Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
5.7.2. Выравнивание по закону нормального
σ
(
)
ϕ
2
π
(
)
ϕ
распределения (ЗНР)
Закон нормального распределения (ЗНР) характеризуется
– дифференциальной функцией. Особенность этой функции –
симметричное рассеивание частных значений показателей
надежности относительно среднего значения.
Дифференциальная функция (или плотность вероятности)
нормального распределения имеет вид
2
X
2
πσ
−
2
. (5.42)
exf
()
=
1
ЗНР относится к двухпараметрическим.
Теоретические частоты для каждого интервала можно
определять из выражения
Nh
()
m
=
T 0
i
x
ϕ⋅
, (5.43)
где
x
– центрированная и нормированная функция нор-
0
мального распределения.
Ее значение определить из выражения
2
1
−
xx
i
⋅−
2
σ
ex
. (5.44)
Значение
1
()
=ϕ
0
можно определить из таблицы 5.2, подсчи-
x
0
тав предварительно значение для каждого интервала
−=XX
. (5.45)
X
2
i
σ
121
Таблица 5.2. Дифференциальная функция ЗНР
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0 0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973
0
0,1 3970
3963
3961
3956
3931
3945
3939
3932
3925
3918
0,1 0,2 3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,2 0,3 3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
0,3 0,4 3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,4 0,3 3521
3503
3485
3487
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,5 0,6 3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,8 0,7 3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,7
0,8 2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,8 0,9 2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
0,9 1,0
0,242
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2231
2227
2203
1,0
1,1 2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965
1,1 1,2 1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,2 1,3 1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,3 1,4 1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,4 1,5 1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
1,5 1,6 1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
989
973
957
1,6 1,7 940
925
909
893
878
863
848
833
818
804
1,7
1,8 790
775
761
748
734
721
707
694
681
669
1,8 1,9 656
644
632
620
608
596
584
573
562
551
1,9 2,0
0,064
529
519
508
498
488
478
468
459
449
2,0 2,1 440
431
422
413
404
396
388
379
371
363
2,1
2,2 355
347
339
332
325
317
310
303
297
290
2,2 2,3 283
277
270
264
258
222
246
241
235
229
2,3 2,4 224
219
213
208
203
198
194
189
184
180
2,4 2,5 175
171
167
163
158
154
151
147
143
139
2,5 2,6 136
132
129
126
122
119
116
113
110
107
2,6 2,7 101
101
99 96 93 91 88 86 84 81
2,7 2,8 79 77 75 73 71 60 67 65 63 61 2,8 2,9 60 58 56 55 53 51 50 48 47 46 2,9
3,0 44 43 42 40 39 38 37 36 35 34 3,0 3,1 33 32 31 30 29 28 27 26 25 25 3,1 3,2 24 23 22 22 21 20 20 19 18 18 3,2 3,3 17 17 16 16 15 15 14 11 13 13 3,3
3,4 12 12 12 11 11 10 10 10 9 9 3,4 3,5 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 3,5 3,6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 4 3,6 3,7 4 1 4 4 4 4 3 3 3 3 5,7 3,8 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3,8 3,9 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3,9
ϕ
0
()
1
2
π
2
X
2
ex−=
122
Зная значение
N
σ
=
()(
)
, подсчитывают значения теоретических
m
T
i
вероятностей
и накопленных вероятностей
P
T
i
m
T
P
T
i
i
= (5.46)
F
:
T
i
или
h
()
P
=
T 0
i
n
=
∑
=
i
x
ϕ⋅
PF
1
, (5.47)
. (5.48)
TT
ii
При этом для первого интервала
PF
.
TT
ii
5.7.3. Проверка соответствия между выбранным
теоретическим законом распределения и эмпирическим
распределением показателей
а) По критерию согласия А. Н. Колмогорова
Критерий согласия подтверждает или опровергает стати-
стическую гипотезу о виде выбранного теоретического закона
распределения с принятым уровнем значимости α. В технических
расчетах принимают α = 0,10. Проверка соответствия теоретиче-
ского и эмпирического распределения проводится по критерию
согласия А.Н. Колмогорова, для этого определяют максимальное абсолютное значение разности D
между эмпирической и
max
теоретической функциями накопленных частот для отдельных
интервалов
max iiэ
−=
xFxFD
T
. (5.49)
max
Критерий согласия λ определяется из выражения
ND ⋅=λ
max
. (5.50)
В зависимости от величины λ находится значение Р(λ)
(таблица 5.3). Если Р(λ) больше принятого уровня значимости,
принятая гипотеза о применимости принятого теоретического
123
закона распределения к эмпирическому распределению не от-
(
)
1
−−=
knp
вергается.
