Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
21
. Тогда подставив найденные выражения в
записанное равенство, получим
.
Ответ: .
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
– средняя линия треугольника
АВС, О – центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Предположим, что
средняя линия MN лишь касается
окружности, вписанной в треугольник
АВС. Вычислим
. Тогда периметр
.
Однако,
. Поэтому не может быть
касательной. Значит, высота треугольника АMN к стороне MN больше расстояния
АТ, то есть средняя линия проходит через внутреннюю точку окружности,
поэтому пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка.
Пусть средняя линия пересекает окружность в точках P и Q. Применим
свойство секущей и касательной Квадрат отрезка касательной от точки
до точки касания равен произведению длины отрезков секущей от точки до
точек ее пересечения с окружностью:
.
Для этого вычислим ,
и
,
. Тогда подставив найденные выражения в
записанное равенство, получим
.
Ответ: .
22
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
– средняя линия треугольника АВС, О
– центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Рассмотрим
подобие треугольников: .
Пусть – радиус вписанной
окружности,
, то есть
где
. Тогда
. Значит, ОК =
.
Итак, О О то есть расстояние от центра окружности до прямой
меньше радиуса окружности. Значит, окружность пересекает среднюю линию
этого треугольника.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка. Треугольник – прямоугольный, применим теорему Пифагора:
Н
Ответ: .
23
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
– средняя линия треугольника АВС, О
– центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Применим свойство
биссектрисы внутреннего угла
треугольника
где те
Итак
Решив систему, получим
Тогда
, значит, Значит, О О то есть расстояние от
центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Значит, окружность
пересекает среднюю линию этого треугольника.
Предметные умения будущего учителя включают в себя не только умение
правильно и быстро решить задачу, но и нахождение (обоснование причины
затруднений) ошибок в решении ученика. Поэтому базовая часть тренажера
включает в себя не только поиск различных способов решения задачи, но и
определение верного решения из набора решений, предложенных различными
учениками. При этом тренажер с каждым новым прохождением сеанса,
представляет случайный набор решений, из которых только одно будет верным.
Остальные решения будут содержать типовые ошибки, допущенные учениками в
ходе экспериментального этапа исследования.
Анализ готовых решений, рассуждение над различными способами решения
базовой задачи позволит сформировать математическую грамотность будущего
учителя математики. Математическая грамотность определяется как «способность
индивидуума проводить математические рассуждения и формулировать,
применять, интерпретировать математику. Умение «интерпретировать»
подразумевает способность размышлять над математическим решением или
результатами, интерпретировать и оценивать их.
24
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано:
– средняя линия треугольника
АВС, О – центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Предположим, что
средняя линия MN лишь касается
окружности, вписанной в треугольник
АВС, то есть в равнобедренную трапецию
вписана окружность, что возможно лишь тогда и только тогда, когда
, по другому . Однако, для точек и середины сторон и соответственно, имеем: , а именно
, т.е. , значит, окружность не
может быть вписанной в трапецию BCMN, поэтому пересекает окружность,
вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка.
Пусть средняя линия пересекает окружность в точках P и Q. Применим
свойство секущей и касательной Квадрат отрезка касательной от точки
до точки касания равен произведению длины отрезков секущей от точки до
точек ее пересечения с окружностью:
.
Для этого вычислим ,
и
,
. Тогда подставив найденные выражения в
записанное равенство, получим
.
Ответ: .
25
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано:
– средняя линия треугольника АВС, О
– центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Предположим, что
средняя линия MN лишь касается
окружности, вписанной в треугольник
АВС. Вычислим
. Тогда периметр
.
Однако,
. Поэтому не может быть
касательной, значит, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка.
Пусть средняя линия пересекает окружность в точках P и Q. Применим
свойство секущей и касательной Квадрат отрезка касательной от точки
до точки касания равен произведению длины отрезков секущей от точки до
точек ее пересечения с окружностью:
.
Для этого вычислим ,
и
,
. Тогда подставив найденные выражения в
записанное равенство, получим
.
Ответ: .
26
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано:
– средняя линия треугольника
АВС, О – центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство: рассмотрим
подобие треугольников: .
Пусть – радиус вписанной
окружности,
, то есть
где
. Тогда
. Итак, А значит, окружность
пересекает среднюю линию этого треугольника.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка. Треугольник – прямоугольный, применим теорему Пифагора:
Ответ: .
