Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
Выполнение заданий
10
−
(
)
0,996
Nλt
1. P(t) = e
-
≈ 1 - Nλt.
Подставляя исходные данные, получим
0,9 = 1 - 100·100λ, откуда
9,01
10
= чλ
=
4
15
−−
.
4
2.
−
1080,,
t
⋅−λ−
eetP
450
===
, чT
=
=
ср
λ
11
12500
=
4
−
1080
⋅
,
.
T
K
===
г
ср
TT
++
срв
12500
125004,85
.
K
= P(t) ·Kтг = 0,45·0,996 = 0,448 .
oг.
Задания
1. Система состоит из 100 функционально необходимых
равнонадежных элементов. Определить, какой величиной интенсивности отказов должны обладать элементы, чтобы вероятность безотказной работы системы за 100 ч. была бы не менее
0,9.
2. В результате наблюдения за работой 1000 электродвига-
4
1
-
телей в течение 10000 ч. было получено значение λ = 0,8·10
ч
-
Закон распределения отказов экспоненциальный, среднее время
ремонта электродвигателей 4,85 ч. Определить вероятность
безотказной работы, среднюю наработку на отказ, коэффициент готовности и коэффициент оперативной готовности.
.
71
Практическое занятие № 6
(
)
(
)
dt
(
)
(
)
dt
(
)
4.8. Типовые законы распределения случайных величин
4.8.1. Основной закон надежности
Теория вероятностей позволяет установить аналитическую связь между основными параметрами надежности. Математическое описание этой зависимости называют основным законом надежности.
Из определения интенсивности отказов и плотности распределения случайной величины получим дифференциальное
уравнение для произвольной функции распределения
tf
()
t =λ
;
()
tP
tdP
()
tf −=
;
tdP
()
t −=λ
()
.
dttP
Разделим переменные
tdP
()
dtt
λ−=
и проинтегрируем в пределах от 0 до какого-то фиксированного значения t
tdP
()
tP
tt
∫∫
00
()
λ−=
. (4.68)
dtt
Интеграл от левой части равен натуральному логарифму
подынтегральной функции. После подстановки верхнего и
нижнего пределов интегрирования в левую часть формулы
(4.68) получим
() () ()
0lnln
t
∫
0
λ−=−
.
dttPtP
В этой формуле Р(0)=1, поэтому ln1=0.
72
t
() ()
ln ,
∫
0
λ−=
dtttP
откуда по определению натуральных логарифмов имеем
t
()
λ−
dtt
∫
=
0
etP
. (4.69)
()
Выражение (4.69) устанавливает связь вероятности безотказной работы с интенсивностью отказов и продолжительностью
эксплуатации и имеет огромное значение в теории надежности.
Это основной закон надежности (первая форма его записи).
Согласно (4.69) вероятность безотказной работы есть обратная убывающая функция. Только для нового изделия Р(t) = 1, а
далее Р(t) убывает.
Вторая форма записи основного закона надежности:
() () ()
0
∞∞
==
∫∫
t
.
dttfdttfttP
4.8.2. Упрощенная и линейная формы основного закона
Хотя вероятность безотказной работы в уравнении (4.69)
зависит только от двух параметров, а именно, интенсивности
отказов и продолжительности эксплуатации электрооборудования, его применение на практике вызывает определенные
сложности. Поэтому основной закон надежности используют в
упрощенном варианте. Действительно, интенсивность отказов в
течение всей «жизни» электрооборудования не остается постоянной. Высокую вероятность отказа она имеет в начальный период эксплуатации (период приработки), в период нормальной
эксплуатации стабилизируется и устанавливается на постоянном уровне. В конце «жизни» электрооборудования (период
износа) она опять увеличивается. При этом период нормальной
эксплуатации по длительности значительно больше, чем периоды приработки и износа. Поэтому в период нормальной эксплуатации интенсивность отказа принимают постоянной, т.е.
λ(t) = λ = соnst. Тогда вероятность безотказной работы при
этих условиях
73
(
)
t
=
λ=λ
...
!
