Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПРАКТИКУМ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЦИФРОВОГО ТРЕНАЖЕРА
ПО РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Учебно-методическое пособие
для педагогов и обучающихся педагогических вузов
Набережные Челны
2023
2
УДК 514.112
ББК 22.151.0
П69
Печатается по решению Ученого Совета
Набережночелнинского государственного педагогического университета
Рецензенты: И. А. Шакиров, кандидат физико-математических наук, доцент,
А. Н. Углов, кандидат физико-математических наук, доцент.
П69 Практикум по элементарной математике с применением цифрового
тренажера по решению геометрических задач: учебно-методическое пособие для
педагогов и обучающихся педагогических вузов / Э. Х. Галямова, Б. В. Киселев,
С. Н. Матвеев, под редакцией С. Н. Матвеева. – Набережные Челны: Изд-во:
ФГБОУ ВО «НГПУ». – 2023. – 68 с.
ISBN 978-5-98452-226-7
Учебно-методическое пособие составлено с учетом требований
федерального государственного образовательного стандарта высшего
образования по направлению подготовки «Педагогическое образование». Пособие
содержит теоретические и прикладные аспекты элементарной геометрии, в том
числе методику обучения решению задач с применением цифровых тренажеров. В
пособии приводится конструктивная модель и инструкция цифрового тренажера,
разработанного авторами. Представлены решения типовых задач тренажера и
задания для самостоятельной работы с применением цифрового тренажера по
решению геометрических задач. Учебное пособие будет интересно не только
педагогам общеобразовательных школ, но и бакалаврам по направлению
подготовки 44.03.01 Педагогическое образование, 44.03.05 (с двумя профилями
подготовки) и магистрантам по направлению подготовки 44.04.01 Педагогическое
образование.
УДК 514.112
ББК 22.151.0
ISBN 978-5-98452-226-7
© Галямова Э.Х., Киселев Б.В., Матвеев С.Н., 2023
© ФГБОУ ВО «НГПУ», 2023
3
Оглавление:
§1. Теоретические основы курса элементарной геометрии .................................. 6
1.1. Замечательные точки в треугольнике ............................................................ 6
1.2. Подобие. Элементарные теоремы геометрии треугольника ...................... 8
1.3. Свойства касательных, хорд, секущих ......................................................... 12
1.4. Вписанные и описанные четырёхугольники .............................................. 15
§2. Содержательная модель цифрового тренажера .............................................. 17
2.1. Конструктивная модель цифрового тренажера.......................................... 17
2.2. Система задач тренажера ............................................................................... 27
§3. Методический аспект модели цифрового тренажера обучения поиску
решения задач .............................................................................................................. 51
3.1. Обучение решению геометрических задач на доказательство ................ 51
3.2. Задания для самостоятельной работы .......................................................... 59
Приложение .................................................................................................................. 62
Инструкция прохождения симулятора ................................................................ 62
Литература .................................................................................................................... 66
4
Введение
Современные систематизированные источники информации, цифровые
технологии, обучающие тренажеры активно внедряются в систему
профессиональной подготовки педагогических кадров. Применение обучающих
тренажеров для развития профессиональных умений педагогов и обучающихся
педагогических вузов является перспективным в условиях цифровизации
образования. Цифровой тренажер, разработанный авторами данного пособия,
является дидактическим средством формирования предметной и методической
компетентности будущего учителя математики в курсе элементарной геометрии.
В учебно-методическом пособии представлены справочные материалы
теоретического содержания курса элементарной геометрии, приемы поиска
решения геометрической задачи, система задач для самостоятельного работы,
особенности обучения решению геометрических задач. Применение данного
пособия в образовательном процессе предполагает формирование умений и
навыков в цифровом тренажере и симуляторе. Встроенный в программу
виртуальный конструктор позволит сформировать конструктивные умения
обучающихся. Коллектив авторов представляет содержательные и методические
аспекты разработки сюжетной модели цифрового тренажера. Цифровой тренажер
обучения поиску решения задачи позволяет соединить предметную и
методическую подготовку учителя математики, реализовать практикоориентированный подход к изучению курса элементарной геометрии.
