Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по элементарной математике с применением цифрового тренажера по решению геометрических задач. Учебно-методическое пособие для педагогов и об
.pdf
11
Рис.5
б) Пусть АА1 ВВ1 СС1 (рис.6).
Тогда,
АС
1
С
1
В
=
А
1
С
СВ
;
ВА
1
А
1
С
=
ВА
1
А
1
С
;
СВ
1
В
1
А
=
СВ
ВА
1
.
Перемножив эти равенства, получим (3).
Рис.6
Обратно. а) Предположим, что АА1 ВВ1 = R и имеет место (3).
Докажем, что R(СС1. Допустим, что СС1, то (СR)(АВ)= С
′
,тогда,
АС
1
С 1В
=
АС
'
С'В
С
1
=С
′
. Значит, АА1 ВВ1 СС1= R.
б) Пусть АА1 ВВ1 и имеет место (3). Необходимо доказать, что АА1
СС1, т.к. АА1ВВ1
СВ
1
В 1А
=
СВ
ВА
1
;
ВА
1
А
1
С
=
ВА
1
А
1
С
СВ
1
В
1
А
ВА
1
А
1
С
=
СВ
ВА
1
ВА
1
А
1
С
=
СВ
ВА
1
.
Тогда имеет место (3) лишь в том случае, когда
СВ
А
1
С
АС
1
С
1
В
= 1, значит,
СВ
А
1
С
С1В
АС
1
АА1СС1.
Очевидно, прямые, содержащие высоты, биссектрисы, медианы являются
чевианами.
Теорема Стюарта. Если прямая АD, треугольника АВС делит сторону ВС на
части ВD=m и СD=n, то
2=2+ 2- a
m
n, где d= АD. (7)
C
1B1
K
ABC
A
1
N
M
12
Доказательство.
Пусть [АН]- высота, то АDcos
АОВ=НD.
Применим теорему косинусов для треугольников
ВDА и АDС (рис.7):
2=2 2+ 2m DН, 2=2
2
- 2n DН.
Умножив первое равенство на n, а второе на m и
сложив их почленно, получим:
2+ 2 =
2
,
2= 2 +2
Следствие: m
=
2
2
2
2
, m– длина медианы,
=
2
,
– длина отрезка биссектрисы.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
Теорема 5. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
других сторон, то треугольник прямоугольный.
Доказательство. Пусть в треугольнике АВС: АВ2= АС2+ ВС2. Докажем, что
С=90˚. Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1, где
С
1
= 90˚,
А1С1=АС, ВС= В1С1, то по теореме Пифагора А1С
1
2
+ В
1С1
2
= А
1В1
2
, то есть
АС
2
+ ВС2= А
1В1
2
АВ2 А
1В1
АВ. Значит, АВС= А
1В1С1
С
С
1
=
=90˚.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними:
2=2 2- 2abcos.
Теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу
противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
2.
1.3. Свойства касательных, хорд, секущих
Всякая окружность разбивает множество точек плоскости на две области:
внешнюю и внутреннюю. Прямая и окружность не могут иметь более двух общих
точек. Если они имеют две общие точки, то прямую называют секущей.
Прямую, имеющую одну общую точку с окружностью, называют
касательной к окружности, при этом эту точку называют точкой касания.
Рис.7
13
Теорема 6. Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда,
когда она проходит через точку окружности перпендикулярно к радиусу,
проведённому в эту точку.
Доказательство.
Пусть l- касательная, т.е. = М. Доказать: [ОМ]
. Проведем перпендикуляр ОН к прямой. Тогда
[ОН]=[ОМ], иначе ОН<OM=r, т.е. Н- внутренняя точка.
Значит l- секущая, чего не может быть по условию. Итак,
[ОН]=[ОМ][ОМ]
Пусть - секущая (рис.8), l = М, где [ОМ] . Тогда
для любой точки А , отличной от М, имеем: ОА>ОМ.
Значит, точка М- единственная общая точка, т.е. l-
касательная.
Предложение 1. Пусть (О, r)- окружность и М – произвольная точка
плоскости, тогда если:
– М - внутренняя точка, то
(действительных) касательных к окружности
(О, r), проходящих через точку М, нет;
– М - точка окружности, то имеется
единственная касательная к этой окружности,
проходящая через точку М;
– М - внешняя точка окружности, то
существуют две касательные из точки М к
данной окружности, при этом: ОВМ= ОАМ
МВ=МА (рис.9).