Таблица 5.3. Значения Р(λ) критерия Колмогорова
λ Р(λ) λ Р(λ) λ Р(λ)
0 1 0,7 0,711 1,4 0,04
0,1 1 0,8 0,544 1,5 0,022
0,2 1 0,9 0,393 1,6 0,012
0,3 1 1 0,27 1,7 0,006
0,4 0,997 1,1 0,178 1,8 0,003
0,5 0,967 1,2 0,112 1,9 0,002
0,6 0,864 1,3 0,068 2 0,001
б) Проверка по критерию согласия «χ-квадрат» Пирсона (χ2)
Критерий χ2 определяется как сумма квадратов отклоне-
ний эмпирических и теоретических частот в каждом интервале
n
2
=
X
∑
=
i
1
−
i
m
2
mm
T
i
, (5.51)
T
i
где n – число интервалов статистического ряда;
mi – частота в i-том интервале эмпирического ряда;
– соответствующая теоретическая частота, выровненная
m
T
i
по закону распределения.
При определении критерия Пирсона следует учитывать
следующее:
1) mi ≥ 5. Если частота в интервале меньше 5, то следует
объединить частоты в соседних интервалах;
2) n ≥ 4. Число интервалов (в том числе и объединенных)
должно быть не менее четырех.
Определив значение критерия χ2, рассчитывают число
степеней свободы по формуле
, (5.52)
где n – число интервалов; k – число параметров теоретического
закона.
124
Зная величину χ2 и р, определяют вероятность согласия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
эмпирических данных теоретическим Р (χ2) (таблица 5.4).
Таблица 5.4. Значения критерия согласия χ2 в зависимости от r и p
r
0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,7 0,5 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
p
0 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83
0,02 0,01 0,103 0,211 0,446 0,713 1,386 2,41 3,22 4,6 5,99 7,82 9,21 13,82
0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,37 3,66 4,64 6,25 7,82 9,84 11,34 16,27
0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,2 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,46
0,554 0,752 1,145 1,61 2,34 3,0 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,5
0,872 1,134 1,635 2,2 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,5
1,269 1,564 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,8 12,02 14,07 16,62 18,42 24,3
1,646 2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,1 26,1
2,09 2,53 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,7 27,9
2,56 3,06 3,94 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,2 23,2 29,6
3,05 3,61 4,58 5,58 6,99 8,15 10,34 12,9 14,63 17,28 19,68 22,6 24,7 31,3
3,57 4,18 5,23 6,3 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,0 24,1 26,2 32,9
4,11 4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,4 25,5 27,7 34,6
4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,1 23,7 26,9 29,1 36,1
5,23 5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,3 25,0 28,3 30,6 37,7
5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,5 23,5 26,3 29,6 32,0 39,3
6,41 7,26 8,67 10,08 12,0 13,5 16,34 19,51 21,6 24,8 27,6 31,0 33,4 40,8
7,02 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,6 22,8 26,0 28,9 32,3 34,8 42,3
7,63 8,57 10,11 11,65 13,72 15,35 18,34 21,7 23,9 27,2 30,1 33,7 36,2 43,8
8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,8 25,0 28,4 31,4 35,0 37,6 45,3
8,9 9,92 11,59 13,24 15,44 178,2 20,3 23,9 26,2 29,6 32,7 36,3 38,9 46,8
9,54 10,6 12,34 14,04 16,31 18,1 21,3 24,9 27,3 30,8 33,9 37,7 40,3 48,3
10,2 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,3 26,0 28,4 32,0 35,2 39,0 41,6 49,7
10,86 11,9 13,85 15,66 18,06 19,94 23,3 27,1 29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 51,2
11,52 12,7 14,61 16,47 18,94 20,9 24,3 28,2 30,7 34,4 37,7 41,7 44,3 52,6
12,2 13,41 15,38 17,29 19,82 21,8 25,3 29,2 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54,1
12,88 14,12 16,15 18,11 20,7 22,7 26,3 30,3 32,9 36,7 40,1 44,1 47,0 55,5
13,56 14,85 16,93 18,94 21,6 23,6 27,3 31,4 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 56,9
14,26 15,57 17,71 19,77 22,5 24,6 28,3 32,5 35,1 39,1 42,6 46,7 49,6 58,3
14,95 16,31 18,49 20,6 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8 48,0 50,9 59,7
В случае, если значение χ2 для данного уровня значимости
r не превышает табличное, то гипотеза о соответствии принятого теоретического закона не отрицается. Следует иметь в виду,
что одни и те же выборочные данные могут быть аппроксимированы разными законами распределения; критерии согласия (в
том числе и χ2) не дают однозначного ответа о пригодности
теоретического закона, они только показывают, что принятый
теоретический закон не противоречит выборочным данным.
