Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
51
1. Отрезок MN и основание AC.
2. .
У пользователя должно в итоге
получиться следующее:
Принципиальная схема реализации
проверки чертежа тренажером.
1. Так как ,
.
2. Так как центр вписанной
окружности есть точка пересечения
биссектрис, то
В тренажере реализуем оценку разностей:
.
Если погрешность не превышает требуемой величины, то тренажер чертеж
учитывает, как правильно выполненную конструктивную задачу, если
погрешность не удовлетворяет установленной уровни допустимой погрешности
чертежа, то тренажер требует исправления, например: «Ваш чертеж требует
корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения отрезков
, биссектрис».
§3. Методический аспект модели цифрового тренажера обучения
поиску решения задач
3.1. Обучение решению геометрических задач на доказательство
Решение задач играет одну из ведущих ролей в процессе обучения
математике. Под обучением доказательству понимают обучение учащихся
анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному
открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также
опровержение предложенных доказательств. Реализация требования доказать,
предполагает выполнение ряда действий, таких как преобразование требования
задачи в равносильное ему, сопоставление условия задачи с требованием
выведения следствий, поэтому добавим к этому определению овладение
логическими приемами работы с текстом задачи (формулировками теорем) а
52
также эвристическими приемами. Без овладения этими действиями в мышлении
обучающегося не возникает понимание алгоритмов или конкретных шагов,
которые продвинули бы его в доказательстве теоремы или решении задачи.
Рассмотрим геометрическую задачу базового уровня: «Обе диагонали
параллелограмма равны 41. Одна из сторон параллелограмма равна 9. Найдите
другую сторону параллелограмма». Предлагаем подумать, в чем причина
затруднений школьника при решении данной геометрической задачи?
На первых этапах изучения геометрии важно применять упражнения на
овладение умением извлекать информацию из условия и требования, вычленять
отдельные элементы, комбинировать их, выводить следствия, переформулировать
требование задачи. Рассмотрим упражнения, при выполнении которых ученики
приобретут первые навыки овладения перечисленных умений. Этап анализа
содержания задачи включает выяснение условия, заключения, выполнение
рисунка.
Пример 1. Точки А, В, С принадлежат одной прямой. При каком условии
точка С лежит между точками А и В?
Пример 2. На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С
лежит между точками А и В?
Пример 3. Даны углы АОС и АОВ. При каком условии луч ОС проходит
между сторонами угла АОВ?
Такие упражнения полезно предлагать при изучении соответствующих
фактов. Упражнение 2, к примеру, эффективнее использовать при изучении
основных свойств откладывания отрезков. Для овладения умением «выведение
следствий» из данных условий, нужно научить выделять утверждения,
являющиеся следствием данных. Ученики должны «видеть» различные связи
между объектами, данными в условии задачи. Однако не каждое из полученных
следствий может продвинуть решение задачи, использование некоторых
следствий может наоборот, затянуть решение задачи. Использование приема
«выведение следствий» не гарантирует получения нужного результата, однако
часто он бывает полезен в поиске идеи доказательства. Например, рассмотрим
следующие вопросы-задания.
1. Известно, что один из смежных углов тупой. Что следует из этого?
2. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных
прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?
3. Окружности с радиусами 30см и 40 см. касаются. Что следует из этого?
При выполнении этих упражнений внимание учеников акцентируем не на
решении, а на выведение следствий. Это подчеркивается в требовании задачи.
Полезным методическим приемом станет составление задач учениками из данных
утверждений и их следствий.
53
На первых уроках геометрии специальным предметом формирования
должен быть прием переформулирования требования задачи. Основным
средством формирования этого приема являются специальные упражнения.
Сущность этого приема состоит в замене требования задачи новым так, чтобы из
него вытекало первоначальное требование. Использование этого приема
предполагает владение приемами выведение следствий, подведение объекта под
понятие, навыками анализа ситуации. Т.е. этот прием более сложен, чем
предыдущие и потому его формированию надо уделить самое серьезное внимание
в процессе обучения поиску стратегии решения геометрических задач.