Теорема 7. ( Об отрезках касательной и секущей).Если через точку М
проведена касательная к окружности в точке А и секущая, которая пересекает
окружность в точках В и С, то
=
МВ
МС (рис.10).
Доказательство.
Рассмотрим треугольники МАВ и
МСА, они подобны по двум углам:
М- общий, МАВ= МСА.
Значит,
=ВМ СМ.
О
M
А
A
B
О
M
A
CBM
О
Рис.8
Рис.10
Рис.9
14
A
D
C
BОM
Следствие. Для двух секущих имеет место МА МD = МВМС (рис.11).
Две произвольные точки А и В
окружности (О, r) разбивают окружность на
две дуги: АВ и АМВ. Эти дугам соответствуют
центральные углы АОВ. Градусной мерой дуги
называется градусная мера соответствующего
центрального угла. Градусную меру дуги АВ
обозначают так: , заметим, что если М АВ,
то + =
.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность,
называется вписанным углом.
Теорема 8. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая.
1) Центр О окружности лежит на стороне угла (рис.12).
Треугольник АОС равнобедренный. В силу теоремы о
внешнем угле треугольника АОС, имеем:
СОВ
= 2 САВ
САВ
СОВ
СВ.
2) Центр О окружности является внутренней точкой
угла САВ (рис.13).
Разобьём угол САВ на два угла САD и DАВ, то СА
С; АВ
В. Значит, СА
С В
СВ
.
3) Центр О окружности- внешняя точка вписанного угла
САВ (рис.14).
Проведём диаметр [АD] окружности. Тогда одна из сторон
угла САВ становится внутренним лучом вписанного угла;
пусть для определённости [АС)- внутренний луч угла DАВ.
Тогда, САВ
АВ
АС
=
В
-
С
=
СВ
.
A
C
B
О
Рис. 11
Рис.12
Рис.13
Рис.14
15
Следствие. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу, равны.
Теорема 9. Если две хорды окружности
пересекаются, то произведение отрезков одной хорды,
равно произведению отрезков второй хорды.
Доказательство.
Требуется доказать, что АММВ=DММС (рис.15).
Треугольники АМD и СМВ подобны по двум углам, то
АМ
СМ
=
М
МВ
АМ
МВ= DМ МС.
Предложение 2. Угол, образованный между двумя пересекающимися
хордами измеряется полусуммой дуг, заключённых между
его сторонами и их продолжениями.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АСЕ (рис.16). Применим
теорему о внешнем угле:
АЕ
АС
ВСА
=
А
+
СВ
= =
А
+СВ
Предложение 3. Угол, образованный между двумя секущими, измеряется
полуразностью дуг, заключённых между его сторонами.
Предложение 4. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется
половиной дуги, заключённой внутри него.
Предложение 5. Угол, составленный касательной и секущей, измеряется
полуразностью дуг, заключённых между его сторонами.
Замкнутая ломаная называется простым многоугольником, если её смежные
звенья не лежат на одной прямой, а несмежные звенья не имеют общих точек.
Многоугольник называется выпуклым, если каждая прямая, проходящая
через две его соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой
лежат остальные вершины многоугольника.
1.4. Вписанные и описанные четырёхугольники
Приведем ряд важных утверждений для четырехугольника.
Предложение 1. Около выпуклого четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 1800
(рис.17):
.
Рис.15
Рис.16
16
Значит, около трапеции можно описать окружность
тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Предложение 2. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность
тогда и только тогда, когда суммы длин
противоположных сторон равны (рис.18):
.
Предложение 3. (Теорема Птолемея.) Во всяком четырехугольнике,
вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон
равна произведению длин его диагоналей (рис.19):
.
Предложение 4. Первая теорема косинусов для четырёхугольника). Если
известны три стороны и два угла, заключённые между данными сторонами
четырёхугольника, то четвёртая сторона, может быть, вычислена по формуле
= + +
2a
bcos- 2bc cos+ 2ac cos ( ) (рис.19).
, , ,,
,,,
.
Предложение 5. (Вторая теорема косинусов для четырёхугольника).
= +
- 2abcd
cos ( ).
