Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по электроснабжению «Надежность и режимы». Учебное пособие
.pdf
Способ 1: Обозначим через Рі(t) вероятность пребывания
(
)
(
)
системы в момент времени tв состоянии i, i= 0,1,2,…n. Тогда
функционирование восстанавливаемой нерезервированной системы описывается следующей системой дифференциальных
уравнений, составленной по графу состояний (рис 5.6):
0
dt
i
dt
tdp
()
tdp
() ()
0
() ()
0
n
∑
=
i
1
iii
µ+λ−=
;
tptp
iic
(5.28)
=µ−λ=
21
....,,,
nitptp
Система дифференциальных уравнений решается численными методами при следующих начальных условиях: р0(0) = 1,
p1(0) = p2(0)= =p3(0)…pn(0) = 0. Тогда функция готовности системы равна вероятности ее исправного состояния, т.е. KГ(t) =
p0(t).
Способ 2: Будем рассматривать нерезервированную систему как один элемент, имеющий интенсивность отказа λси
интенсивность восстановления μс. Тогда функционирование
системы можно описать графом, изображенным на рисунке 5.7.
Рис. 5.7. Обобщенный граф состояний системы.
Из графа следует, что система может находиться в двух
состояниях: исправном (0) и отказном (1). Тогда ее функционирование можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:
0
dt
1
dt
tdp
()
tdp
() ()
() ()
µ+λ−=
µ−λ=
cc
tptp
cc
10
.
tptp
10
;
(5.29)
111
С начальными условиями: p0(0)= 1, p1(0) = 0. Решением
Гiiii
KtrRttr
λλ
∑∑
этой системы является уравнение (5.23). Восстанавливаемые
системы – это системы многократного использования, в течение времени «жизни» они могут отказывать и ремонтироваться.
Тогда общий риск системы можно вычислить по формуле
t
() ()
∫
0
Г
n
∑
=
i
1
λττ=
rdKtR
. (5.30)
ii
Расчет функции готовности KГ(t) является сложной задачей. Поэтому целесообразно пользоваться следующими двухсторонними оценками для вычисления риска системы:
nn
()
⋅≤≤⋅
11
ii
==
()
. (5.31)
Здесь K
(t) – коэффициент готовности системы.
Г
Восстанавливаемые нерезервированные технические системы имеют следующие важные свойства:
- наработка на отказ системы не зависит от восстановле-
ния и численно равна среднему времени ее безотказной работы.
Это свойство присуще лишь таким системам, элементы которых имеют постоянные интенсивности отказов;
- функция готовности является убывающей функцией
времени, при t = 0, КГ (0) = 1 и с ростом t убывает и стремится
к постоянной величине, равной коэффициенту готовности. Это
свойство также справедливо для систем, элементы которых
имеют постоянные интенсивности отказов;
- коэффициент готовности зависит от отношений
'(
)*
i=1,2,3,…,n; чем меньше эти отношения, тем выше функция и
коэффициент готовности.
,
Риск высоконадежной системы линейно возрастает со
временем, определяется только надежностью техники и
практически не зависит от интенсивности ее восстановления.
112
5.6.3. Последовательность выполнения работы
λ
µ
r 1000
780
10000
700
900
380
1000
600
Лабораторную работу целесообразно выполнять в такой
последовательности:
1. Определить наработку на отказ системы.
2. Исследовать функцию и коэффициент готовности си-
стемы.
3. Выполнить анализ риска системы.
Отчет о лабораторной работе должен содержать следую-
щие пункты:
1. Постановка задачи.
2. Уравнения и расчеты формулы.
3. Таблицы и графики.
4. Выводы по каждому пункту и по результатам работы в
целом.
5.6.4. Пример выполнения лабораторной работы
Пусть нерезервированная система имеет следующие ис-
ходные данные:
1. Число элементов в системы n = 10.
2. Время жизни (долговечность) системы Т=1000 час.
3. Допустимый риск системы R < 2600 усл. ед.
4. Значение риска, интенсивностей отказов и восстановле-
ния элементов системы приведены в таблице
0,2 0,3 0,7 0,4 0,1 0,25 0,8 0,9
1 2,5 1,6 1,6 0,8 7 3,2 0,4
n = 8, T = 1200
1. Определение наработки на отказ системы.
В случае нерезервированной системы наработка на отказ
Т вычисляется по формуле
1
=
λ
гдеT ,
c
∑
λ=λ
.
iс
Сначала производится расчет λс, а затем высчитывается Т.