В процессе поиска решения задачи на доказательства часто приходится не
только осуществлять выведение следствий, заменять требование задачи новым,
равносильным первоначальному, но и самостоятельно формулировать
промежуточные задачи. Важно предлагать ученикам самостоятельно подобрать
вопрос к имеющемуся набору данных и решить полученную задачу.
Пример 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена
медиана ВМ. На ней взята точка К. Составьте несколько задач с данным условием
Пример 2. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, равна 40°. Сформулируйте несколько задач с данным условием.
Данный прием так же актуален и в старших классах при подготовке к ОГЭ
или ЕГЭ. В качестве типового задания, можно построить прямоугольный
треугольник, высоту к гипотенузе, задать синус одного из острых углов и
гипотенузу. Дать задание сформулировать вопрос задачи и решить свою задачу.
При изучении многогранников, задав некоторые значения, опять же дать волю
фантазии ребят, чтоб они просмотрели различные сюжеты задач, встречающиеся
в КИМ-ах профильного ЕГЭ.
Через реализацию перечисленных выше приемов обучения происходит
формирование умения составлять задачи, что имеет существенное значение в
формировании умения самостоятельно решать задачи. Ясно, что такая работа
необязательна при выполнении каждого упражнения, в большинстве случаев, она
выполняется устно в начале урока…в качестве актуализации знаний или в
процессе решения на уроках обобщения и систематизации.
Особенность представленных выше упражнений является их направленность
на формирование логических и эвристических приемов. Однако не менее важным
в решении геометрических задач является умение читать чертеж.
Если обратить внимание на новые учебники (Мерзляк, и т.д.) еще большее
число задач на доказательство в школьных учебниках заданы чертежом. Под
чтением чертежа понимают осознание чертежа в соответствии с условием задачи.
Умение читать чертеж - довольно сложное умение с непростым составом. В
основе лежат действия:
54
– простое вычленение фигур;
– сопоставимое вычленение фигур;
– распознавание фигур;
– переосмысливание элементов чертежа с точки зрения другого понятия;
– сравнение фигур;
– изменение взаимного расположение образов;
– изменение структуры образов.
Ключевым аспектом всего процесса поиска решения геометрической задачи
является выбор подходящей стратегии.
Исследователями данного вопроса обсуждаются следующие приемы:
- стратегия визуального представления;
- стратегии организации данных;
- стратегия учета всех возможностей;
- действие от обратного;
- анализ экстремальных ситуаций;
- принятия другой точки зрения;
- распознавание закономерности;
- решение более простой задачи с визуальным представлением (схематичным
изображением);
- учет всех возможностей;
- организацией данных и распознаванием закономерности.
Первая стратегия применима и к геометрическим задачам, особенно, из
раздела «Стереометрия». Например, рассмотрим задачу на доказательство
перпендикулярности плоскостей АА1М и ВСТ в правильной треугольной призме
АВСА1В1С
1,
где точка М-середина ребра В
1С1
, а точка Т – середина А1М.
Визуальное представление перпендикулярных плоскостей позволяет перейти к
пониманию необходимости применения признака перпендикулярности прямой и
плоскости. Большим подспорьем в применении этой стратегии является
стереометрический альбом программы «Живая математика», где анимация
выполненного чертежа позволяет «покрутить» и посмотреть фигуру со всех
сторон. Вторая стратегия подразумевает грамотную запись данных на
математическом языке, введение традиционных обозначений. Например, не
рекомендуется использовать обозначение точки буквой «О», если
рассматриваемая точка по условию задачи не является центром окружности.
Стратегия учета всех возможностей эффективна при условии, если в задаче не
обозначены «особые» условия, например, вид треугольника, при этом ученик
должен прийти к выводу, что треугольник тупоугольный и только в этом случае
выполняется условие задачи. Более конкретно с данным вопросом можно
ознакомиться в работах Позаментье А. и Тестова В.А.
55
Формирование умения решать задачи обеспечивает с одной стороны
процесс усвоения знаний и способов учебной деятельности, с другой стороны
реализует возможность применения конкретных способов действий на практике.
