Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
Каждый закон распределения характеризуется двумя
()(
)
∑
=
=
функциями: интегральной и дифференциальной.
4.6.4. Интегральная функция и ее свойства
Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента хi, равная вероятности того,
что случайная величина примет любое значение меньше X.
Если для случайной величины X выберем на числовой оси
точку с координатой х, то для каждого числа х в диапазоне случайной величины Х < х существует вероятность Р(Х < х), то
есть X не превосходит х. Очевидно, что указанная вероятность
Р(Х < х) является функцией х. Обозначим ее через F(х), тогда
F(х) = Р(Х < х) называют интегральной функцией.
Если X дискретная случайная величина, то интегральная
функция будет иметь вид
xXPxF
. (4.40)
i
Интегральная функция дискретной случайной величины
разрывная и возрастает скачками при переходе возможных значений дискретной случайной величины (рис. 4.6).
Таким образом, совокупность вероятностей всего ряда
значений данной дискретной величины выражается в виде
ступенчатой функции распределения вероятностей.
Рис. 4.6. Интегральная функция дискретной случайной величины
Если представить, что число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно возрастает, а промежутки
61
между ними становятся все меньше и меньше, то в пределе получим непрерывную интегральную функцию F(х) (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Интегральная функция непрерывной
случайной величины
Свойства интегральной функции.
1. Интегральная функция F(х) положительная
0 ≤ F(х) ≤1. (4.41)
2. Вероятность появления случайной величины в интерва-
ле (α ÷ β) равна разности значений функции распределения в
концах интервала (рис. 4.8), т.е.
P (α ≤ х ≤ β = F (x = β) – F (x = a) . (4.42)
Рис. 4.8. Вероятность появления случайной величины
в интервале а ÷ β
62
3. Интегральная функция случайной величины неубыва-
∞−=
x
()(
)
=
()(
)
−
=
()()(
)
−∆+=∆+≤
≤
()(
)
x
∆
−∆+
ющая, т.е. если β < а, то F(х = β) > F(х = а).
4. При
интегральная функция равна 0, а при х = +∞
единице, т.е. Р(-∞) = 0, F(+∞) = 1,0.
Применительно к показателям безотказности и долговечности функция F(х) характеризует «отказность» электрооборудования (количество отказавших машин или число отказов от
начала эксплуатации до заданной наработки), а функция Р(х)
безотказность, т. е.:
если
,xQxF
то
1 . (4.43)
xFxP
4.6.5. Дифференциальная функция и ее свойства
Дифференциальная функция имеет смысл только для непрерывных случайных величин.
Вычислим вероятность попадания некоторой случайной
величины X на участок от х до х + ∆х, где ∆х - незначительное
приращение (рис. 4.9).
Рис. 4.9. К определению дифференциальной функции
В соответствии со свойством интегральной функции можно написать
xFxxFxxxxP
. (4.44)
Возьмем отношение этой вероятности к длине участка ∆х
и устремим длину участка ∆х к нулю. В пределе получим
функцию или плотность распространения случайной величины
(плотность вероятности)
xFxxF
()
xf
=
lim
x
→∆ 0
. (4.45)
Правая часть равенства (40) представляет с собой производную от интегральной функции
63
(
)
dx
xdF
()
xf
==
′
()
xF
. (4.46)
Поэтому функцию ƒ(x) также называют дифференциальным законом распределения случайной величины X. Дифференциальная функция приведена на рис. 4.10.
Pис. 4.10. Дифференциальная функция
Свойства дифференциальной функции
1. Дифференциальная функция всегда положительна, т.е.
ƒ(x)≥ 0.
Это свойство возникает из того, что плотность распределения есть производная от неубывающей функции распределения случайной величины.
2. Интегральная функция случайной величины X равна инте-
гралу от плотности распределения в интервале от - ∞ до x, т.е.
() ()
=
x
∫
∞−
. (4.47)
dxxfxF
3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины х на участок α - β равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку α (рис. 4.11):
β
( ) ()
=β≤≤α dxxfXP
∫
α
. (4.48)
4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распреде-
ления равен 1
64
+∞
()
∫
∞−
Рис. 4.11. Вероятность попадания случайной величины
на участок α-β
5. Плотность распределения имеет размерность, обратную
размерности случайной величины
. (4.49)
= 1dxxf
[ ]
()
xf1=
. (4.50)
[]
x
Выполнение заданий
1. Трудозатраты на ТО и ТР:
Ттр = nтрt
Тто = nтоt
.
2 = 1.3.2 = 6 чел.-час.
тр
.
2 = 7+0,5.2 = 7 чел.-час.
то
2. Коэффициент технического использования
Т
=
K .
ти
Σ
Σ
++
=
ТТТ
тотр
200
940
,=
76200
++
3. Время наработки до отказа:
11
01
λ
1052
⋅
,
=
=
=
3
−
11
02
λ
1014
⋅
,
=
=
+
чТ 400
.
080
,
=
33
−−
10220
⋅
,
чТ 534
.
Наработка до отказа второго объекта выше, чем первого.
65
Задания
1. Прибор состоит из четырех блоков. Отказ любого из
них приводит к отказу прибора. Первый блок отказал 9 раз в
течение 21 000 ч., второй − 7 раз в течение 16 000 ч., третий −
2 раза и четвертый − 8 раз в течение 12 000 ч. работы. Опреде-
лить наработку на отказ, если справедлив экспоненциальный
закон надежности.
2. При эксплуатации электрооборудования животноводче-
ской фермы зарегистрировано 20 отказов, из них: электродвигателей − 8, магнитных пускателей − 2, реле − 4, электронагревательных приборов − 6. На ремонт затрачивалось: электродвигателей − 1,5 ч., магнитных пускателей − 25 мин., реле −
10 мин., электронагревателей − 20 мин. Найти среднее время
восстановления.