Основные задачи курса элементарной геометрии:
– систематизация и обобщение содержания курса геометрии с точки зрения
высшей математики и аксиоматического построения геометрии,
– формирование компетенций обучающихся педагогических направлений
через содержание курса, развитие умений и навыков решения геометрических
задач.
Курс элементарной геометрии содержит обзор аксиоматического
построения курса геометрии (планиметрии и стереометрии) на основе
определенной системы аксиом. Мы будем придерживаться системы аксиом Д.
Гильберта, так как она является классической, при этом, система аксиом любого
школьного учебника по геометрии строится с учетом системы аксиом Д.
Гильберта. Имеется большое количество учебно – методической литературы, в
которой приводится аксиоматическое построение геометрии, например [1],
поэтому в данном пособии это построение не представлено. Приведем лишь
примерное содержание тем действующего курса элементарной геометрии
(рабочей программы дисциплины) и краткое изложение некоторых
элементарных сведений как предметной основы предлагаемого тренажера.
5
Тема 1. Аксиомы абсолютной геометрии и простейшие следствия.
Признаки равенства треугольников. Движения плоскости. Внешний угол
треугольника, соотношение между сторонами и углами треугольника,
неравенство треугольника. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Тема 2. Теоремы Саккери –Лежандра. Определение и существование
параллельных прямых. Аксиома параллельности, признак параллельности.
Сумма внутренних углов треугольника, величина внешнего угла треугольника.
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Преобразование
подобия. Теорема косинусов и синусов. Обобщенная теорема Пифагора.
Теоремы Менелая и Чевы.
Тема 3. Замечательные точки треугольника. Свойства медиан, биссектрис,
высот и серединных перпендикуляров треугольника. Вписанные и описанные
окружности. Ортоцентрический треугольник и его свойства. Произведение
отрезков пересекающихся высот. Теорема Стюарта, длины медиан, высот и
биссектрис. Взаимное расположение медианы, биссектрисы и высоты
треугольника.
Тема 4. Четырехугольники, трапеция. Средняя линия и отрезок,
соединяющий середины диагонали трапеции. Параллелограмм, ромб,
прямоугольник, квадрат, их признаки. Произвольный четырехугольник. Сумма
квадратов диагоналей произвольного четырехугольника. Вписанные и
описанные четырехугольники. Свойства касательных, хорд, секущих. Теоремы
косинусов для четырехугольника, теорема Птолемея. Сумма углов выпуклого
многоугольника, правильные многоугольники.
Тема 5. Понятие площади. Задача измерения площади. Площади
прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Различные формулы
для вычисления площади треугольника. Длина окружности, площадь круга.
Степень точки, радикальная ось и радикальный центр. Равновеликость и
равносоставленность многоугольников.
Тема 6. Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.
Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность двух плоскостей. Скрещивающиеся прямые. Методы
нахождения расстояния и угла между двумя скрещивающимися прямыми.
Тема 7. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол, линейный
угол двугранного угла. Методы вычисления линейного угла. Трехгранный угол.
Теорема синусов и косинусов для трехгранного угла.
Тема 8. Тетраэдр. Вписанные и описанные сферы. Равногранный,
ортоцентричекий, прямоугольный тетраэдры. Пирамиды и призмы, цилиндры,
конусы, шар и их объемы. Сечения, способы построения сечений. Усеченные
6
O
1
A
1
A
C
B
B
1
пирамиды и усеченный конус. Площади боковых поверхностей цилиндра,
конуса усеченного конуса, площадь сферы.
§1. Теоретические основы курса элементарной геометрии
1.1. Замечательные точки в треугольнике
С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан
(по-другому центр тяжести треугольника, или центроид), точка пересечения
биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка
пересечения прямых, содержащих высоты треугольника (ортоцентр
треугольника). Эти четыре точки называются
замечательными точками треугольника.
