Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
()(
)
(
)
[
]
()()(
)
∆λ+−−
=
()()()()(
)
[
]
(
)
+∆µ+∆λ−−=−∆
+
(
)
dt
dt
Рис. 4.25. Схема состояния систем для события С
Вероятность систем для события С
λ+−∆−
1
−=
1
−
1
k
etPCP . (4.93)
knt
По аналогии имеем
ttPknCP
k 11−
. (4.94)
Подставляя выражение (4.88) в уравнение (4.87) и вычитая
из левой и правой его части вероятность Pk (t), получим
BPtktkntPCPtPttP
kkk
. (4.95)
Подставим значения Р(С) и Р(В) в уравнение, разделим
левую и правую части уравнения (4.95) на ∆t . Если ∆t→0, то по-
лучим
tdP
k
( ) () ( )
[ ]
() ( ) ()
11
µ+++µ+λ−−=λ+−=
kkk
11
+−
tPktPkkntPkn
. (4. 9 6)
Теперь приведем инженерное правило составления дифференциальных уравнений по виду графа состояний: производная от вероятности перехода систем в любой момент времени
в состояние k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k-е состояние (или из k-го состояния) на
вероятность того состояния, откуда совершается переход в k-е состояние. Причем тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки (см. рис. 4.25) из k-го состояния, приписывается
знак «минус», а входящим – знак «плюс».
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Число отказов элементов системы k = 0. Используя ин-
tdP )(
женерное правило, найдем
0
для события Sk = S0, связан-
91
ного с событием S
(
)
dt
dt
(
)
dt
=
(
)
dr
= S1 (событие S
k+1
исключается как не
k-1
имеющее физического смысла (см. рис. 4.23, 4.24). Тогда
tdP
0
() ()
tPtPn
µ+λ−=
. (4.97)
10
2. Число отказов меньше или равно числу каналов обслу-
живания, но меньше числа работающих элементов системы,
r < k < п. В этом случае дифференциальное уравнение получается из (4.96) путем замены множителей µ, определяющих вос-
становление элементов системы, максимальным числом каналов обслуживания, равным r (значит, остальные k-r заявок
находятся в очереди)
)(
tdP
k
1
[ ]
)()()()()(
µ+µ+λ−−=λ+−=
tPrtPrkntPkn
11
. (4.98)
kkk
+−
Число отказов равно числу элементов системы k=п. В этом
случае все п элементов системы отказали. Согласно уравнению
(4.98), k = п, получим:
tdP
n
где третий член с составляющей Р
() ()
−1
µ−λ=
nn
(t) не имеет смысла, так как
п+1
tPrtP
, (4.99)
всего п элементов.
Таким образом, уравнения (4.98) и (4.99) описывают ситуацию, когда в системе образуется очередь из-за отсутствия свободных членов каналов обслуживания.
Полученное выражение (4.96) и его разновидности (4.97),
(4.98) и (4.99) представляют собой систему уравнений, решение
которых позволит определить вероятности различных состояний СМО в функции времени. Однако их применение на практике затруднительно. Для установившегося режима обслуживания их можно упростить, если
PtP
)(lim ,
t
то
∞→
lim
t
k
∞→
kk
tdP
0=
. (4.100)
92
Учитывая условие (4.100), дифференциальное уравнение
µ=λ
(
)
[
]
(
)
µ+λ+−=µ+λ
−
λ=µ
(4.97) запишем в линейной форме
При k=0:
PPn
.
10
1
PrPknPrkn .
11
+−
kkk
При r≤ k <n
PPr .
1−
nn
При k=п решение уравнения (4.97) дает результат
P
k
n
=
k
rk
−
!
( )
knrr
−
!!
µλ
;
P
0
P
k
n
!
( )
kn
−=!
µλ
k
.
P
0
4.10.2 Статистические характеристики систем массового
обслуживания
Полученное выражение для определения вероятности различных состояний системы позволяет рассчитывать количественные критерии, характеризующие степень удовлетворения
потока заявок и степень использования каналов обслуживания.
Рис. 4.26. Схема к определению статистических
характеристик системы
1. Пропускная способность M
Z
M
T
b
µ== Z
, (4.101)
93
1
−
(
)
λ
где
=µ
; Z – среднее количество заявок в каналах обслужи-
T
в
вания, т.е. занятых каналов в ремонте. Оно определяется как
математическое ожидание дискретной случайной величины.
Величина Z определяется по следующей формуле:
r
k
k
n
+=
rPkPZ
∑∑
rk
. (4.102)
k
+==
10
2. Среднее число заявок, находящихся в системе обслужи-
вания (как в каналах обслуживания, так и в очереди на обслуживание), рассчитывают также по формуле математического
ожидания дискретной случайной величины
n
=
kPK
∑
=
k
. (4.103)
k
0
Найдем связь между К и М. Количество исправно работа-
ющих элементов систем п - k = Т0 ·М, откуда
kn
( )
kn
. (4.104)
M −λ=
=
T
0
Сравнивая выражения (4.101) и (4.102), получим
откуда
или
−=ZnK , где
ρ
3. Среднее число заявок, находящихся в очереди на об-
служивание
при r≤ k< n.
