии давление. Анализ порядка величин,
входящихвэтиуравнения,показал,чтоонимогутбытьприведенык
следующемуокончательномувиду:
сграничнымиусловиями
u=0,ʋ=0приy=0;
Эта система уравнений описывает также плоский свободный пограничныйслойприламинарномдвижении.
ИспользуяформулуНьютонадлякасательногонапряжениятрения
, можно записать первое из уравнений (2.58) в следующем
виде:
Ниже представлены приближенные формулы для расчета характеристиктечениявламинарномпограничномслое,полученныеспомощьютак называемогоинтегрального методатеории пограничного
слоя.
54
u
+=ν
u
ʋ
xy
∂∂
u
∂∂
+=
xy
∂∂
+=
ʋ
∂ ∂ ρ∂
2
;
2
y
∂
ʋ
(2.58)
0,
ʋ
приy=d. (2.59)
. (2.60)
Профильпродольнойсоставляющейскорости
3
0
31
22
yy
uu
= −
δδ
3
0
31
22
uy y
u
= −
δδ
0
4,64
xuν
δ=
0,5
4,64
Re
x
x
δ
=
0
Rexux= ν
или,вбезразмерномвиде,
Изменение толщины ламинарного пограничного слоя по длине
пластины
или,вбезразмерномвиде,
где
x–продольнаякоордината.
Полученные результаты показывают, что толщина пограничного
слояувеличивается при повышении кинематическогокоэффициента
вязкости и уменьшается при увеличении скорости невозмущенного
потока.Первыйиз указанныхэффектовобъясняется тем,что увеличениекоэффициентамолекулярного переноса механическойэнергии
приводит к более глубокому проникновению тормозящего влияния
стенкивневозмущенныйпотоки, следовательно,кувеличениютолщины пограничного слоя. Второй эффект обусловлен тем, что при
повышении скорости невозмущенного потока увеличивается интенсивность конвективного продольного переноса импульса. При этом
невозмущенныйпоток более интенсивно внедряетсяв пограничный
слой,уменьшаяеготолщину.
Выражение (2.63) позволяет найти распределение обеих компонентвектораскоростив пограничномслое.Действительно, подставляяэтуформулуввыражение(2.68),можноопределитьвявномвиде
распределение продольнойкомпонентыскорости u(x, y), после чего
изуравнениянеразрывностинайтираспределениепоперечнойкомпонентыʋ(x,y).
(2.61)
. (2.62)
(2.63)
, (2.64)
;
55
Знаятолщинупограничногослоя,также можно найти выражение
0
0
3
2
w
y
u
u
y
=
∂
τ=µ = µ
∂δ
2
0
0,5
0,323
Re
w
x
uρ
τ=
для касательногонапряжения трения на поверхности пластины, т.е.
оценить,какоесопротивлениеоказываеттвердаяповерхностьприламинарномдвижении жидкостивдоль нее.Действительно, используя
формулуНьютонадлякасательногонапряжениятренияивыражение
(2.68)дляпоперечногораспределенияскорости,получаем
,
откуда с помощью формулыдля толщины пограничногослоя (2.64)
находим
. (2.65)
Как следуетиз этих выражений, касательное напряжение трения
наповерхности пластиныуменьшается подлине последнейобратно
0,5
пропорциональноx
гослоя.Чтокасаетсязависимостиτ
,чтообъясняетсяростомтолщиныпогранично-
отдвухпараметровзадачиu0и
w
v,токасательноенапряжениетрения настенкерезковозрастаетпри
увеличении скорости невозмущенного потока (τ
~ u
w
) в связи с
0
1,5
увеличениемпоперечногоградиентаскоростинастенкеиоказываетсятембольшим,чембольшекинематическийкоэффициентвязкости
0,5
~ ν
(τ
w
перечногопереносаимпульса,аτ
),таккакν характеризуетинтенсивностьмолекулярногопо-
представляетсобойплотностьпо-
w
токаимпульсанастенке.
Заметим,чтоформула(2.65) дает возможностьсравнитьполученное приближенноерешение с точным, найденным интегрированием
уравненийПрандтля(2.57).Оказывается,что точноерешение дляτ
w
имееттотжевид, чтои приближенное,и лишь значениечисленного
множителяотличаетсяна3%.