125
5.7.4. Пример статистической обработки опытных данных
13640231,lg,
=+=
n
6
−
0…120
2
0,050
0,050
60
120…240
3
0,075
0,125
180
240…360
13
0,325
0,450
300
360…480
17
0,425
0,875
420
480…600
3
0,075
0,950
540
600…720
2
0,050
1,000
660
Имеются следующие данные испытаний по наработке
ламп накаливания до первого отказа, часов: 30, 93, 148, 164,
195, 241, 254, 258, 292, 304, 310, 327, 330, 335, 339, 350, 358,
365, 371, 372, 394, 398, 408, 422, 431, 435, 436, 442, 445, 447,
450, 463, 468, 505, 539, 580, 622, 715, 720.
В нашем случае N = 40.
1. Определим количество интервалов (согласно формуле
5.32)
.
Принимаем 6 интервалов.
2. Определяем ширину интервалов (согласно формуле
5.33)
30720
чh 17115
=
,=
.
Округлим ширину интервалов до 120 ч. Началом первого
интервала считаем 0. Определяем частоту интервала mi, опытную
вероятность Pi (согласно формуле 5.34) и начальную вероятность
Fi (согласно формуле 5.35). Данные сводим в таблицу 5.5
Таблица 5.5. Интервальный ряд эмпирического распределения
величин
Интервал mi Pi Fi Xi
Строим гистограмму и полигон эмпирического распределения величин наработки ламп накаливания до первого отказа
(см. рис. 5.10).
Для вычисления числовых значений статистических характеристик распределения случайной величины наработки используем формулы 5.35-5.40.
Предварительно составим таблицу 5.6.
126
Таблица 5.6. Числовые значения характеристик
⋅
0…120
- 3 - 6 18
120…240
- 2 - 6 12
240…360
- 1 - 13 13
360…480
0 0 0
480…600
1 3 3
600…720
2 4 8
()()(
)
40
+++−+−+
−
40
+++++
366
2
⋅
=
1401
Интервал Z
i
mZ
ii
В данном случае А = 420 ч. Тогда
4301366
=Z
чX 366420120450 =+⋅−= ,
.,
S
2
=
z
830131218
( )
2
2
mZ ⋅
ii
450
,−=
,
1481450
,, =−−
,
.,
ч5461281481120 ,, ==σ
546128,,
350
V
x
==
.
Для выравнивания распределения опытной информации
используем закон нормального распределения. По формулам
5.42-5.47 определим для первого интервала
2
36660
1
−
546128
,
02350
,
=⋅
,
( )
10
−
1
=ϕ
2
eX
π
=
12040
876002350
,,,
546128
,
F .