Кроме этого, обучение поиску решения задачи, является одной из основных
методических задач в процессе профессиональной подготовки будущего учителя
математики. Умение решать задачи эффективно формируется, если методика
обучения на уроках геометрии направлена не только на усвоение теоретических
знаний и опыта решения отдельных задач, но и на усвоение общих приемов и
методов поиска решения. Это требует целенаправленной методической работы
как в курсе дисциплин «Элементарная математика», так и в ходе изучения
«Методики обучения математики».
Как утверждают методисты-математики, такие как В.А. Гусев, Л.М.
Фридман, Г.И.Саранцев умение решать задачи эффективно формируется, если
методика обучения на уроках геометрии направлена не только на усвоение
теоретических знаний и опыта решения отдельных задач, но и на усвоение общих
приемов и методов поиска решения.
Исследователи данного вопроса выделяют четыре этапа решения задачи:
– работа с текстом задачи;
– этап поиска пути решения;
–запись решения;
–исследовательский этап.
Авторы различных теорий поиска решения геометрической задачи выделяют
следующие умения, которые лежат в основе деятельности по их решению:
– умение выполнять анализ текста задачи;
– умение выделить фигуры, подходящие под условие задачи;
– умение выявлять связи между геометрическими фигурами;
– умение устанавливать связи и отношения.
В трактовке В.А. Гусева первое умение есть суть «выделение элементов
задачи». Элемент задачи – это геометрические фигуры и отношения из текста
задачи. Среди основных отношений между геометрическими фигурами выделяют
равенство фигур, подобие фигур, параллельность и перпендикулярность.
Рассматривая этап анализа текста задачи, выявлено общее понимание
содержания работы с обучающимися над текстом задачи, через учебные действия:
«правильное чтение текста задачи», «разбиение текста задачи на условие и
требование», «выделение существенных свойств понятий». Выделение
существенных свойств понятий весьма полезно, так как данное умение позволяет
повторить определения понятий, систематизировать их и выявить неизвестные
элементы задачи. Многие учителя математики, особенно начинающие свою
профессиональную деятельность, этап анализа задачи, выделение элементов
56
задачи в реальной практике часто игнорируют, считая лишней и затратной по
времени. Необходимо понимать, что выделение элементов и отношений
определяет и направляет всю дальнейшую деятельность по решению задачи.
На этапе работы с текстом задачи можно выделить следующие стандартные
действия учителя по организации чтения текста задачи школьниками
индивидуально или одним из них «вслух», явное выделение условия и
требования. В методических пособиях рекомендовано также выяснить, о каких
фигурах идет речь. Можно рекомендовать школьникам элементы задачи
подчеркнуть цветным карандашом в тексте. Часто полезным оказывается прием,
основанный на операциях над геометрическими понятиями: обобщение и
ограничение.
Важно понимать необходимость на начальном этапе изучения
систематического курса геометрии рассмотрения со школьниками вопросов:
каким способом фигуры заданы, какие величины их характеризуют, как фигуры
взаимосвязаны условием расположения на плоскости по отношению друг к другу.
Важной составляющей методической подготовки будущего учителя является
интеграция содержания и форм работы с учебным материалом в курсе изучения
дисциплин «Элементарная геометрия» и «Методика обучения математике».
Содержание дисциплины «Элементарная математика» должно включать
знакомство с общематематическими методами доказательства и эвристиками.
Приведем пример одной из эвристических схем, которая может направлять поиск
решения задачи студентами.
1. Прочитайте текст задачи.
2.Выделите условие и требование задачи. Сделайте рисунок и подпишите
данные на чертеже, поставьте знак вопроса на отрезке, значение длины которого
нужно найти, или запишите что требуется доказать на математическом языке.
Если затрудняетесь, переформулируйте требование или замените равносильным
ему предложением.
3. Если в требовании задачи содержится термин, замените его определением
понятия, которое оно обозначает. Используйте признак понятия, если он есть.
4. Перечислите те математические утверждения, из которых следует
утверждение задачи.
5. Выделите информацию, на основании которой можно применить
утверждение, позволяющее «состыковать» условие и требование.