27
Реализация проверки выполненного пользователем чертежа, путем
измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.
Используя выполненный Вами чертеж, произведите следующие измерения,
воспользовавшись командой «Длина» во вкладке «Измерения»:
средней линии MN, параллельной основанию равнобедренного треугольника,
высоты АН из вершины к основанию равнобедренного треугольника,
радиуса r вписанной окружности.
У пользователя должно в итоге получиться следующее:
Принципиальная схема реализации проверки чертежа тренажером: площадь
треугольника вычисляем двумя способами и
сравниваем полученные результаты.
Таким образом, в тренажере реализуем оценку
разности:
Если погрешность не превышает требуемой величины, то тренажер чертеж
учитывает, как правильно выполненную конструктивную задачу, если
погрешность не удовлетворяет установленной уровни допустимой погрешности
чертежа, то тренажер требует исправления, например: «Ваш чертеж требует
корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения середин
отрезков, биссектрис, перпендикуляров».
2.2. Система задач тренажера
Задача 1. Дана трапеция с большим основанием , вписанная в
окружность. Продолжение высоты BH трапеции пересекает окружность в точке .
а) Докажите, что отрезки и перпендикулярны.
б) Найдите , если радиус описанной окружности равен 6, угол
составляет 30°, отношение площадей к равно 35, где – точка
пересечения отрезков и .
АНМN
=
50,00
см
2
Площадь треугольника S=AH*MN
Площадь треугольника S=pr
МNМN+АНАН+МN
r
=
50,00
см
2
МNМN+АНАН+МN
r
-
АНМN
=
0,00
см
2
28
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: вписана в окружность
, , продолжение высоты
, трапеции пересекает окружность в
точке .
а) Доказать: .
Доказательство. Поскольку
основания трапеции и
параллельны, а её высота , то
, а значит, вписанный угол ,
опирается на диаметр , на который
опирается и вписанный угол .
Поэтому .
б) Найти , если , угол составляет 30, отношение площадей
к равно 35, где – точка пересечения отрезков и .
Вписанные углы и опираются на одну дугу, а следовательно,
равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике катет лежит напротив
угла 30, а значит, равен половине гипотенузы , то есть
, а
катет
.
В треугольниках и угол общий, а углы и прямые, и,
значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
. Следовательно,
, то есть , а значит, .
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому
высота делит большее основание на отрезки
и
.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд
окружности, получим , откуда
.
Тогда , поэтому , то есть .
Ответ: .
29
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: вписана в
окружность , ,
продолжение высоты , трапеции
пересекает окружность в точке .
а) Доказать: .
Доказательство. Трапеция
вписана в окружность,
следовательно, (трапеция
равнобокая)
Обозначим
, . Из треугольника ,
где получим .
Тогда –
вписанные, опираются на одну и ту
же дугу .
, следовательно, – диаметр
окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Угол
опирается на диаметр , значит, , .
б) Найти , если , угол составляет 30, отношение площадей
к равно 35, где – точка пересечения отрезков и .
По условию
. Так как , треугольник подобен
треугольнику по двум углам,
.
, отсюда
Тогда .
(опираются на дугу ), тогда ,
,
, ,
. Проведём . Обозначим
, так как , а Следовательно,
, а .
По теореме о пересекающихся хордах следует, что .
, ,
,
(не удовлетворяет измерению длины отрезка), .
Тогда . Ответ: .
30
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: вписана в окружность
, , продолжение
высоты , трапеции пересекает
окружность в точке .
а) Доказать: .
Доказательство. Поскольку
основания трапеции и
параллельны, а – высота, то
треугольник прямоугольный. Так
как как диагонали
равнобедренной трапеции и
, то треугольники и равны по трем сторонам. Поэтому .
б) Найти , если , угол составляет 30, отношение площадей
к равно 35, где – точка пересечения отрезков и .
Вписанные углы и опираются на одну дугу, а следовательно,
равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике катет лежит напротив
угла 30, а значит, равен половине гипотенузы , то есть
, а
катет
.
В треугольниках и угол общий, а углы и прямые, и,
значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
. Следовательно,
, то есть , а значит, .
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому
высота делит большее основание на отрезки
и
.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд
окружности, получим , откуда
.
Тогда , поэтому , то есть .
Ответ: .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]