Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
(период нормальной эксплуатации). Для первого (период при-
работки) и третьего периодов (старение и износ) это положение
не действует.
Понятие «ординарность» означает, что за небольшой про-
межуток времени ∆t маловероятно возникновение двух или более отказов. Условие ординарности на практике обычно выполняется, поскольку взамен отказавшего узла (детали) электрооборудования устанавливается новый узел (деталь). При
этом предполагается, что вероятность его отказа при включении мала; отказ может произойти только после некоторой
наработки.
Отсутствие последствия означает, что количество отказов
после некоторого момента времени не зависит от того, сколько
их было до этого момента. Этому условию поток отказов удовлетворяет не полностью. Поэтому на практике пользуются понятием об ограниченном последствии.
При потоке отказов с ограниченным последствием случайные промежутки времени между соседними отказами взаимно независимы.
4.5.2. Параметр потока отказов
Статистически параметр потока отказов определяется как
отношение общего количества отказов к суммарной наработке
всех эксплуатируемых объектов
N
o
()
()
t
∑
=ω
i
=1
tn
i
. (4.24)
tN
∆
o
В формуле (4.24) значение ∆t должно быть довольно малым,
чтобы выполнялось условие ординарности. Если условие ординарности выполняется, то всегда справедливо и неравенство
N
o
() ()
∑
=
i
1
=
p
Ntntn
.
o
Это означает, что неравенство Р(t) < 0 не будет иметь места.
51
Определим ω(t) математически. Для этого построим гра-
()(
)
dt
t
∆
∆
фик зависимости n(t) (общее количество отказов) от времени
(рис. 4.4).
Если после некоторого времени t0 функция n(t) окажется
линейной, то параметр потока отказов ω(t) определяется по
формуле
tn
lim
t
→∆ 0
tdn
()
t
ω==
. (4.25)
Далее отметим важную теорему для практики. Параметр
потока отказов восстанавливаемых объектов равен интенсивности отказов соответствующих невосстанавливаемых объектов,
если потоки отказов в общих случаях являются простейшими,
то есть для простейшего потока отказов справедливо равен-
ство: ω(t) =λ(t).
Рис. 4.4. График к определению параметра потока отказов
Так как при простейшем потоке отказов интенсивность
отказов остается постоянной во времени (для 2-го периода экс-
плуатации), то параметр потока отказов ω(t) также неизменен
ω(t) = λ(t) = const.
Как видно из рис. 4, во 2-м периоде эксплуатации наблюдается стационарность потока отказов. Поэтому на этом этапе
52
эксплуатации имеет место простейший поток отказов. Действи-
(
)
=
тельно, каждому из равных промежутков времени ∆t будет соответствовать равное число отказов ∆n.
4.5.3. Вероятность безотказной работы
Для экспоненциального закона надежности формула для
определения вероятности безотказной работы для восстанавливаемых объектов имеет вид
t
ω−
etP
, (4.26)
где ω – параметр потока отказов восстанавливаемых объектов;
N
o
λ=ω
∑
, (4.27)
=
ii1
где N
– общее количество объектов.
o
4.5.4. Средняя наработка на отказ
Средняя наработка на отказ определяется отношением
суммарной наработки восстанавливаемых объектов к суммарному числу отказов этих объектов за каждое время их работы
T
N
o
= =
inj
1 1
N
o
= =
inj
1 1
t
ij
, (4.28)
n
ij
∑∑
=
ср
∑∑
где j – индекс номера отказа i-го объекта.
Для простейшего потока отказов ω = λ = соnst. Но для
невосстанавливаемых объектов
1
=λ
. (4.29)
T
o
Следовательно, параметр потока отказов для восстанавливаемых объектов
1
=ω . (4.30)
T
ср
53
510
20
ч
Поэтому на практике проще определить величину Тср, чем
10000,98
параметр потока отказов ω. Тогда вероятность безотказной работы для восстанавливаемых объектов можно рассчитать следующим образом:
t
T
()
ср
. (4.31)
etP =
Вероятность восстановления РВ(t), интенсивность восста-
новления ω(t) и среднее время восстановления Tв определяют
по формулам (4.12), (4.14) и (4.16).
Выполнение заданий.
Произвести приблизительную оценку вероятности безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа для
трехфазного электродвигателя серии 4А, для двух промежутков
времени его работы t=1000 ч. и 3000 ч. по средней статистической величине интенсивности отказов: λ=20·10
-6ч-1
.
