Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
РАЗДЕЛ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗЕРВНОГО ФОНДА
α
ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
2.1. Использование теории массового обслуживания
для решения эксплуатационных задач
Решение ряда задач эксплуатационного характера по оперативному обслуживанию электрооборудования, снабжению
ЭТС запасными частями, работе участков по ремонту электрооборудования и в других случаях удобно выполнять с использованием теории массового обслуживания. Под системой мас-
сового обслуживания (СМО) будем понимать любую систему,
предназначенную для обслуживания потока требований. Ограничимся рассмотрением пуассоновских СМО с простейшим
потоком требований.
Работа СМО определяется следующими параметрами:
- числом каналов n;
- плотностью потока заявок λ;
- плотностью потока обслуживания одного канала µ;
- числом состояний системы k.
При этом
µ = 1/Т
, (2.1)
о
где То – среднее время обслуживания одной заявки.
Системы массового обслуживания делятся на системы с отказами и системы с ожиданием. В системах с отказами заявка, поступающая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем обслуживании не участвует. В системе с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в
очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал.
СМО с отказами.
Вероятность состояния СМО с отказами определяется по
формуле Эрланга
P
=
k
n
∑
k
=00
α
k
k
!
( )
,
k
k
!
nk
≤≤
, (2.2)
21
где
λ
α
α
α
(
)
++++−
=
α
=α – приведенная плотность потока заявок.
µ
T⋅λ=
o
Вероятность отказа (вероятность того, что поступившая
заявка найдет все каналы занятыми)
P
=
отк
n
∑
k
=00
α
n
n
!
( )
,
k
k
!
nk
≤≤
. (2.3)
Для одноканальной системы
=
P
отк
( )
1
.
α+
(2.4)
СМО с ожиданием.
В практике работы эксплуатационных служб такие системы встречаются наиболее часто. Для СМО с ожиданием обычно определяют вероятности состояний, среднюю длину очереди, среднее время пребывания в очереди.
Вероятности состояний СМО с ожиданием при установившемся режиме работы рассчитывают по формуле
P
=
n
k
∑
k
=
k
α
0
+
α
k
k
n
+
1
!
( )
!!
nnk
α−
( )
0
,
nk
≤≤
. (2.5)
Вероятность наличия очереди
PPPPR
1
...
2100
. (2.6)
n
Средняя длина очереди
=
m
0
k
n
α
∑
=
k
0
+
n
1
( )
1
α−⋅
!
α
+
( )
nnk
!!
2
nnn
. (2.7)
+
n
1
α−
Среднее время пребывания в очереди
t0 = m0/λ . (2.8)
22
2.2. Аналитический метод расчета резервного фонда
(
)
k
!
⋅λ=
λ
электрооборудования
В практике решения задач о количестве запасных элементов для технических систем широкое распространение получил
упрощенный аналитический метод.
При экспоненциальном законе распределения длительности безотказной работы и простейшем потоке отказов вероятность того, что имеющихся в хозяйстве запасных элементов
хватит для обеспечения надежной работы системы в течение
времени t, определяется по формуле
m
=
t
etP
∑
0
()
mk
≤
λ
t
k
t
λ−λ−
e
⋅
, (2.9)
а вероятность того, что число отказов за время t будет
больше числа резервных элементов – по формуле
Р
(t) = 1 - Р
k>m
Значение функции распределения Пуассона Р
(t) . (2.10)
k<m
(t) для
k>m
различных значений λ, t и m приведены в табл. 3 приложения.
Поскольку процесс отказов электрооборудования носит случайный характер, достаточность имеющегося резервного фонда
для обеспечения надежной работы электроприемников задается
с определенной вероятностью. Обычно достаточность резервного фонда Рд находится в диапазоне 0,9...0,99. Расчет необходимого запаса резервных элементов для неремонтируемого и
ремонтируемого электрооборудования выполняется в следующей последовательности.
Неремонтируемое электрооборудование.
1. Принимаются следующие исходные условия: поток от-
казов оборудования простейший, отказавшие элементы заменяются, интенсивность отказов i-го изделия λi, число изделий i-
го типа ni, достаточность резервного фонда Рд.
2. Определяется суммарная интенсивность отказов i-го из-
делия
n
. (2.11)
Σ
iii
3. Исхода из заданного времени работы системы, рассчи-
тывается параметр распределения Пуассона
23
ta
⋅λ=
α
(2.12)
i
Σ
4. По табл. 3 приложения для заданного значения а опреде-
ляется такое число резервных элементов, чтобы 1 - Р
(t) > Рд.
k>m
Ремонтируемое электрооборудование.
Процесс использования и пополнения запаса для такого
оборудования отличается тем, что вышедшие из строя изделия
подвергаются ремонту в течение времени Тр и поступают снова
в резервный фонд. Вычисление объема запасных частей в этом
случае ведется следующим образом.
