Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
41
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: - параллелограмм, -
острый, ,
а) Доказать: .
Доказательство. Трапеции АВСN и
МАВС равнобедренные с общим углом
при верхних основаниях
соответственно, тогда
. Таким образом, треугольники и равны по двум сторонам и углу
между ними, следовательно,
б) Найдите , если ,
Трапеция – равнобедренная, так как боковые стороны и равны.
Следовательно, как диагонали равнобедренной трапеции. Пусть
, так как треугольники и и ВАС равны по двум
сторонам и углу между ними (см.а)), тогда и
. Следовательно . С другой стороны
ВС // AD, то как накрест лежащие углы, значит,
причем ° ° . В итоге °
° . Вычислим косинус угла:
°
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Отв ет:
.
42
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: - параллелограмм, - острый,
,
а) Доказать: .
Доказательство. Так как – равнобедренный
треугольник, как радиусы
окружности, описанной около равнобедренных
трапеций MABC и ABCN, следовательно,
треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
Треугольники равны по трем сторонам, следовательно,
и . Таким образом, треугольники и
равны по двум сторонам AM =BC, AB =CN и углу между ними, значит, .
б) Найдите , если ,
Трапеция – равнобедренная, так как боковые стороны и равны,
следовательно, . Пусть , тогда
Найдем косинус угла :
Применив теорему косинусов, получаем:
.
Следовательно,
.
Ответ:
.
43
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: - параллелограмм, - острый, ,
а) Доказать: .
Доказательство. Пусть , то
тогда .
Углы и равны как
вертикальные, тогда
и .
Следовательно,
.
Таким образом, треугольники и
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно,
б) Найдите , если ,
Трапеция – равнобедренная, так как боковые стороны и равны.
Следовательно, как диагонали равнобедренной трапеции.
Пусть , так как треугольники и и ВАС равны по
двум сторонам и углу между ними (см.а)), тогда
и . Следовательно .
С другой стороны ВС // AD, то как накрест лежащие углы,
значит, причем ° ° используя
равенство (*) получим:
.
Вычислим косинус угла:
Применив теорему косинусов, получаем:
Следовательно,
Ответ:
.
44
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: - параллелограмм, - острый, ,
а) Доказать: .
Доказательство. Пусть , то
тогда . Углы
и равны как вертикальные,
тогда и
. Тогда
. Таким образом,
треугольники и равны по двум
сторонам и углу между ними, следовательно,
б) Найдите , если ,
Точки M, C, N и A лежат на одной окружности, описанной около
равнобедренных[ трапеций АМNC и АBCN , cледовательно, как
диагонали равнобедренной трапеции. Пусть , тогда
как вписанные углы опирающиеся на равные хорды.
Аналогично, если , тогда Так
как следовательно, ,
.
Значит,
, т.к и опираются на одну дугу и равны.
Следовательно треугольник равнобедренный, так как углы при основании
равны.
Пусть - высота. Тогда где катет
. Окончательно:
Ответ:
45
Реализация проверки выполненного пользователем чертежа, путем
измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.
Используя выполненный Вами чертеж, произведите следующие измерения,
воспользовавшись командой «Угол» во вкладке «Измерения»:
У пользователя должно в итоге получиться следующее:
В итоге должно получиться следующее:
Принципиальная схема реализации проверки чертежа тренажером: трапеции
АВСN и МАВС равнобедренные с общим углом при верхних основаниях,
следовательно, .
В тренажере реализуем оценку абсолютной погрешности разности углов:
;
.
Если погрешность не превышает требуемой величины, то тренажер чертеж
учитывает, как правильно выполненную конструктивную задачу, если
погрешность не удовлетворяет установленной уровни допустимой погрешности
чертежа, то тренажер требует исправления, например, «Ваш чертеж требует
корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения равных
отрезков».
Задача 4. В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC
соответственно так, что . Окружность, вписанная в
треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.
а) Доказать, что .
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если
и .
ABC
=
125,2
BCN
=
125,2
MAB
=
125,2
46
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: , ,
. Окружность, вписанная в ,
касается отрезка MN в точке K.
а) Доказать, что .
Доказательство. Пусть
. Тогда и
. Поскольку
. По свойству описанного
четырёхугольника, ,
тогда
. Значит,
Что и
требовалось доказать.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник , если
и .
Пусть точка касания окружности со
стороной — центр окружности. Тогда прямые и перпендикулярны,
прямые и перпендикулярны, прямые и параллельны. Тогда
точки , и лежат на одной прямой, и — прямоугольная трапеция.
Пусть . Заметим, что
, откуда . Тогда
По теореме Пифагора
Также получаем, что
Тогда радиус окружности,
вписанной в треугольник , равен 3.
Ответ: 3.
47
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: , ,
. Окружность, вписанная
в , касается отрезка MN в точке K.
а) Доказать, что .
Доказательство.
Так как иугол
то, значит,
или
.
Далее:
, .
,
что и требовалось
доказать.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если
и .
Т.к.
.
Обозначим тогда,
,
(свойство касательной). Очевидно, что ° как сумма
односторонних углов при параллельных прямых. Центр вписанной окружности
есть точка пересечения биссектрис, значит, ° те
прямоугольный. как радиус, проведенный в точку касания,
.
Аналогично прямоугольный:
,
,
, , , x=5,
, .
Ответ: 3.
48
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: , ,
. Окружность,
вписанная в , касается отрезка MN в
точке K.
а) Доказать, что .
Доказательство. Так как , по
теореме Фалеса получаем:
,
. Используя свойство
описанного четырёхугольника получаем, что
―, тогда
―
―
,
Отсюда Что и требовалось доказать.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если
и .
Пусть точка касания окружности со стороной — центр
окружности. Тогда прямые и перпендикулярны,
прямые и перпендикулярны, прямые и параллельны. Тогда
точки , и лежат на одной прямой, и — прямоугольная трапеция.
Пусть . Заметим, что
, откуда
. Тогда
По теореме Пифагора
В трапеции CN реализуется равенство:
Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник , равен
3.
Ответ: 3.
49
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: , ,
.
Окружность, вписанная в , касается
отрезка MN в точке K.
а) Доказать, что .
Доказательство., тогда
или
,
, ,
что и требовалось
доказать.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник , если
и .
Пусть точка касания окружности со стороной — центр
окружности. Тогда прямые и перпендикулярны,
прямые и перпендикулярны, прямые и параллельны как
касательные к одной окружности. тогда точки , и лежат на одной прямой,
и — прямоугольная трапеция.
Пусть . Заметим, что
, откуда
. Тогда
По теореме Пифагора
Из другой прямоугольной трапеции получаем, что
Отсюда тогда радиус окружности, вписанной в треугольник , равен 3.
Ответ: б) 3.
50
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: , ,
. Окружность, вписанная
в , касается отрезка MN в точке K.
а) Доказать, что .
Доказательство.
Таккак , то . Из подобия
треугольников следует, что
,
,
,
;
что и требовалось доказать.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если
и .
Очевидно из условия то, что
,
. Обозначим , тогда .
, . Так
как центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис, то
; прямоугольный
треугольник, т.е. (радиус, проведенный в точку касания)
.
Аналогично прямоугольный:
,
, , ,
,
,
.
Ответ: 3.
Реализация проверки выполненного пользователем чертежа, путем
измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.
Используя выполненный чертеж, произведем следующие измерения,
воспользовавшись командой «Длина» и «Угол» во вкладке «Измерения»:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]