!
λ−λ
3
2
(
)
λ−=
λ−
etP
. (4.70)
Это экспоненциальная форма основного закона надежности.
При λ=const наработка на отказ определяется из выражения
∞
0
()
∞
λ−
∫∫
00
−===
∞
λ−
ttdt
11
IeedttPT
0
,
вероятность безотказной работы
t
−
t
()
λ−
T
0
eetP
== . (4.71)
В отдельных эксплуатационных ситуациях, когда электрооборудование имеет высокую надежность (λ→0) или используется в течение малого промежутка времени (t→0), мож-
но провести дальнейшее упрощение основного закона и использовать не экспоненциальную, а линейную форму основного закона надежности. Для вывода такой зависимости разложим выражение (61) в степенной ряд
λ−
()
t
1
+λ−==
tetP
Пренебрегая членами высшего порядка малости, получим
линейную форму
1 или
ttP
На рис. 4.14 показан график изменения Р(t).
()
tP −=
32
tt
+
t
1
T
.
0
Рис. 4.14. График изменения P(t)
74
Анализ показал, что для изделий, имеющих λt < 0,2, по-
(
)
(
)
λ=λ
(
)
(
)
грешность расчета по линейной форме не превышает 5% по
сравнению с экспоненциальной формой.
4.8.3. Закон распределения Вейбулла
Возникновение отказов электрооборудования в период
приработки подчиняется закону распределения Вейбулла.
Закон распределения Вейбулла применяют:
- для определения характеристик рассеивания сроков
службы отдельных деталей и узлов электрооборудования;
- для определения характеристик рассеивания между экс-
плуатационными отказами.
Основные параметры безотказности при этом распределении:
- вероятность безотказной работы
k
t
λ−
0
; (4.72)
etP
=
- интенсивность отказов
10−
k
ktt ; (4.73)
- частота отказов
k
t
λ−
k
1
−
0
λ= ; (4.74)
ekttf
0
- средняя наработка на отказ
1
Ф
k
T
ср
= , (4.75)
λ
1
+
k
1
0
где k – параметр формы кривой; λ0 – параметр, определяющий
масштаб; Ф – функция, определяемая из таблицы по значению
.
11+k
На рис. 4.15 представлены характеристики, построенные
по уравнениям (4.72), (4.73), (4.74), (4.75).
75
При значении k = 1 распределение Вейбулла превращается
(
)
(
)
−
=
(
)
⋅λ=
в экспоненциальное распределение, при k>1 интенсивность отказов начинается с нуля и возрастает с течением времени. При
k<1 интенсивность отказов начинается с 1 и с течением времени стремится к 0.
Рис. 4.15. Графики изменения характеристик распределения
Вейбулла
Таким образом, в зависимости от значения k вид характеристик распределения может быть самым различным.
Для того, чтобы пользоваться этим законом при оценке
показателей надежности, необходимо определять параметры λ
о
и k по данным опытной информации.
4.8.4. Экспоненциальный закон распределения
Для второго периода эксплуатации (период нормальной эксплуатации) допустимо принять λ(t) = λср = λ = const. То-
гда основные показатели безотказности можно представить в
следующем виде:
k
t
λ−
0
; (4.76)
etP
=
t
λ−
etQ
1 ; (4.77)
t
λ−
etf
. (4.78)
Выражение (4.76) получило название экспоненциального
закона надежности. Характеристики надежности при экспонен-
циальном законе распределения приведены на рис. 4.16.
76
e
Рис. 4.16. Характеристики экспоненциального распределения
Этот закон нашел широкое применение на практике, вопервых, потому что с достаточной инженерной точностью соответствует действительному изменению P(t) в период эксплуатации, во-вторых, потому что достаточно просто связывает основной
показатель надежности λ с другими показателями. График P(t)
(см. рис.16) представляет собой экспоненту с начальными
условиями Р(0) = 1, Р(∞) = 0 и параметром λср = λ.