1. По заданной интенсивности отказов элементов и их ко-
личеству определяется суммарная интенсивность отказов.
2. С учетом времени ремонта Тр и суммарной интенсивно-
сти отказов устанавливается параметр распределения Пуассона
а = λΣ·Тр.
3. Используя таблицу приложения, выбирается число ре-
зервных элементов m с таким расчетом, чтобы Р
(t) > Рд.
k<m
2.3. Решение типовых примеров
Пример 1. Система диспетчерской связи энергосистемы
имеет 5 каналов. В систему поступает простейший поток заявок
с плотностью λ = 4 вызова в минуту. Средняя продолжитель-
ность разговора 3 минуты. Определить вероятность застать систему диспетчерской связи занятой.
Решение. 1. Определяем приведенную плотность потока заявок
α = λ/µ = λ⋅То = 4 × 3 = 12.
2. По формуле
n
n
!
=
определяем Р
P
отк
=12!/[5!(1+12/1+122/2!+123/3!+124/4!+125/5!)]= 0,63
отк.
n
∑
=
k
α
0
k
k
!
Пример 2. Заданы параметры микропроцессорной системы:
число каналов – 3, интенсивность потока обслуживания µ = 20 с-1,
суммарный входящий поток заявок λ = 40 с-1. Определить вероят-
24
ность предельного состояния и среднее время ожидания заявки в
{
}
0
k
α
очереди. Принять СМО с неограниченной очередью.
Решение. По условию примера определяем α = λ/µ = 40/20
= 2, т.к. α < n, то режим системы установившийся.
Рассчитываем Рk для k = n = 3.
k
!
α
P
=
k
k
n
k
!
∑
=
α
+
k
1
+
n
α
( )
!
−
nn
α
4323
( )
.
148,023!42!32!22121!32
=−⋅++++=
Для оценки среднего времени нахождения в очереди вна-
чале определим среднюю длину очереди
+
n
1
α
2
nnn
+
nk
1
α−
nnk
m
( )
α−⋅
=
0
n
∑
=
k
0
1!!!
α
+
[ ]
m0 = 24/{3⋅3!(1-2/3)2[1+2/1+22/2+23/3!+24/4!(3-2)]} = 0,9.
Определяем среднее время ожидания заявки в очереди
t0 = m0/λ = 0,022 с.
Пример 3. В свинарнике-откормочнике на 3750 мест для
обеспечения микроклимата используется комплект оборудования
“Климат” с 20 электродвигателями серии 4А мощностью 1,1 кВт и
частотой вращения 1500 мин-1. Интенсивность отказов электро-
двигателей λ = 10 -5 ч-1, среднее время капитального ремонта отказавшего электродвигателя 30 суток. Определить резервный запас
электродвигателей для свинарника, исключающий аварийный
простой технологического процесса поддержания микроклимата
сверх допустимой нормы tд = 3 ч. Принять kи = 0,6.
Решение.
1. Для заданного среднего времени ремонта электродвига-
теля Тр = 30 суток определяем
25
µ = 1/Тр = 1/(30⋅24) = 1,38 ⋅ 10-3 ч-1, тогда
α = λ/µ = 10-5/ 1,38 ⋅ 10-3 = 0,72 ⋅ 10-2.
2. Из выражения tп = nпk
/λ(n - n
и
) c учетом того, что nп<<n
п
определяем
nп ≈ tпλn/kи = 3 ⋅ 10-5 ⋅20/0,6 =1,0 10-3.
3. По табл. 5 приложения для n = 20, α = 0,72⋅10-2, nп = 10-3
устанавливаем, что в резерве необходимо иметь 4 электродвигателя. Для 4 электродвигателей среднее число простаивающих
технологических процессов nп ≈ tпλn / kи = 0,0004.
4. Проверяем соответствие tд взятому приближенно tп
tп = nпk
/λ(n - n
и
) = 0,0004⋅ 0,6 / 10
п
-5
(20 - 0,0004) = 1,2 ч < t
.
д
Если взять 3 резервных электродвигателя, то nп= 0,0019 и
tп=nпk
/λ(n - n
и
)= 0,0019 ⋅ 0,6/10
п
-5
(20 - 0,0019) = 5,7 ч > t
.
д
Таким образом, для выполнения заданных ограничений по
продолжительности перерывов в работе системы микроклимата
свинарника необходимо иметь 4 резервных электродвигателя.
Пример 4. На вычислительной станции сельскохозяй-
ственного предприятия установлено 4 ЭВМ. Средняя ин-
тенсивность на выполнение расчетов – 4 заявки в час
(λ = 4). Среднее время решения одной задачи То = 0,5 ч.