Биссектриса – луч, исходящий из вершины
угла и делящий его на два равных угла.
Предложение 1. Биссектриса угла есть множество
всех внутренних точек угла, каждая из которых
равноудалена от прямых, содержащих стороны
угла.
Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке.
Пусть [А) и [В
)- биссектрисы углов А и В (рис.1). Они пересекают стороны
противолежащих углам соответственно в точках и
, так как внутренний луч
[А) неразвёрнутого угла пересекает любой отрезок
, концы которого лежат
на разных сторонах этого угла. Применив аксиому Паша к треугольнику ,
имеем, что [А)[В)=O – внутренняя точка треугольника. Значит, (O, (АВ))
= (O, (АС)), (O, (АВ)) = (O, (ВС)) (O, (АС)) = (O, (ВС)) = O [С
) –
биссектрисе угла С.
Следствие. В любой треугольник можно вписать одну и только одну
окружность, центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
Теорема 2. Биссектрисы двух внешних
углов треугольника пересекаются с
биссектрисой угла, не смежного с ними, в
одной точке.
Доказательство.
Нетрудно вычислить, что
+
=180˚-
< 180˚ (рис 2).
Значит, биссектрисы [) и [
)
пересекаются в некоторой точке
, причём,
B
1
O
A
1
A
C
B
Рис.2
Рис.1
7
(, (АВ)) = (, (ВС)), (, (АВ)) = (, (АС)). Тогда, (, (ВС))=(
, (АС)),
т.е. [С
) – биссектриса внешнего угла С.
Следствие. Любой треугольник имеет три вневписанные окружности (каждая
из которых касается одной стороны треугольника и двух прямых, содержащих две
другие стороны).
Имеет место:
АС
СВ
=
АС
СВ
=
А
В
, где [СС1) – биссектриса угла С, [СD) –
биссектриса внешнего угла С. Длина биссектрисы может быть вычислена c
помощью следующих формул:
со
;
;
, где m=AC
1
, n= C1B.
Теорема 3. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть АВС – произвольный
треугольник, , ,
- серединные
перпендикуляры к сторонам АВ, ВС, АС (рис.3).
Докажем сначала, что и
пересекаются.
Допустим, что они не пересекаются, т.е //
, то
(АВ)=(АС), что противоречит условию, что АВС-
треугольник. Значит,
= O, и ОА=ОВ,
ОА=ОС. Следовательно, ОВ=ОС, тогда О – точка
на
.
Следствие. Около любого треугольника можно описать одну и только одну
окружность, центр этой окружности – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Теорема 4. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в
одной точке.
Доказательство.
Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную
противоположной стороне. Получим треугольник АВС
, для которого
прямые, содержащие высоты треугольника АВС, являются серединными
перпендикулярами.
Предложение 1. В каждом треугольнике медианы пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Длина медианы может быть вычислена по формуле
l
2
l
1
O
С
1
B1C
A
B
Рис.3
8
.
Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на 6 треугольников с
общей вершиной, площади которых равны между собой.
Предложение 2. Пусть
– основания высот треугольника АВС,
тогда треугольник
называется ортоцентрическим треугольником
треугольника АВС. Имеют место утверждения:
– треугольник АВС подобен треугольнику А
,
– высоты треугольника являются биссектрисами ортоцентрического
треугольника,
– из всех треугольников, вписанных в данный треугольник,
ортоцентрический имеет наименьший периметр,
– точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника,
принадлежит окружности, описанной около этого треугольника,
– высоты делятся ортоцентром на два отрезка так, что произведение отрезков
одной высоты равно произведению отрезков другой высоты,
– сумма внутреннего угла ортоцентрического треугольника с
противолежащим углом треугольника равна величине развернутого угла.
1.2. Подобие. Элементарные теоремы геометрии треугольника
Преобразование плоскости называется преобразованием подобия с
коэффициентом k>0, если для любых точек А и В и их образов ′ и
′
соответственно имеет место соотношение:
′
′
=k АВ, где k - коэффициент подобия. Подобие с коэффициентом k =1
является движением.