6. Перечитайте условие и выберите данные, из которых можно составить
соотношение, из которого следует требование задачи.
7. Если выбранный путь не помогает Вам в решении, попробуйте
перечислить все утверждения, которые следуют из условия задачи. Выберите то
57
утверждение или соотношение, которое позволит Вам «приблизиться» к
требованию задачи.
8. Если выбранный путь не помогает Вам в решении, попробуйте «разбить»
задачу на подзадачи, решение которых Вам уже известно.
9. Продолжайте рассматривать возможные пути, пока не установите
положение, из которого следует требование задачи.
Параллельно в курсе практических занятий по дисциплине «Методика
обучения математике» необходимо знакомить будущих учителей с действиями,
которые лежат в основе аналитико-синтетической деятельности:
– переформулирование требования задачи;
– выведения следствия; подведение объекта под понятие;
– чтение и анализ готовых чертежей;
– переходы от определения понятия к существенным свойствам,
– составление задачи и т.д.
Для успешного обучения геометрии необходимо понимать механизмы
мышления, или мыслительной деятельности. Рассматривая процесс обучения
поиску решения задач, необходимо в первую очередь думать о формировании
основных приемов мыслительной деятельности – об анализе и синтезе. В
методике преподавания математике под такими приемами, как «анализ» и
«синтез», традиционно понимают два противоположных по ходу движения мысли
вида рассуждений, которые применяются при решении задач: анализ –
рассуждение, идущее от того, что надо найти или доказать, к тому, что дано, или
уже установлено ранее; синтез - рассуждение, идущее в обратном направлении от
того, что дано к тому, что нужно доказать (построить, вычислить). В.А. Гусев
утверждал, что процесс формирования использования этих приемов должен
пронизывать все обучение в школе, так как важно и полезно постоянно отвечать
на вопросы: «Мы имеем некоторое утверждение, какие следствия из него можно
получить? Мы хотим доказать некоторое утверждение (или вычислить значение
величины), что для этого надо знать (вычислить)».
Рассмотрим реализацию перечисленных приемов и рекомендаций по
организации поиска решения задачи через проектирование цифрового симулятора
в основе которого лежит следующая геометрическая задача. «В равнобедренном
треугольнике боковая сторона 49, а основание 34. Докажите, что средняя линия
треугольника, параллельная основанию, пересекает вписанную в треугольник
окружность». С целью повышения предметной составляющей профессиональной
подготовки учителя математики, содержательную основу части симулятора в
формате тренажера составляет решение указанной геометрической задачи
повышенной сложности.
58
Опыт внедрения цифровых симуляторов в профессиональную подготовку
различных сфер деятельности определенно говорит об эффективности данного
средства. Изменения в подготовке будущих учителей связаны с требованиями к
информационной образовательной среде. В ходе изучения дисциплины
«Элементарная математика» предлагается использование авторской модели
цифрового тренажера и симулятора педагогической деятельности.
Приступая к работе на цифровом симуляторе, пользователь сначала проходит
тренажер по решению геометрической задачи, а затем принимает на себя роль
учителя по организации поиска решения данной задачи в виртуальном классе.
Только после этапа проверки программой уровня владения различными
способами решения задачи студент допускается к проведению виртуального
урока геометрии. Программой заложен выбор пользователем различных этапов
работы над задачей, наборы различных вопросов виртуальным школьникам по
анализу задачи. Пользователь самостоятельно решает проводить ли ему опрос
школьников, при необходимости выбирает определенного ученика, кликая по
нему мышкой. В ходе виртуального урока студент может проверить записи
ученика в тетради. При этом он должен контролировать временные затраты, так
как урок рассчитан на 40 минут и таймер в верхнем углу показывает виртуальное
время. Об эффективности выбранного пользователем методического приема или
метода поиска решения говорит верное решение задачи большей частью класса и
отсутствие непонимания учеником, которое демонстрирует аватар симулятора.