Станция принимает и ставит в очередь на решение не более
4 заявок. Заявки, поступившие на станцию, когда в очереди
находится более 4 задач, получают отказ. Определить вероятность отказа и вероятность того, что все ЭВМ свободны.
Решение 1. Имеем многоканальную СМО с ожиданием при
ограниченном числе мест в очереди.
2. Предварительно вычисляем
µ = 1/То = 1/0,5 = 2 ч-1, α = λ/µ = 2.
3. По формуле (3.3) определяем вероятность того, что все
4 ЭВМ заняты и 4 заявки стоят в очереди, тогда n = 8.
26
Р
= 28/[8!(1+2/1+22/2!+23/3!+24/4!+25/5!+26/6!+27/7!+28/8!)] =
отк
0,00086.
4. По формуле (3.5) находим вероятность, что все
ЭВМ свободны, k = n = 4
4
P
отк
=
1
4
∑
k
0
=k
2
5
k
( )
=
!4
24!42!
−+
2
2
!1
!0
2
2
!3
!2
++++
+
!4
2
2
543210
2
( )
24!4
−
09,0
=
.
Пример 5. Требуется определить вероятность того, что
отказы в системе электроснабжения появятся менее 3 раз, если
параметр распределения Пуассона а = λt = 3,9.
Решение. По табл. 6 приложения определяем Р
(t)= 0,7469,
k>3
тогда
Р
(t) = 1 - 0,7469 = 0,253.
k< 3
Пример 6. Требуется определить число резервных элек-
тронагревательных элементов, имеющих интенсивность отказов λ = 4⋅10-6 ч-1. Общее число электронагревательных элемен-
тов в хозяйстве 80, период пополнения резервного фонда
7000 ч. Принять достаточность резервного запаса Рд = 0,98.
Решение. 1. Определяем суммарную интенсивность отказов
электронагревательных элементов λΣ = 4⋅10-6 ⋅ 80 = 3,2 ⋅ 10
-4 ч-1
.
2. Определяем значение параметра а
а = λΣ⋅t = 3,2 ⋅ 10-4⋅ 7000 = 2,24.
3. Для заданного значения а = 2,24 по табл. 6 приложения
определяем Р
Р
(t), равное 0,0025. Учитывая, что
k>m
Р
(t) = 1 - Р
k<m
(t) = 0,9925 при m = 7.
k< m
(t) > Pд = 0,98, получим
k> m
4. Поскольку Р
(t) = 0,9925 > Рд = 0,98, в резервном фон-
k<7
де целесообразно иметь 7 электронагревательных элементов.
27
Пример 7. В телятнике на 600 голов эксплуатируется 9 элек-
тродвигателей серии 4А, имеющих интенсивность отказов λ1 =
0,1⋅10-4 ч-1, и 11 электродвигателей серии АО2сх с интенсивностью отказов λ2 = 0,5⋅10-4 ч-1. Достаточность резервного фонда
0,95. Рассчитать число запасных электродвигателей при пополнении резервного фонда 1 раз в течение года (в году 8760 часов).
Решение. 1. Определяем суммарную интенсивность отказов
электродвигателей по группам:
λ1Σ= λ1n1= 9 ⋅ 0,1⋅10-4 = 0,9⋅10-4 ч-1.
λ2Σ= λ2n2 = 11 ⋅ 0,5⋅10-4 = 5,5 ⋅10-4 ч-1.
2. Определяем параметры распределения Пуассона а1 и а2
а1 = λ1Σt = 0,9⋅10-4⋅8760 = 0,788, а2 = λ2Σt = 5,5 ⋅10-4⋅8760 = 4,82.
3. По табл. 3 приложения по а1 и а2 находим значение
функции Р
(t) такое, чтобы Р
k>m
(t) было больше, чем Рд.
k<m
Определяем число резервных элементов: для электродвигателей серии 4А – т.к. Р
для электродвигателей серии АО2сх – т.к. Р
(t) = 1 - 0,0474 = 0,9526 > 0,95, то m
k<m
(t) = 1 - 0,025 =
k<m
= 3;
1
0,975 > 0,95, m2 = 10.
Пример 8. 100 комплектов однотипной аппаратуры предполагается эксплуатировать в течение 500 ч. Каждый комплект
аппаратуры содержит неремонтируемых элементов:
типа А n1= 5 шт. c λ1 = 2 ⋅10
типа Б n2= 10 шт. c λ2 = 4 ⋅10
типа С n3= 8 шт. c λ3 = 0,6 ⋅10
-6 ч.-1
-6 ч.-1
-5 ч.-1.
;
;
Кроме этого имеется 3 типа ремонтируемых элементов:
типа Г n4= 2 шт. c λ4 = 1,9 ⋅10
типа Д n5= 10 шт. c λ5 = 8 ⋅10
типа Е n6= 3 шт. c λ6 = 0,4 ⋅10
-5 ч-1
, Тв4 = 60 ч.;
-6 ч-1
, Тв5 = 90 ч.;
-4 ч-1
, Тв6 = 42 ч.