Средняя наработка до первого отказа
Вероятность безотказной работы
λ = (λ1 +λ2 + λ3 + λ
Средняя наработка до первого отказа
Вероятность безотказной работы
T
110
===⋅
ср
λ
6
4
.
t
T
Peee
( )
( )
+ λ5) = (0,01+0,05+0,047+3+1) ·10
4
= ,
cp
cp
====
t
T
cp
λ
( )
101
T
464
,
t
cp
1000
510
⋅
3000
105
⋅
6
eeP
4
4
1000
,
eeeP
5
10242
⋅
0,02
−
060
,
−
====
5
10242
⋅==
99501000
,
===
;
9403000
,
;
6
-
= 4,46,10
чT
.
6 ч-1
-
.
;
54
2000
5
10242
( )
( )
,==⋅
eP
5000
5
−
10242
,
⋅
eP
==
;
98803000
,
.
97505000
,
Задания
1. Определить, какое из устройств имеет большую вероятность безотказной работы за период работы 0...100 ч., если
плотность распределения случайной величины наработки до
отказа для устройств описывается формулами: f1(t) = λ ·exp −
(λt) и f2(t) = t/r2·[exp − (t2/2r2)] при λ= 10
- 4
ч.
- 1
, r = 0,5·10
-4
ч.
2. Тиристорный преобразователь имеет параметры усе-
ченного нормального распределения mt = 1200 ч. и σt = 480 ч.
Определить значение вероятности безотказной работы и интенсивности отказов для t = 200 ч.
3. Средний выход осветительных приборов в ремонтной
мастерской за время T = 1000 ч. составил 20 шт. Какова вероятность того, что за время 100 ч. возникнет 3 отказа?
4. На испытаниях находилось N = 1000 осветительных
приборов. За время t = 3000 ч. отказало n = 200 изделий. За последующие ∆ti = 200 ч. отказало еще ∆ni = 100 изделий. Определить P* (3000), P* (3200), f* (3100), λ* (3100).
5. Проведены ускоренные испытания 500 предохранителей. Число отказов ∆ni предохранителей фиксировалось через
каждые ∆ti = 100 ч. Ниже приведены данные об отказах.
100 ÷
200 ÷
300 ÷
400 ÷
∆ti, ч 0 ÷ 100
200
300
400
500
∆ni 30 26 20 14 12
Необходимо определить P* (500), λ* (450) и T
*
.
1
55
Практическое занятие №4
4.6. Исходные положения теории вероятностей
4.6.1. Описание случайного явления, случайного события,
случайной величины
Надежность электрооборудования зависит от многочисленных объективных и субъективных факторов. К первым относятся воздействие окружающей среды, износ, старение и т.п.
Субъективные факторы – факторы, которые зависят от деятельности человека, выбора конструктивного решения при проектировании, выбора режима эксплуатации, организации технического обслуживания и ремонта электрооборудования и т.п.
Зависимость надежности от многочисленных факторов
приводит к тому, что появление отказов электрооборудования
носит случайный характер. В связи с этим для анализа и контроля надежности используется теория вероятностей и математическая статистика.
Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности
случайных явлений.
Случайное явление – такое явление, которое при неодно-
кратном повторении одного и того же опыта (испытания) в одних и тех же условиях протекает каждый раз неодинаково.
Случайное событие – это событие, которое в результате
проведенного опыта может произойти или не произойти.
Случайная величина – это такая величина, которая в результате опыта может принять одно из возможных, заранее неизвестных значений.
Очевидно, показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости – случайные величины. Так,
например, интенсивность восстановления электрооборудования
в процессе ремонта зависит от большего числа факторов: квалификации ремонтного персонала, характера отказа, наличия
запасных частей, условий ремонта, наличия технических
средств и т. д. Указанные факторы меняются от одного ремонта
к другому и, следовательно, являются случайными величинами.
Случайные величины обычно обозначаются прописными бук-
56
вами латинского алфавита Х, У, Z, а значения случайной величины записывают строчными буквами x1, x2,…xn.
Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Дискретными случайными величинами называют такие, которые в результате могут принять лишь
определенные фиксированные значения. Например, количество
электродвигателей после капитального ремонта, не отвечающих требованиям ТУ, может быть только целым положительным числом 1, 2, 3 и т.д., но не может быть, например 1,7; 2,8.
Следовательно, количество электродвигателей, не отвечающих
ТУ, есть случайная величина дискретного типа. Непрерывной
случайной величиной называется такая, которая в результате
испытаний может принять любые численные значения из непрерывного ряда в границах определенного интервала. Например, действительные размеры одинаковых деталей, обрабатываемых на токарном станке, являются случайными величинами
непрерывного типа, так как они могут принять любое численное значение в заданных границах.
4.6.2. Простейшее описание случайной величины
Часто при решении практических задач требуется полное
описание случайной величины, а для этого достаточно только
узнать некоторые числовые характеристики. В теории надежности применяются различные числовые характеристики, которые приведены ниже.