Течение в пристеночном турбулентном пограничном слое
Задачазаключается в том,чтобы получить уравнения турбулентного пограничного слоя, записанные для осредненных по времени
скоростей.Здесь и в дальнейшем будем рассматриватьквазистационарноетурбулентноедвижение,т.е.такое,вкоторомосредненнаяскоростьвкаждойточкедвижущейсясредыпостояннавовремени.
56
Считаем, что уравнения ламинарного пограничного слоя (2.63)
ut∂∂
=+=+
u u uu
xy y
∂ ∂ ∂∂
+= −
∂∂ ∂
+=
u
′
( )
1
т
uu
u
xyy
∂∂ ∂
+ = τ+τ
∂ ∂ ρ∂
uy∂
τ=µ
∂
справедливыдляактуальных,т.е. мгновенных,значенийскоростей в
турбулентном пограничном слое. При этом, конечно,в левую часть
первого из этих уравнений должна быть добавлена локальная производная
, так как актуальная скорость в турбулентном потоке является сложной пульсирующей функцией времени. Затем подставляем в эти уравнения вместо актуальных значений скоростей u
иʋ ихвыражениячерезосредненныеипульсационныескорости,т.е.
′
;uuu
.Послепреобразованийполучим
ʋ′
ʋʋ
2
u
ʋ
ʋ
u
∂∂
∂∂
ʋ
xy
y
∂
′
ʋ′
2
0
. (2.67)
; (2.66)
Такимобразом,уравнениенеразрывности(2.67)дляосредненных
скоростейимееттотже вид,чтои дляламинарногорежима. Что же
касаетсяуравнениядвижения(2.66),тооносущественноизменилось:
вправойегочастипоявилсядополнительныйчлен–производнаяпоy
осредненногопроизведенияпродольнойипоперечнойпульсацийско-
ʋ′
рости
.Запишемуравнение(2.66)вследующемвиде:
ʋ
, (2.68)
где
представляет собой касательное напряжение трения,
которое обусловлено молекулярным переносом импульса и уже
встречалось в уравнении (2.60) для ламинарного пограничного
слоя. Но в уравнении (2.68) появляется дополнительное слагаемоеτ
,котороевыражаетсяследующимобразом:
т
Эта величина, как видно из формулы (2.69), представляет собой
осредненную плотность потока импульса, переносимого в поперечном направлении благодаря наличию поперечной пульсации скорости и′. Действительно, произведение ρʋ′ имеет смысл плотности
′
. (2.69)
τ = −ρ
u
т
ʋ′
57
потокамассы, переносимогов направленииоси Оy. Умножив ρʋ′ на
и′,получимплотностьпотокаимпульса.Величинаτ
называется тур-
т
булентным касательным напряжением трения.
Таким образом, в турбулентном потоке кроме молекулярного переноса импульсаимеет место турбулентныйперенос импульса,обусловленныйпульсационнымхарактеромдвижения,врезультате чего
вуравнениидвижения(2.66)появляетсяноваявеличина–турбулентноекасательноенапряжениетренияτ
пограничногослояτ
>>τ,аввязкомподслоеτт<<τ.
т
.Приэтомвтурбулентнойзоне
т
Распределениескоростипотолщинетурбулентногопограничного
слоясущественноотличаетсяотеераспределениявламинарномслое
(рис.2.15).
Рис.2.15.Распределениескоростипотолщинеламинарного(1)
итурбулентного(2)пограничныхслоев
Всвязистемчтоинтенсивностьтурбулентногопереносаимпульса значительно превышает интенсивность молекулярного переноса,
градиентскоростивтурбулентномпограничномслое имеетнабольшейчастиеготолщины,т.е.в турбулентнойзоне,значительноменьшуювеличину, ав непосредственнойблизости к стенке,т.е.в ламинарномподслое,скоростьрезкопадает донулянаповерхности. Для
описания этого распределения используют эмпирическую формулу
Прандтля,котораяхорошосогласуетсясэкспериментальнымиданнымив широкомдиапазоне чисел Рейнольдсаи вразличных условиях
турбулентноготечения.Этаформулаимеетследующийвид:
1
7
y
uu
=
0
(2.70)
,
δ
гдеδ–толщинатурбулентногопограничногослоя.