3. В результате наблюдения за работой 1000 электро-
двигателей в течение 10 000 ч было получено значение "=
0,8·10
-4 ч-1
. Закон распределения отказов экспоненциальный,
среднее время ремонта электродвигателя равно 4,85 ч. Определить вероятность безотказной работы, наработку до первого отказа, коэффициент готовности и коэффициент оперативной готовности.
4. Навозоуборочный транспортер имеет 2 электродвига-
теля. Суммарная наработка транспортера за год составляет
200 ч. Эксплуатационные мероприятия включают в себя
1 текущий ремонт продолжительностью 3 ч. на каждый элек-
тродвигатель и 7 технических обслуживаний по 0,5 ч. на
каждый электродвигатель. Определить коэффициент технического использования электродвигателей навозоуборочного
транспортера.
66
Практическое занятие № 5
(
)
(
)
(
)
()(
)
4.7. Вероятностное описание показателей надежности
На практике показатели надежности обычно определяют
по статистическим данным. Для использования этого метода
необходимо наличие статистических данных об отказах электрооборудования (наработка до отказа, время восстановления и
др.). Эти данные получают в результате постановки эксперимента или по материалам эксплуатации.
Известно, что надежность электрооборудования зависит от
многочисленных факторов. Поэтому показатели надежности являются случайными величинами. На практике при изучении случайных величин используют теорию вероятностей. Определим
показатели надежности как вероятности случайных величин.
4.7.1. Вероятность безотказной работы
По статистическим данным частота отказов определяется
по формуле
tn
()
tf∆⋅=
0
. (4.51)
tN
Если рассматривать ƒ(t) как непрерывную функцию и при
этом устремить интервал времени ∆t к нулю, то частоту отказов
можно записать в виде
tdn
()
tf
=
0
. (4.52)
dtN
⋅
Продифференцируем формулу вероятности безотказной
работы, определяемую по статистическим данным как:
tn
()
tP −=
1
; (4.53)
N
0
tdP
=
dt
tdn
. (4.54)
dtN
0
Получим следующее выражение:
67
()(
)
dPtdQt
ft
dtdt
(
)
dt
=−=
()
. (4.55)
Вероятностное описание показывает, что частота отказов
ƒ(t) представляет собой плотность вероятности отказов и явля-
tdQ
ется производной по времени от вероятности отказов
или
производной от вероятности безотказной работы, взятой с обратным знаком.
Если функция аналитически известна, то площадь под
кривой ƒ(t) до какого-то фиксированного значения t численно
равна Q(t), а от t до ∞ – Р(t).
Рис. 4.12. Графическое определение P(t) и Q(t)
Вероятность отказа можно получить интегрированием
уравнения (4.55) в пределах от 0 до t. Тогда после интегрирования находим
() ()
=
t
∫
0
. (4.56)
dttftQ
Вероятность безотказной работы будет равна
tt
() () () () ()
1
000
∞∞
=−=−=
∫∫∫∫
t
. (4.57)
dttfdttfdttfdttftP
68
4.7.2. Интенсивность отказов
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Вероятностное описание интенсивности отказов выполним в той же последовательности. По статистическим данным
интенсивность отказов определяется формулой
tn
()
t∆⋅=λ
()
Если предположить, что функция λ(t) непрерывна и
устремить ∆t→ 0, то
. (4.58)
ttN
tdn
()
t⋅=λ
()
но
, (4.59)
dttN
No = No – NoQ(t) = N
Подставив значение выражения (4.60) в формулу (4.59), получим
[1 - Q(t)] = N
o
P(t) . (4.60)
o
tdn
()
t⋅=λ
()
В выражении
0
. (4.61)
dttPN
tdn
()
tf
=
dtN
Oкончательно
0
tf
()
t =λ
Из формулы (4.63) следует, что λ(t)=ƒ(t) только при
или
()
tP
. (4.62)
tf
()
tPλ=
. (4.63)
()
t
условии, что к рассматриваемому моменту времени все элементы работали исправно, т.е. t = 0, P(t)=1, также видно, что
ƒ(t) ≤ λ(t), так как P(t) ≤ 1.
Формула (4.63) указывает, что интенсивность отказов λ(t)
является функцией времени работы электрооборудования. С
точки зрения теории вероятностей интенсивность отказов есть
падение надежности с определенной скоростью.
69
4.7.3. Наработка на отказ
Наработка на отказ Т0 определяется как математическое
ожидание случайного времени T безотказной работы
0
[]
() () ()
∞∞ t
−==⋅==
∫∫∫
000
. (4.64)
ttdPttdQdttfttMT
Если принять правило интегрирования по частям и произвести замену переменных: t = u, du = dt, dP(t) = dV, P(t) = V, то
получим
∞
0
∞
∞
−=
VdUIUVUdV
∫∫
0
0
. (4.65)
Тогда
∞
∞
() ()
=−=
0
0
∫
0
. (4.66)
dttPIttPT
Первое слагаемое в выражении (4.65) при нижнем пределе
интегрирования равно нулю, так как Р(0) = 1, а t = 0; при
верхнем пределе также равно нулю, так как Р(t→∞) быстрее
стремится к нулю, чем t → ∞.
Тогда окончательно получим
0
=
∞
∫
0
()
dttPT
. (4.67)
Вероятностное описание показывает, что наработка на отказ представляет собой площадь, ограниченную функцией Р(t)
и осями координат (рис. 4.13).
Рис. 4.13. Физическая интерпретация наработки на отказ
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]