T
02201,
Pm ,
TT
11
8760
,
40
0220
,
===⋅
Аналогично определяем для остальных интервалов
1
−
2
eX
( )
20
1
=ϕ
2
π
2
366180
−
546128
,
0
,
=⋅
127
12040
⋅
=+=
⋅
=+=
341
⋅
=+=
2
π
⋅
=+=
2
π
⋅
=+=
228514010
=
546128
,
F
T
2
1
( )
=ϕ
30
2
eX
π
,,,
1
−
2
Pm
TT
22
153013100220
,,,
2
366300
−
546128
,
=⋅
2285
,
1310
,
===⋅
40
34970
,
12040
0571334970
=
546128
,
F
T
3
1
( )
=ϕ
40
2
π
,,,
1
−
2
eX
Pm
TT
33
479032601530
,,,
2
366420
−
546128
,
=⋅
05713
,
3260
,
===⋅
40
36530
,
12040
6391336530
=
546128
,
F
T
4
1
( )
=ϕ
50
eX
,,,
Pm
TT
44
82,0341,0479,0
2
1
2
366540
−
⋅−
546128
,
=⋅
63913
,
0
,
===⋅
40
15960
,
12040
96515960
=
546128
,
F
T
5
1
( )
=ϕ
60
eX
,,,
1
⋅−
2
Pm
TT
55
96901490820
,,,
2
366660
−
546128
,
=⋅
12040
09102920
=
546128
,
F .
T
6
,,,
Pm
TT
66
996002709690
,,,
965
,
1490
,
===⋅
40
02920
,
091
,
0270
,
===⋅
40
Полученные результаты сводим в таблицу 5.7.
128
Таблица 5.7. Интервальный ряд теоретического закона
ϕ
0(Хi
=−==−
=
=−==−
=
=−==−
=
нормального распределения величин
Интервал
)
mTi PTi FTi
0…120 0,0235 0,876 0,022 0,022
120…240 0,1401 5,228 0,131 0,153
240…360 0,3497 13,057 0,326 0,479
360…480 0,3653 13,639 0,341 0,82
480…600 0,1596 5,96 0,149 0,969
600…720 0,0292 1,09 0,027 0,996
Проверяем соответствие между выбранным теоретическим законом и эмпирическим распределением показателей по
критерию А.Н. Колмогорова.
Определим максимальное абсолютное значение разности
между эмпирической и теоретической функциями накопленных
частот для отдельных интервалов по формуле 18.
DD
21
DD
43
;,,,;,,, 028015301250028002200500
;,,,;,,, 055082008750029047904500
;,,,;,,,
DD
65
0040996001019096909500
max
DD
4
.,
550
==
Критерий согласия λ определяем по формуле 5.50
3480400550 ,, ==λ .
По таблице 5.3 находим Р(λ) = 0,998 > 0,1.
Таким образом, проверка по критерию А.Н. Колмогорова
показывает, что гипотеза о применимости закона нормального
распределения не отвергается.
Проведем проверку соответствия принятого теоретического закона нормального распределения экспериментальным данным по критерию Пирсона. В первом, втором, пятом и шестом интервалах в нашем случае mi < 5. Поэтому объединяем
первый интервал со вторым и пятый с шестым. Тогда общее
число объединенных интервалов n = 4, т.е. условие выдержано.
Число степеней свободы определяем по формуле 5.52
Р = 4 – 2 – 1 = 1.
129
()()()(
)
m
Для объединенных интервалов:
= 2 + 3 = 5;
1-2
m = 0,876 + 5,228 = 6,104; m
T
21−
= 13;
3
m
=
T
3
13,057; m4 = 17;
m = 13,639; m
T
4
= 3 + 2 = 5;
5-6
= 5,96 + 1,09
m
T
65−
= 7,05.
По формуле 5.50 определяем расчетное значение критерия
Пирсона (
2
)
χ
,
10465
2
−
=X
,
1046
+
−
,
0571313
+
,
05713
−
,
6391317
+
,
63913
−
,
0575
,
057
=
6241
2222
По таблице приложения для данного уровня значимости
(r = 0,1) и числа степеней свободы (Р = 1) определяем таблич-
ное значение критерия Пирсона
X > χ2 = 1,624.
табл
7122,=
Таким образом, проверка по критерию Пирсона показала,
что гипотеза о соответствии принятого теоретического закона
нормального распределения эмпирическим данным не отверга-
.,
ется.
Рис. 5.10. Гистограмма, полигон и теоретическая кривая:
1 – гистограмма; 2 – эмпирическая кривая (полигон) распределения; 3 – теоретическая кривая закона нормального распределения (дифференциальная функция)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]