Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
31
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: вписана в окружность
, , продолжение
высоты , трапеции пересекает
окружность в точке .
а) Доказать: .
Доказательство. Трапеция
вписана в окружность, следовательно,
(трапеция равнобокая)
Обозначим ,
. Из треугольника , где
получим .
Тогда – вписанные, опираются на одну и ту же дугу
.
, следовательно, – диаметр
окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Угол
опирается на диаметр , значит, , .
б) Найти , если , угол составляет 30, отношение площадей
к равно 35, где – точка пересечения отрезков и .
По условию
. Так как , треугольник подобен
треугольнику по двум углам,
.
, отсюда
Тогда .
(опираются на дугу ), тогда ,
,
,
,
.Проведём .
Обозначим , так как , а . Следовательно,
, а . По теореме о
пересекающихся хордах следует, что .
, ,
,
(не подходит),
.
32
Тогда
.
Ответ:
.
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: вписана в
окружность , ,
продолжение высоты , трапеции
пересекает окружность в точке .
а) Доказать: .
Доказательство. Поскольку
основания трапеции и
параллельны, а её высота , то
, а значит, вписанный угол
, опирается на диаметр , на
который опирается и вписанный угол
. Поэтому .
б) Найти , если , угол составляет 30, отношение площадей
к равно 35, где – точка пересечения отрезков и .
Вписанные углы и опираются на одну дугу, а следовательно,
равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике катет лежит напротив
угла 30, а значит, равен половине гипотенузы , то есть
, а
катет
.
В треугольниках и угол общий, а углы и прямые, и,
значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
. Следовательно,
, то есть , а значит, .
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому
высота делит большее основание на отрезки
и
.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд
окружности, получим , откуда
33
Тогда , поэтому .
Ответ: .
Реализация проверки выполненного пользователем чертежа, путем
измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.
Используя выполненный Вами чертеж, произведите следующие измерения,
воспользовавшись командой «Длина» и «Угол» во вкладке «Измерения»: длины
сторон и , угла .
У пользователя должно в итоге получиться следующее:
Принципиальная схема
реализации проверки чертежа
тренажером. Так как трапеция
вписана в окружность, она
равнобедренная: .
Четырехугольник можно
вписать только тогда, когда
сумма противолежащих углов
составляет :
.
В тренажере реализуем
оценку разностей:
;
.
Если погрешность не превышает требуемой величины, то тренажер чертеж
учитывает как правильно выполненную конструктивную задачу, если
погрешность не удовлетворяет установленной уровни допустимой погрешности
чертежа, то тренажер требует исправления, например: «Ваш чертеж требует
корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения середин
отрезков, биссектрис, перпендикуляров».
Задача №2. В треугольник ABC вписана окружность. Она касается
стороны AB в точке P. Точка M – середина AB.
а) Докажите, что
.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и . Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
34
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
ABC. – центр окружности,
вписанной в ABC.
Окружность касается
стороны AB в точке P.
Точка M – середина AB.
а) Докажите, что
Доказательство.
Пусть , K и N – точки касания окружности со сторонами BC и AC
соответственно. Тогда откуда
.
Откуда
. В случае решение полностью аналогично.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
, следовательно, C равен
. Пусть О – центр
окружности. Тогда CNOK – квадрат, т.к. все его углы прямые, а
Пусть Тогда
, откуда
.
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
,
откуда Следовательно,
.
Ответ: б)
.
35
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: ABC. – центр
окружности, вписанной в ABC.
Окружность касается
стороны AB в точке P. Точка M –
середина AB.
а) Докажите, что
.
Доказательство.
.
(по свойству касательной).
. В
случае решение полностью аналогично. Что и требовалось доказать.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
Обозначим стороны и углы треугольника ABC: a; b; c; . По условию
. Это условие выполнимо в случае, если медиана МС проведена
из вершины прямого угла, т.е., если
.
Здесь радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
вычисляется по формуле: ,
(1)
В пункте (а) доказали, что
, отсюда
(2)
Из (1) и (2) следует, что
,
введем замену
, , тогда
,
(не удовлетворяет условию ). Следовательно,
.