Утверждается, что две фигуры подобны, если существует подобие,
переводящее одну фигуру в другую.
Два треугольника называются подобными, если их соответственные углы
равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим
сторонам другого, обозначают А′
′
С
′
.
Если А′
′
С
′
, то существует единственное преобразование подобия f,
при котором точки А,В,С переходят в точки А
′
′
′
.
Имеются следующие признаки подобия треугольников.
Предложение 1. Два треугольника подобны если:
1) два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого;
2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны;
9
3) три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам
другого.
Теория подобия часто применяется для решения задач и доказательства
теорем, например, для доказательства теоремы Менелая (Менелай
Александрийский – древнегреческий математик и астроном).
Пусть и
- ненулевые направленные отрезки, параллельные некоторой
прямой. Обозначим через
число
, если ↑↑
и число (-
, если и
противоположно направлены.
Теорема Менелая. Пусть А В С
– точки, лежащие соответственно на
прямых ВС, СА, АВ и несовпадающие с вершинами треугольника. Тогда точки А
В С
лежат на одной прямой если, и только если выполняется равенство
АС
С
В
ВА
А
С
СВ
В
А
= -1 (1)
Доказательство. Покажем, что если точки А В С
лежат на одной
прямой, то выполняется равенство (1). Возможны два случая:
– две точки лежат на сторонах треугольника, а третья на продолжении
стороны;
– ни одна из точек не принадлежит стороне треугольника, т.е. они лежат на
продолжениях сторон (рис.4).
Рис. 4
Очевидно, при этом левая часть (1) отрицательна. Осталось доказать, что
отношение длин отрезков удовлетворяет равенству
АС
1
С1В
ВА
1
А1С
СВ
1
В1А
= 1 (2)
B
1
H
3
H
1
H
2
A
B
A
1
C
C
1
10
Из точек А, В, С проведём перпендикуляры А, В, С
к прямой (А
В
)=
(В
1С1
).
Тогда, АС
Н
ВС
Н
АС
С
В
АН
ВН
,
ВАНАСН
ВА
А
С
ВН
СН
,
СВНВН
СВ
1
В1А
СН
3
АН
1
,
Откуда,
АС
1
С1В
ВА
1
А
1
С
СВ
1
В
1
А
АН
1
ВН
2
ВН
2
СН
3
СН
3
АН
1
= 1.
Обратно. Пусть выполняется равенство (1). Докажем, что точки А
1
В1 С
1
принадлежат одной прямой.
Пусть, (
С
1
) (АС)=′, требуется доказать, что =
′
. Тогда в силу
доказанного ранее:
АС
1
С 1В
ВА
1
А 1С
А
=-1, но по условию
АС
1
С
1
В
ВА
1
А
1
С
СВ
1
В
1
А
= -1.
Значит,
′
′
′
=
СВ
1
В
1
А
СА, В
'
=(СА, В
1
) В
'
=В1,
то есть В
1
А
1
С
1
).
Теорема Чевы. (Чева Джованни (1648- 1734) – итальянский математик и
инженер). Пусть А
1
В1 С
1
– три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС,
СА, АВ, или на их продолжениях, треугольника АВС. Для того, чтобы прямые
′
,
′,
′
пересекались в одной точке или были все параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы
АС
1
С
1
В
ВА
1
А
1
С
СВ
1
В1А
=1, (3)
при этом прямые 1 11называются чевианами.
Доказательство. Пусть прямые 1 1
1
пересекаются в одной точке.
Докажем, что выполняется (3). Для этого проведём из вершины А прямую MN
параллельно (ВС) (рис. 5).
Тогда, АМС1ВСС1
МА
ВС
=
АС
1
С 1В
; (4)
А
СВ
1
В 1А
=
ВС
AN
(5)
А1А
AN
В А
1
=
AК
К А
1
=
МA
А1С
, значит,
ВА
1
А1С
=
AN
МА
. (6)
Перемножив (4), (5), (6), получим (3).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]