Симулятор проектируется таким образом, что на каждом этапе происходит
смена позиции действия учителя и виртуальных школьников, чтобы не было
жесткой конструкции и пользователь не мог выбирать опции с учетом
предыдущих попыток. В случае, если студент не разобрался в решении задачи на
этапе работы на тренажере, то он не допускается к работе в виртуальном классе.
Разнообразие сюжетных линий и набор геометрических задач обеспечивает
многоразовое его применение в курсе изучения дисциплин методического цикла
для выявления уровня овладения компетенций по планированию и проведению
учебного занятия; определить дефициты профессиональных умений.
По окончанию работы на экране в таблице программа представляет
результаты и возможный балл, который мог бы получить пользователь в
соответствии с определенными критериями. Результаты прохождения цифрового
симулятора пользователем сохраняются в системе moodle, через которую
осуществляется запуск программы, что позволяет проследить динамику
продвижений пользователя.
Проектирование фрагмента урока основана на визуализации чертежа по
тексту задачи в программе «Живая математика», различных форм работы с
классом по поиску решения задачи и анализ предложенного школьником
59
решения. Поиск методов и приемов поиска решения всем классом является
ключевым моментом создания модели симулятора.
Главная обучающая цель методической части симулятора – это добиться
понимания будущим учителем стратегии постановки вопросов и ответов на них.
Высокими баллами обозначена группа вопросов, ответы на которые учат делать
выводы, т.е. получать следствия из условий задачи. Роль «правильных действий и
вопросов» виртуального учителя в методической части цифрового симулятора
можно сформулировать так – учить делать выводы виртуальных обучающихся.
Так же предусмотрена постановка вопросов, с помощью которых учитель
«научит» виртуальных учеников выяснять причину появления того или иного
утверждения. Вопросы этого вида особенно важны для формирования
мыслительной деятельности обучающихся, так как формируя прием анализа,
будущий учитель, закладывает возможность использования признак понятия и
достаточное условие его существования.
Следует отметить, что процесс формирования умения будущего учителя
использовать приемы мыслительной деятельности лежит в основе модели второй
части симулятора по проведению фрагмента урока по поиску решения
геометрической задачи. Цифровой тренажер призван целенаправленно обучать
будущих учителей организовывать деятельность в классе, связанную с
овладением приемов «синтез» и «анализ». В симуляторе эта деятельность явно
заложена в систему вопросов, и выбор действий учителя предлагаемой на
определенных этапах пользователю программой. Преимущество цифрового
симулятора в том, что он позволяет зафиксировать результат выбора действий и
вопросов пользователя и сравнить их в динамике.
Использование тренажера по решению задач повышенной сложности и
симулятор виртуального урока могут стать эффективным инструментом для
отработки методических умений будущих педагогов в предметной области
«Математика».
3.2. Задания для самостоятельной работы
Требуется разработать процесс поиска решения следующих геометрических
задач после прохождения цифрового тренажера.
Задача 1.
Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со
стороной AB, точка M – середина AB.
а) Докажите, что
60
б) Найдите углы треугольника, если .
Задача 2. Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника A
BC. Точки I и J центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD
соответственно.
а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
б) Найдите IJ, если AC = 12,
.
Задача 3. Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана
в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус
окружности равен 12, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз
больше площади треугольника KNH.
Задача 4. Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают
описанную окружность в точках М и N. Известно, что ВСА = 85° и АВС = 40°
а) Докажите, что CN = BМ.
б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN,
если его высота ВН равна 7.
Задача 5. В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD.
Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении
стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что .
а) Докажите, что
б) Найдите EL, если
Задача 6. На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки
B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD
соответственно.
а) Докажите, что
.
б) Прямые и пересекаются в точке найдите отношение , если
.
Задача 7. В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что
AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на
прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что AB : BC = AE : EK.
б) Найдите отношение площади ABE к площади CDEF, если BD : DC = 5 : 2.
Задача 8. В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в
точке O, AD = 2BC. Через вершину A проведена прямая параллельная
диагонали BD, а через вершину D проведена прямая параллельная диагонали AC,
и эти прямые пересекаются в точке E.
а) Докажите, что BO : AE = 1 : 2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]