Для расчета Nож можно применять другую формулу
(см. рис. 4.26)
K
=
λ−λ=−λ=µ KnknZ
, (4.105)
µ−λ
Zn
n
λ
=ρ
.
Z
−=
(4.106)
µλ
µ
n
( )
−=
PrkN
∑
+=
uk
1
. (4.107)
kож
94
Z
=⋅=
r
n
n
−=−=
ож
nZKN
ρ
1
1Z
+−
. (4.108)
ρ
4. Среднее число простаиваемых каналов обслуживания
из-за отсутствия заявок
−
10r
( )
−=
PkrR
∑
k
=
(4.109)
kпр
при 0 ≤ k< r.
Если СМО одноканальная, т.е. r = 1, то из выражения
(4.109) следует, что простой из-за отсутствия заявок будет только
при k=0. Тогда
где Р0 = P
1 PPR
пр
при (k=0) есть предельная вероятность, которая по
K
, (4.110)
00
физическому смыслу представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Значит,
Tnp= Rnp= P0 при r =1. Если r>1, то Тnp будет определяться
формулой (4.111)
R
T
пр
пр
= . (4.111)
5. Среднее относительное значение времени пребывания
каждой заявки в очереди на обслуживание
N
=
ож
. (4.112)
T
ож
6. Среднее относительное значение времени пребывания
заявки в очереди и в канале обслуживания
K
T
=
обс
Характеристики Тпр, Тож, Т
. (4.113)
– величины безмерные.
обс
95
Задания
1. Система диспетчерской связи энергосистемы имеет 5
каналов. В систему поступает простейший поток заявок с плотностью λ = 4 вызова в минуту. Средняя продолжительность
разговора 3 минуты. Определить вероятность застать систему
диспетчерской связи занятой.
2. Заданы параметры микропроцессорной системы: число
каналов n= 3, интенсивность потока обслуживания µ = 20 с
суммарный входящий поток заявок λ = 40 с
-1
. Определить ве-
- 1
роятность предельного состояния и среднее время ожидания
заявки в очереди. Принять СМО с неограниченной очередью.
3. В мастерской по ремонту электрооборудования работает 2 мастера. Интенсивность поступления аппаратуры в ремонт
3 заявки в час. Среднее время ремонта 0,5 ч. При поступлении в
ремонт оборудования, когда оба мастера заняты, аппаратура
находится в режиме ожидания. Определить вероятность нали-
,
чия очереди.
4. На вычислительной станции сельскохозяйственного
предприятия установлено 4 ЭВМ. Средняя интенсивность на
выполнение расчетов 4 заявки в час (λ = 4). Среднее время ре-
шения одной задачи Т0 = 0,5 ч. Станция принимает и ставит в
очередь на решение не более 4 заявок. Заявки, поступившие на
станцию, когда в очереди находится более 4 задач, получают
отказ. Определить вероятность отказа и вероятность того, что
все ЭВМ свободны.
5. В свинарнике на 3750 мест для обеспечения микроклимата используется комплект оборудования «Климат» с 20 электродвигателями серии 4А мощностью 1,1 кВт и частотой вращения 1500 об/мин. Интенсивность отказов электродвигателей
λ = 10
-5 ч- 1
, среднее время капитального ремонта отказавшего
электродвигателя 30 суток. Определить резервный запас электродвигателей для свинарника, исключающий аварийный простой технологического процесса поддержания микроклимата
сверх допустимой нормы tд = 3 ч. Принять kи = 0,6.
6. Требуется определить вероятность того, что отказы в
системе электроснабжения появятся менее 3 раз, если параметр
распределения Пуассона а = λt = 3,9.
96
7. Требуется определить число резервных электронагрева-
тельных элементов, имеющих интенсивность отказов λ = 4 · 10
6 ч − 1
. Общее число электронагревательных элементов в хозяй-
−
стве 80, период пополнения резервного фонда 7000 ч. Принять
достаточность резервного запаса Рд = 0,98.
8. В телятнике на 600 голов эксплуатируется 9 электро-
двигателей серии 4А, имеющих интенсивность отказов λ1 =
0,1·10-4 ч
стью отказов λ2 = 0,5·10
-1
, и 11 электродвигателей серии АО2сх с интенсивно-
-4 ч -1
. Достаточность резервного фонда
0,9. Рассчитать число запасных электродвигателей при пополнении резервного фонда 1 раз в течение года.
9. Решить пример 5 при условии проведения капитального
ремонта вышедших из строя электродвигателей в течение
720 ч. и пополнения ими резервного запаса.
10. 100 комплектов однотипной аппаратуры предполага-
ется эксплуатировать в течение 500 ч. Каждый комплект аппаратуры содержит неремонтируемых элементов:
типа А n1 = 5 шт с λ1 = 2·10
типа Б n2 = 10 шт с λ2 = 4·10
типа С n3 = 8 шт с λ3 = 0,6·10
- 6 ч -1
-6 ч -1
-5 ч -1
,
,
,
кроме этого имеется 3 типа ремонтируемых элементов
типа Г n4 = 2 шт с λ4 = 1,9·10
типа Д n5 = 10 шт с λ5 = 8·10
типа Е n6 = 3 шт с λ6 = 0,4·10
-5 ч -1
-6 ч -1
-4 ч -1
, Т
, Т
, Т
= 60 ч,
в 4
= 90 ч,
в 5
= 42 ч.