58
Для описания связи между касательным напряжением трения на
0
uv
= δ
0,2
0,8
0
0,375 ,vx
u
δ= ⋅
0,375
x
δ
поверхности τ
и толщиной турбулентного пограничного слоя вос-
w
пользуемсяэмпирическойформулойБлазиуса:
2
uδρ
τ=
0,0228 ,
w
где Re
– число Рейнольдса, в котором роль характерного размера
δ
играеттолщинатурбулентногопограничногослоя,
Re
0
(2.71)
0,5
Re
δ
Изменениеподлинепластинытолщинытурбулентногопогранич-
ногослояописываетсявыражением
.
или,вбезразмерномвиде,
пограничногослоя(2.63)и(2.64),видим,чтопомереудаленияотпереднейкромкипластины толщинатурбулентногопограничногослоя
растет значительно быстрее, так как интенсивность турбулентного
переноса импульса ν
ногопереносаν.
слоякинематического коэффициентавязкостиνи скоростиневозмущенногопотокаu
минарногопограничного слоя: δ увеличивается при увеличении ν и
уменьшаетсяпри увеличенииu
ми, что и для ламинарного режима. Однако влияние указанных параметровна толщинутурбулентного пограничногослоязначительно
слабее,чемвслучаеламинарногослоя.
ν обусловленотем, что молекулярныйперенос импульса, интенсивностькоторогохарактеризуетэта величина,фактическиимеетместо
лишьвламинарномподслое.
щинутурбулентногопограничногослояобъясняетсятем,чтовозрас-
(2.72)
Re
0,2
.
= (2.73)
x
Сравниваяэтивыражениясформуламидлятолщиныламинарного
значительно выше интенсивности молекуляр-
т
Что касается влияния на толщину турбулентного пограничного
, то оно качественнотакое же, как ив случае ла-
0
. Это объясняетсятемиже причина-
0
Более слабое влияние кинематического коэффициента вязкости
Ослаблениевлияния скорости невозмущенногопотока u
на тол-
0
59
2
0
0,2
0,0296
Re
w
x
uρ
τ=
таниескорости,какиприламинарномрежиме,способствуетувеличению интенсивности продольногоконвективного переноса импульса,
ноодновременно увеличивается и интенсивность поперечногопереноса импульса в турбулентной зоне, т.е. величина кинематического
коэффициентатурбулентнойвязкостиν
,чточастично компенсирует
т
влияниеувеличенияскорости.
Выражение(2.72)совместносформулойПрандтля(2.70)даетвозможностьнайти вявном видераспределение продольнойкомпонентыскоростиu(x,y),послечегоспомощьюуравнениянеразрывности
можнонайтираспределениепоперечнойкомпонентыʋ(x,y).
Подставив выражение для толщины турбулентного пограничного
слоя(2.72)в формулуБлазиуса(2.71),определим,какизменяется по
длинепластиныкасательноенапряжениетрениянаповерхности:
. (2.74)
Таким образом, так же как и в случае ламинарного пограничного слоя, в турбулентномпограничном слое касательное напряжение
трения на поверхности уменьшается по длине пластины, что также
объясняется увеличением толщины пограничного слоя. Однако, несмотрянаточтоδрастетвдольповерхностибыстрее,чемприламинарномрежиме, τ
ется в увеличении ν
уменьшаетсямедленнее.Причинаэтогозаключа-
w
, обусловленном также увеличением толщины
т
турбулентногопограничногослоя.
Влияние кинематического коэффициента вязкости ν на τ
являетсяболееслабым,чемприламинарномрежиме,таккакмолекулярныймеханизмпереносаимпульсадействуеттольковламинарном
подслое.Влияниескорости,напротив,сильнеевсвязистем,чтопри
возрастаниискоростиu
увеличиваетсянетолькопоперечныйгради-
0
ентскорости,ноиинтенсивностьтурбулентногопереносаимпульса.
Для практических расчетов, в частности для расчетов процессов
тепло-имассообмена,втурбулентномпограничномслоеважнознать
нетольколокальное, изменяющееся от точкик точкезначениекасательного напряжения на стенке, но и среднее по поверхности тела
значениеэтойвеличины.Вслучаенеограниченнойплоскойпластины
осреднениелюбойвеличиныпоповерхностиозначаетосреднениепо
некоторойдлине.Найдем среднееподлине Lзначениекасательного
напряжениятрениянаповерхностипластины:
60
также
w
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]