λс = 3,65 Наработка на отказ T = 0,273973.
113
2. Исследование функции готовности системы и расчет
lim,
cc
µ
λµ
iii
λ
µ
∑
Функция
коэффициента готовности системы.
Функция готовности КГ (t) и коэффициент готовности КГ
зависят от интенсивности отказов и восстановлений элементов
системы, времени ее непрерывной работы. Эти показатели вычисляются по следующим формулам:
KKt
==
Г
t
→∞
()
Г
c
+
1
K
=
Г
n
1
+
1
=
.
Коэффициент готовности системы определяется посредством вычисленных заранее λс и µс.
µс = 0,995035 λс = 3,65. Коэффициент готовности KГ = 0,214215.
Также высчитывается функция готовности для всех λi и µi.
готовно-
сти
0,833333 0,892857 0,695652 0,8 0,888889 0,965517 0,8 0,307692
Строятся графики зависимостей функции готовности от
интенсивности отказа и от интенсивности восстановления.
Рис. 5.8. График зависимости функции готовности
от интенсивности отказа
114
Рис. 5.9. График зависимости функции готовности
от интенсивности восстановления
3. Анализ риска системы.
Риск системы может быть приближенно подсчитан следующим образом. Известно, что риск системы удовлетворяет
следующему неравенству:
n
∑ ∑
Г
= =
i
1 1
()
i
n
−−
44
⋅λ≤≤⋅λ⋅
rttRrtK
1010
iiii
.
Поэтому по отдельности считаются левая и правая части
неравенства:
Анализ риска
ниже приведены границы риска системы
левая граница 237,4955 правая граница 1108,68
Т.е. 237,4955 ≤ R(t) ≤ 1108,68.
Риск системы можно считать приближенно равным среднему арифметическому из полученных оценок. Так как техногенный риск меньше допустимого, равного 2500, то такая система пригодна для эксплуатации.
115
5.6.5. Варианты заданий к лабораторной работе
В вариантах приняты обозначения:
Т – время жизни (долговечность) системы, в часах;
R – допустимый риск, в усл. ед.;
λ – интенсивность отказа элемента i-го типа, в часах;
r – риск системы из-за отказа i-го элемента, в усл. ед.;
µ – интенсивность восстановления i-го элемента системы,
в часах.
Вариант 1
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,2 0,25 0,05 0,06 0,1 0,7 0,34 0,08
µ 0,2 0,16 0,07 0,08 0,8 1 0,85 0,6
r 65 38 3000
800 340 640 830
0
Т = 1200 час, R = 2600 усл. ед.
1200
Вариант 2
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,2 0,25 0,05 0,06 0,1 0,7 0,34 0,08
µ 0,2 0,16 0,07 0,08 0,8 1 0,85 0,6
1200
r 65 38 3000
800 340 640 830
0
Т = 2000 час, R = 3000 усл. ед.
Вариант 3
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,2 0,3 0,7 0,4 0,1 0,25 0,8 0,9
µ 1 2,5 1,6 1,6 0,8 7 3,2 0,4
r 1000 780 10000 700 900 380 1000 600
Т = 1200 час, R = 2600 усл. ед.
Вариант 4
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,1 0,3 0,25 0,6 0,7 0,35
0,8 0,15
µ 2 3,1 1,6 1,2 2,1 1,5 1 1
r 600 700 580 1200 2100 820 340 160
T = 2350 час, R = 2500 усл. ед.
116
Вариант 5
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,7 0,3 0,1 0,65 0,2 0,1 0,12 0,4
µ 1 1,2 0,9 1,8 2,6 1,8 1 1,6
r 650 720 1900 680 1080 608 730 2000
T = 1850 час, R = 2300 усл. ед.
Вариант 6
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 0,7 0,3 0,1 0,65 0,2 0,1 0,12 0,4
µ 1 1,2 0,9 1,8 2,6 1,8 1 1,6
r 650 720 1900 680 1080 608 730 2000
T = 1200 час, R = 2600 усл. ед.
Далее приводятся варианты заданий с 7 по 25, в таблицах
указаны номера вариантов, из которых следует взять значения.
Вариант 7-15
Номер
варианта
Т = 1000 час, R = 2500 усл. ед.
Вариант 16-25
Номер
варианта
T = 1500 час, R = 2700 усл. ед.