Размах R (интервал) возможных значений случайной ве-
личины определяется как разность между наибольшими и
наименьшим значениями случайной величины
R = X
max
- X
. (4.32)
min
Для случайной величины X=5 и 11 размах равен R = 11 – 5
= 6.
Размах указывает лишь на интервал возможных значений
случайной величины, поэтому не является эффективной характеристикой.
57
Математическое ожидание дискретной случайной вели-
[
]
чины – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.
Имеется дискретная случайная величина X, принимающая
значения x1, x2,…xn с вероятностями p1, p2….pn. Тогда математическое ожидание определяется так:
=
n
∑
=
i
( )
, (4.33)
xpxXM
1
iii
где М[Х] имеет ту же размерность, что и имеет сама случайная
величина. Так, если случайная величина – время безотказной
работы T, измеряемое в часах, то и величина М[Т] измеряется в
часах.
Для случайной величины М[Х] может быть получено с
помощью графика (рис. 4.5).
Рис. 4.5. График математического ожидания случайной величины
Вероятность того, что случайная величина X примет значение из одного элементарного участка (x; x+∆x), равна ƒ(x)dx.
Если в формуле (4.33) заменить отдельные значения хi непрерывно изменяющимся значением х, а вероятности рi элементом
вероятности ƒ(x)dx, yменьшая длину элементарных промежутков и перехода к пределу, то получим
[ ]
=
∞
∫
0
()
, (4.34)
dxxxfXM
где ƒ(х) – плотность распределения вероятностей случайной
величины.
Среднее арифметическое случайной величины. Для
определения среднего арифметического значения случайной ве-
58
личины X необходимо просуммировать все полученные в опытах
1
x1
X2
n
N
∗
значения и разделить на число опытов N. При этом результаты
того или иного опыта можно представить в виде табл. 2.
Таблица 4.2. Результаты проведенных опытов
Значение случайной величины x
… x
Число случаев повторения значений x1 в
опытах m1
m
m
1
2
… m
n
Сумма (m1 + m2 +...+ mn ) случаев повторения значений
случайной величины равна числу опытов N. Тогда среднее
арифметическое случайной величины X равно
n
m
n
=+++=
∑
=
i
1
i
x
i
N
. (4.35)
X
&&&
=
Величина
2211
N
+++
...
m
mxmxmx
mn
i
представляет собой статистическую ве-
m
1
x
1
N
m
2
x
2
...
N
m
x
n
N
роятность события X = xi, тогда
=
n
∑
=
i
∗
pxX
. (4.36)
ii
1
При неограниченном увеличении числа опытов (N) статистическая вероятность
будет сходиться по вероятности к со-
p
i
ответствующим вероятностям pi. При этом и среднее арифметическое случайной величины при увеличении числа опытов
будет сходиться к ее математическому ожиданию.
Таким образом, математическое ожидание представляет
собой то постоянное для данных условий число, около которого будет колебаться среднее арифметическое, полученное
опытным путем.
Дисперсия. Математическое ожидание является важной,
но часто недостаточной характеристикой. Оно определяет
среднее значение случайной величины, но не характеризует
степень разбросанности (рассеивания) возможных значений
случайной величины около среднего значения. Указанного недостатка не имеет дисперсия случайной величины.
Дисперсией дискретной случайной величины X называется сумма произведений квадратов отклонений случайной вели-
59
чины х от ее математического ожидания на соответствующие
[][
]
[][
]
вероятности
n
( )
∑
=
i
−=
1
2
pXMxXD
. (4.37)
ii
Чем больше отклонений возможных значений случайной
величины от математического ожидания (при тех же вероятностях рi), тем больше будет дисперсия случайной величины.
Значит, большие числовые значения дисперсии характеризуют больший разброс значений случайной величины около
математического ожидания.
Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется так:
+∞
[ ] []
( ) ()
−= dxxfxMxXD
∫
∞−
2
. (4.38)
Дисперсия является удобной характеристикой рассеивания, но она имеет размерность квадрата случайной величины.
Это обстоятельство лишает данную характеристику наглядности. Поэтому часто используется другая характеристика рассеивания – среднее квадратическое отклонение, которое имеет
размерность самой случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение δ[Х] случайной величины X представляет собой положительный квадратный корень
из ее дисперсии
XDX =δ . (4.39)
4.6.3. Полное описание случайной величины
При решении некоторых практических задач достаточно
упрощенного описания случайной величины. Но при решении
сложных задач требуется ее полное описание.
Полное описание случайной величины осуществляют посредством законов распределения, устанавливающих связь
между конкретными значениями случайной величины и вероятностью ее появления.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]