Определить число запасных элементов по всем группам,
если требуется гарантированная вероятность работы аппаратуры за счет неремонтируемых элементов каждого типа Р1(t) =
0,99, а за счет ремонтируемых элементов каждого типа Р2(t) =
0,96. Рассчитать также вероятность выполнения аппаратурой в
целом своих функций при наличии запасных элементов.
28
Решение. 1. Определяем параметр а для неремонтируемых элементов (N = 100).
а1 = λ1Nn1t = 2 ⋅10-6 ⋅ 100 ⋅ 5 ⋅500 = 0,5;
а2 = λ2Nn2t = 4 ⋅10-6 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅500 = 2;
а3 = λ3Nn3t = 0,6 ⋅10-5 ⋅ 100 ⋅ 8 ⋅500 = 2,4.
2. По табл. 3 приложения для полученных значений а с
учетом того, что 1 - Р
(t) = 0,01, находим m1 = 4, m2 = 7, m3 = 8.
1
3. Определяем параметр распределения Пуассона для ре-
монтируемых элементов:
а4 = λ4Nn4Тв4 = 1,9 ⋅10-5 ⋅ 100 ⋅ 2 ⋅ 60 = 0,228;
а5 = λ5Nn5Тв5 = 8 ⋅10-6 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 90 = 0,72;
а6 = λ6Nn6Тв6 = 0,4 ⋅10-4 ⋅ 100 ⋅ 3 ⋅ 42 = 0,5.
4. По табл. 3 приложения для Р2(t) = 0,96 находим m4 = 2,
m5 = 3, m6 = 3.
5. Определяем вероятность выполнения аппаратурой сво-
их функций
() () ()
3
3
∏ ∏
= =
1
i i
1
tPtPtP ,,,
21
33
=⋅==
8580960990
.
Пример 9. Решить пример 8 при условии проведения капитального ремонта вышедших из строя электродвигателей в
течение 720 ч. и пополнения ими резервного запаса.
Решение. 1. Определяем суммарную интенсивность отказов электродвигателей
λ1∑=λ1⋅n1= 9 ⋅ 0,1 ⋅ 10-4 = 0,9 ⋅ 10
λ2∑=λ2⋅n2= 11 ⋅ 0,5 ⋅ 10-4 = 5,5 ⋅ 10
-4 ч-1
-4 ч-1
;
.
2. Определяем параметр а
а1= λ1∑ ⋅ Тр= 0,9 ⋅ 10-4 ⋅ 720 = 6,48 ⋅ 10-2;
а2= λ2∑ ⋅ Тр= 5,5 ⋅ 10-4 ⋅ 720 = 0,396 ⋅ 10-2.
Р
P
(t) = 1 - 0,0047 = 0,9953 > 0,95 (m = 2);
1 k<m
(t) = 1 - 0,0079 = 0,9926 > 0,95 (m = 3).
2 k<m
3. По табл. 3 приложения определяем число резервных
элементов: для двигателей серии 4А m1 = 2, для двигателей
АО2сх m2 = 3.
29
РАЗДЕЛ 3. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
3.1. Метод последовательных поэлементных проверок
При использовании этого метода система рассматривается
в виде последовательной цепочки элементов, выход каждого из
которых приводит к отказу изделия. Для каждого элемента
должны быть известны данные о надежности и времени проведения проверок.
Идея метода поэлементных проверок состоит том, что поиск отказавшего узла ведется путем диагностики каждого из
элементов в определенной, заранее установленной последовательности. При обнаружении отказавшего элемента поиск прекращается, и производится замена отказавшегося элемента, а
затем проверка работоспособности объекта. Если проверка показывает, что объект имеет еще один отказ, то поиск продолжается с той позиции, на которой был обнаружен отказывающий
элемент. Операция продолжается, пока не будет обнаружен последний неисправный элемент.
Основная задача, решаемая при использовании метода последовательных поэлементных проверок, заключается в определении последовательности проверок. При этом в общем виде
рассматривается объект, состоящий из N элементов, произвольным образом соединенных между собой, с известными интенсивностями отказов λi, i = 1,2,…N. Обычно предполагается, что
неработоспособным может быть только один элемент. Известны
также продолжительности проверок каждого элемента ti. Необходимо найти такую последовательность проверок, при которой
среднее время поиска неисправности будет минимальным.
Имеющиеся в технической литературе рекомендации по
использованию метода предусматривают применение в качестве критерия оптимальности минимума отношения αi/t
N
где
=
λλα
– коэффициент отказа i-го элемента или
∑
iii
=
i
1
i ,
λi/λΣ .
Для обеспечения минимального среднего времени поиска
отказавшего элемента проверки следует осуществлять в соот-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]