в 6
Определить число запасных элементов по всем группам,
если требуется гарантированная вероятность работы аппаратуры за счет неремонтируемых элементов каждого типа
Р1(t) = 0,99, а за счет ремонтируемых элементов каждого типа
Р2(t) = 0,96. Рассчитать также вероятность выполнения аппара-
турой в целом своих функций при наличии запасных элементов.
97
РАЗДЕЛ 5. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Лабораторная работа №1
5.1. Классификация методов расчета показателей надежности
Теория надежности определяет общие закономерности
изменения эксплуатационных свойств оборудования. Эти закономерности имеют большое значение для решения общих задач, связанных с выбором схем электроустановок, режимов их
использования, стратегии обслуживания и т.д. Для решения
инженерных задач по определению причин возникновения отказов, трудоемкости технического обслуживания и затрат на
устранения отказов, выявлению влияний условий и режимов
эксплуатации на надежность оборудования и др. необходимо
иметь численные значения показателей надежности. Основной
закон надежности устанавливает связь между тремя показателями. Если известны два из них, то третий легко определяется
из этого закона. Есть и другие способы, позволяющие определить эти показатели. Для расчета показателей надежности разработаны разнообразные методы, классификация методов еще
не сформирована. Для учебных целей предлагается следующая
классификация: 1 – экспериментальный метод расчета; 2 – простейший метод; 3 – коэффициентный метод; 4 – метод структурных схем; 5 – метод математического моделирования.
5.2. Экспериментальный метод определения показателей
надежности
Сущность экспериментального метода заключается в проведении исследовательских испытаний на надежность. В результате собирается полная информация о надежности электрооборудования в процессе эксплуатации, и на основе полученных данных определяют фактические показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности исследуемого оборудования.
Порядок проведения испытаний надежности следующий:
98
1. Определение причины возникновения отказов элек-
трооборудования.
2. Выбор показателей надежности, оценка значений ко-
торых должна считаться основной целью испытаний.
Как правило, посредством определения одного показателя
нельзя составить полное представление о надежности изделия.
Для этого требуется ряд показателей: Р(t), λ(t),Т0 и так далее.
3. Выбор внешних условий испытаний. Он должен в полной
мере учитывать те особенности, в которых впоследствии придется
работать оборудованию (температура, влажность, качество
напряжения и т.д.). Внешние условия могут оказать исключительно сильное влияние на характер показателей надежности.
4. Определение порядка (плана) проведения испытаний.
Проведение испытаний может быть организовано многими путями. В зависимости от тех правил, в соответствии с которыми
будут проводиться испытания, выбирают тот или иной план их
проведения. План испытаний должен включать в себя ряд указаний, в частности, количество электрооборудования, которое
необходимо поставить на испытание; когда производить проверку в ходе испытаний; заменить или не заменить отказавшие
изделия; когда прекращать испытания или же добавить новые
для продолжения испытаний и так далее. По этим признакам
выделим насколько планов: [NUN], [NUT], [NUr], [NRT], [NRr]
и др., где N – число изделий, поставленных на испытание; U -
планы испытаний, при которых отказавшие изделия не заме-
няются новыми; T – устанавливаемая продолжительность испытаний; r – число отказов, до возникновения которых ведутся
испытания; R – план испытаний, при которых отказавшие изде-
лия заменяются новыми или ремонтируются.
Например, план испытаний [NUN] означает, что испытаниям подлежат N объектов, отказавшие изделия в ходе испытаний не заменяются и не восстанавливаются, испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигнет N.
5. Определение объема выборки. Его осуществляют сле-
дующим образом:
- задаются допустимой относительной погрешностью экс-
перимента δ;
99
- выбирают величину доверительной вероятности β;
(
)
=
λ
(
)
λ−=
()(
)
−=λ
(
)
t
−
λ
- задаются ожидаемой величиной коэффициента вариа-
ции σ ;
- выбирают изучаемые показатели надежности;
- устанавливают закон распределения изучаемого показа-
теля;
- по вышеприведенным данным, используя специальные
таблицы, или расчетным путем определяют минимальное число
объектов наблюдений N.
6. Проведение испытаний.
7. Обработка результатов испытаний.
5.3. Простейший метод определения показателей надежности
Этот метод основывается на применении основного закона надежности, а именно используется упрощенная или линейная форма записи основного закона:
упрощенная форма:
t
λ−
; (5.1)
etP
=)(
constt
(5.2)
линейная форма:
1 . (5.3)
ttP
В выражениях (5.1), (5.3) по известным значениям интенсивности отказов λ и времени работы электрооборудования
определяют Р(t). В зависимости от условий задачи, преобразуя
вышеуказанное выражение, определяют λ или Т0 :
1 ; (5.4)
tPt
1
=λ
tP
; (5.5)
1
=
T
0
. (5.6)
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]