7 8 9 10 11 12 13 14 15
λ 2 3 4 5 1 2 3 4 5
µ 4 1 2 1 2 3 4 5 2
r 3 4 5 1 3 4 5 2 1
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
λ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
µ 3 1 5 1 3 2 5 2 3 4
r 4 5 1 2 2 4 3 5 1 2
117
Лабораторная работа № 4 (часть 1)
Nnlg,231
+
=
n
−
5.7. Статистическая обработка данных
о надежности электрических систем
Цель работы:
Освоить метод статистической обработки опытных дан-
ных о надежности электрических систем.
ЗАДАНИЕ:
1. Построить гистограмму и полигон эмпирического рас-
пределения случайных величин.
2. Вычислить числовые значения статистических характе-
ристик распределения случайной величины.
3. Выровнять эмпирическое распределение величин по за-
кону нормального распределения.
4. Проверить соответствие между теоретическим и эмпирическим законом распределения показателей по критериям
А.Н. Колмогорова и Пирсона.
5. Сделать выводы.
5.7.1. Построение гистограммы и полигона эмпирического
распределения случайных величин
Вначале необходимо построить статистический ряд величин, данных в задании. Для этого все значения разбиваются на
n интервалов. Ориентировочно количество интервалов можно
определить по формуле
, (5.32)
где N – число наблюдений.
Полученное значение n округляют до целого числа. Затем
определяют ширину интервалов
где X
max
, X
– соответственно максимальное и минимальное
min
значение показателя.
h
=
118
XX
minmax
, (5.33)
Значение h округляют до удобных значений, причем нача-
N
=
ло первого интервала определяется таким расчетом, чтобы X
min
находился примерно на середине первого интервала. Все интервалы должны быть одинаковые, не иметь разрывов, т.е. прилегать друг к другу.
Далее определяют:
- частоту интервала m
(количество значений показателя,
i
который попадает в интервал (дано в задании), при этом учитывают, что в интервал попадают те значения показателя, величина которых больше нижнего значения интервала и равна
или меньше большего значения);
- опытную вероятность P
(вероятность появления показа-
i
теля надежности в каждом интервале) по формуле
m
=
i
, (5.34)
P
i
где N – количество объектов по выборке;
- накопленную вероятность F
=
∑
i
Для первого интервала всегда
для каждого интервала
э
n
PF
. (5.35)
iэ
=
1
PF
, для последнего Fэ = 1,0.
1
Э
1
Полученные данные сводятся в таблицу (см. пример рас-
чета).
Данные таблицы используются для построения гисто-
граммы и полигона эмпирического распределения величин.
При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают
значения, соответствующие границам частичных интервалов, а
на оси ординат – частоту mi. Далее строят прямоугольники, основания которых лежат на оси абсцисс и равны величине интервалов, а высоты равны частотам соответствующих интервалов.
В результате получается ступенчатый многоугольник –
гистограмма.
Если соединить прямыми линиями середины верхних сторон прямоугольников гистограммы, то получим в виде ломаной
линии полигон эмпирического распределения величин.
Вычисление числовых значений статистических характеристик распределения случайной величины.
119
Среднее арифметическое значение вычисляется по формуле
AhZX+⋅=
N
h
−
(
)
N
X
σ
, (5.36)
n
( )
mZ
⋅
1
ii
, (5.37)
AX
i
, (5.38)
где
Z
Z
=
∑
i
=
=
i
где Xi – середины i-тых интервалов;
А = Xi того интервала в котором значение mi максимально;
h – ширина интервала.
Выборочное среднее квадратическое отклонение σ опре-
деляется из выражения
2
Sh ⋅=σ
, (5.39)
z
n
2
mZ
⋅
ii
−
2
()
Z
. (5.40)
где
S
2
=
z
∑
i
=
1
Коэффициент вариации
V
=
x
. (5.41)
Данный коэффициент используется не только как относительная характеристика степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения, но и для ориентированного выбора теоретического закона распределения (ТЗР) случайной величины.
Если Vx ≤ 0,55 – выбирают ЗНР; если 0,55 < Vx < 0,63 –
выбирают ЗРВ, если 0,63 ≤ Vх < 1,30 – выбирают ЭЗР.
После выбора ТЗР производится выравнивание эмпирического распределения показателей по этому закону. Сущность
выравнивания – определение теоретических частот
ностей
и накопленных вероятностей
P
T
i
F
.
T
i
, вероят-
m
T
i
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]