По формуле
, отсюда
.
Ответ: б)
.
36
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: ABC. – центр
окружности, вписанной в
ABC. Окружность касается
стороны AB в точке P.
Точка M – середина AB.
а) Докажите, что
.
Доказательство. Пусть
, L и N – точки касания
окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда
(по свойстве касательной, вписанной в треугольник окружности).
(по признаку подобия треугольников, CM – общий).
Откуда
. В случае решение полностью аналогично.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и . Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
По условию (*). Это условие выполнимо в случае, если
медиана МС проведена из вершины прямого угла, т.е. (*) выполняется, если
. L и N – точки пересечения окружности со сторонами . OLCN –
квадрат.
. Пусть , тогда
.
, .
По теореме Пифагора:
.
Тогда .
Следовательно,
.
Ответ: б)
.
37
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: ABC. – центр
окружности, вписанной в ABC.
Окружность касается
стороны AB в точке P. Точка M –
середина AB.
а) Докажите, что
Доказательство. Без ограничения
общности можно считать, что . Пусть N и L – точки касания окружности
со сторонами AC и BC. Тогда CN = CL, BL = BP, AN = AP. Заметим, что
откуда
. В случае AC < BC решение аналогичное. Что и требовалось
доказать.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
Обозначим стороны и углы треугольника ABC: BC – a; AC – b; AB – c;
. По условию (медиана, проведенная к
гипотенузе, равна ее половине). Следовательно,
.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется
по формуле:
(1)
В пункте (а) доказали, что
, отсюда
(2)
Из (1) и (2) следует, что
, введем замену
, , тогда
. Следовательно,
.
По формуле
, отсюда
.
Ответ: б)
.
38
Предлагаемое решение (с ошибкой, найти ошибку).
Дано: ABC. – центр
окружности, вписанной в ABC.
Окружность касается стороны AB в
точке P. Точка M – середина AB.
а) Докажите, что
.
Доказательство. Пусть
. Радиус
окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:
(1)
, подставив в (1), получим
.
. В случае
решение полностью аналогично. Что и требовалось доказать.
б) Найдите углы треугольника ABC, если и Радиус
окружности в 2 раза больше MP.
Если AM = MC, то по признаку прямоугольного треугольника C равен 90°.
Пусть O – центр окружности. Тогда CQOR – квадрат, поскольку все его углы
прямые и соседние стороны равны. (по свойстве
касательной). Тогда
.
тогда
.
.
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
.
Тогда ,
откуда
.
Ответ: б)
.
39
Реализация проверки выполненного пользователем чертежа, путем
измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.
Используя выполненный Вами чертеж, произведите следующие измерения,
воспользовавшись командой «Длина» во вкладке «Измерения»:
длины сторон треугольника ABC, радиуса r вписанной окружности.
У пользователя должно в итоге получиться следующее:
Принципиальная схема реализации проверки чертежа тренажером: площадь
треугольника вычисляем двумя способами и сравниваем,
.
.
В тренажере реализуем оценку разности:
Если погрешность не превышает требуемой величины, то тренажер чертеж
учитывает как правильно выполненную конструктивную задачу, если
погрешность не удовлетворяет установленной уровни допустимой погрешности
чертежа, то тренажер требует исправления, например: «Ваш чертеж требует
корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения биссектрис.
Задача 3. Дан параллелограмм с острым углом . На продолжении
стороны за точку взята точка такая, что , а на продолжении
стороны за точку взята такая точка , что
.
а) Докажите, что .
б) Найдите , если ,
.
40
Предлагаемое решение тренажера.
Дано: - параллелограмм, - острый, ,
а) Доказать: .
Доказательство. ,
т.к. и
также . Углы
и равны как вертикальные, тогда
и .
Следовательно
.
Таким образом, треугольники и
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно,
б) Найдите , если ,
.
Точки M, C, N и A лежат на одной окружности, описанной около
равнобедренных[ трапеций АМNC и АBCN. Рассмотрим треугольник AMN,
вписанный в окружность, в котором
Рассмотрим треугольник ACM, который также вписан в окружность, в
котором
. Таким образом,
Отв ет:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]