Если время работы электрооборудования равно средней
наработке на отказ, т.е. t = T0, то вероятность безотказной работы
будет иметь значение
t
( )
0
−
T
0
eeTP
1
1
−
370
,≈===
.
Это значит, что наработка на отказ равна времени, в течение которого значение P(t) уменьшается до величины, равной
0,37. Этот вывод дает возможность определить Т0 непосредственно по графику (рис. 4.17).
77
Рис. 4.17. График изменения Р(t) при экспоненциальном
законе надежности
Анализ закона показывает, что для обеспечения высокой вероятности безотказной работы устройства в течение заданного
времени необходимо, чтобы его Т0 значительно превышала заданное время его безотказной работы t. Если t = Т0, то в большинстве
случаев Р(t) будет составлять всего лишь 0,37, то есть 37 изделий
из 100 проработают в течение заданного времени безотказно. При
превышении средней наработки до отказа заданного времени безотказной работы в 10 раз Р(t) возрастает до 0,9, а в 20 раз ! до
0,99. Для экспоненциального закона λ = const характерно то, что
во втором периоде эксплуатации отказы наступают примерно через равные по длительности промежутки времени. Если имеются
на руках конкретные данные (опытные или статистические) об
интенсивности отказов для данного типа электрооборудования,
можно прогнозировать отказы для любого промежутка времени
его работы. Основным свойством экспоненциального закона является независимость Р(t) от наработки до начала рассматриваемого
интервала, т. е. Р(t) не зависит от того, сколько уже электрооборудование работало до этого времени.
4.8.5. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения применяется для описания постепенных отказов для третьего периода эксплуатации
электрооборудования, когда наступает износ и старение. Такое
распределение случайных величин получается в том случае, когда на электрооборудование воздействует ряд случайных факто-
78
ров, каждый из которых оказывает незначительное влияние на
(
)
2
π
δ
X
суммарное значение отклонения величины от ее среднего значения. При этом ни один из случайных факторов не имеет решающего значения.
Кривая нормального распределения описывается следую-
щим уравнением:
−
()
1
=
Xx
2
2
δ
exf , (4.79)
где δ – среднее квадратическое отклонение случайных величин;
х – независимая переменная;
– среднее значение нормаль-
ного распределения.
Кривая нормального распределения имеет симметричный
колоколообразный вид (рис. 4.18). Если изменить положение
центра рассеивания, не изменяя характера рассеивания (δ), то
кривая распределения будет смещаться вдоль оси времени
(см. рис. 4.18, а).
Параметр δ характеризует форму кривой распределения.
Чем больше распределение (больше δ), тем меньше ордината кривой. Увеличение δ приводит к «растягиванию» кривой вдоль
оси абсцисс (см. рис. 4.18, б).
а) б)
Рис. 4.18. Дифференциальные кривые нормального
распределения при изменении параметров распределения
79
(
)
2
t
∫
σ⋅π
0
t
−
⋅
πσ
1
()
−=
1tP
2
1
()
=
x
tf
Основные показатели нормального распределения:
()
t =λ
()
tP
На рисунке 4.19 представлены кривые, полученные по
уравнениям (4.80), (4.81), (4.82).
2
( )
−
( )
−
2
mt
−
t
2
σ
2
t
dte
; (4.80)
2
mx
x
2
σ
x
dxexf
; (4.81)
. (4.82)
Рис. 4.19. Кривые показателей нормального распределения
Как видно из рисунка 4.19, интенсивность отказов λ (t)
сильно возрастает с течением времени. Это означает, что имеет
место старение и износ частей электрооборудования. В начальный
период времени электрооборудование работает устойчиво в течение небольшого промежутка времени, когда износ некоторых его
частей еще не проявляется, вероятность безотказной работы Р(t)
убывает незначительно. Однако при продолжительной работе
надежность электрооборудования значительно снижается из-за износа его частей. Характерной особенностью нормального распределения является то, что случайная величина х находится в
пределах ±3δ (рис. 4.20).
Как видно из рисунка 4.20, вероятность того, что случайная величина х лежит в пределах ± 3δ, близка к 1,0 (точнее, к
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]