A
D
B
C
A
D
B
C
c
abd
A
D
B
C
Рис.17
Рис.18
Рис.19
17
Теорема 10. Сумма всех углов выпуклого n-угольника равна (n-2)180˚.
Доказательство. Теорему докажем методом математической индукции. При
n=3 утверждение верно.
Предположим, что утверждение верно для k-угольника, где kn, докажем,
что утверждение справедливо при n= k +1.
Пусть АА
А
А
- выпуклый (k+1)-угольник. Диагональю [А
А
]
многоугольник разбивается на треугольник ААА
и выпуклый к-угольник
А
А
По предположению индукции, сумма углов выпуклого k -угольника
равна (k-2)180˚. Учитывая, что сумма углов треугольника А
АА
равна 180˚,
имеем, что искомая сумма равна: (k -2)180˚+180˚=( k +1–2) 180˚=(n-2) 360˚.
Следствие 1. Сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна 360˚.
Следствие 2. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по
одному при каждой вершине, равна 360˚.
Доказательство: каждый внешний угол и соответствующий угол
многоугольника в сумме составляют 180˚, то сумма внешних углов, есть разность:
180˚n – (n-2)180˚=360˚.
§2. Содержательная модель цифрового тренажера
2.1. Конструктивная модель цифрового тренажера
Ключевым аспектом процесса решения любой математической задачи
является выбор подходящей стратегии и математического аппарата, определение
оптимального метода. В современной системе образования появилась тенденция
внедрения цифровых учебно-методических комплексов, учебных симуляторов,
тренажеров и виртуальных лабораторий.
В предлагаемом пособии кратко рассмотрим некоторые элементы
эксперимента по внедрению авторского цифрового тренажера по решению
геометрических задач и симулятора педагогической деятельности в процесс
подготовки будущих учителей математики. Эксперимент осуществлялся в
Набережночелнинском государственном педагогическом университете. Задачи
экспериментальной части исследования нацелены на реализацию мониторинга
формируемых компетенций учителя математики, а также готовности студентовпрактикантов к обучению поиску стратегии решения задачи. Авторами также
приводится оценка внедрения разработанного тренажера-симулятора на основе
статистической обработки результатов эксперимента с использованием аппарата
статистического анализа [7].
18
Приведем некоторые элементы конструктивной модели разработанного
цифрового тренажера авторами в качестве применения в учебном курсе таких
дисциплин как элементарная геометрия и методика обучения математике.
Сюжет цифрового тренажера построен на основе блока геометрических
задач курса элементарной геометрии и основан на формировании стратегии
поиска решения геометрических задач. Структура разработанного авторами
цифрового продукта состоит из двух модулей, предназначенных соответственно
двум целям. Первый модуль нацелен на формирование и проверку предметных
компетенций, а именно применение математического аппарата пользователем. Он
представлен в виде цифрового тренажера по формированию различных способов
и методов решения геометрических задач. Второй модуль нацелен на
формирование педагогических умений и проверку уровня профессиональных
компетенций пользователя в виртуальном классе и представлен цифровым
симулятором педагогической деятельности. Таким образом, реализован авторский
подход комбинации цифрового тренажера и виртуального симулятора, несущих
двоякую роль: обучающую и контролирующую.
Начальным элементом в конструкции первого модуля цифрового
тренажера является некоторая математическая задача. Например, следующего
содержания.
Задача 1. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника
равны 34 и 49 соответственно,
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию,
пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри
окружности.
Цифровой тренажер запрограммирован так, что при каждом входе
пользователю предлагается вышеуказанная задача с различным набором данных.
Эта часть цифрового тренажера осуществляет проверку геометрических
знаний и может быть полезным не только для студентов и учителей математики,
но и для пользователей старших классов в процессе подготовки к Единому
Государственному экзамену по математике.
Изложим некоторые ключевые моменты первого модуля:
– после знакомства с задачей пользователю предлагается построить чертеж
к ней в некотором графическом редакторе (предлагается применить УМК «Живая
математика», «Geometer's Sketchpad»). Выполненный чертеж проверяется
тренажером. Предварительно в тренажере устанавливается уровень допустимой
погрешности чертежа. Если погрешность чертежа допустимая, то симулятор
предлагает перейти на следующий этап работы с задачей,
– при затруднении пользователя тренажер также предлагает:
19
а) соответствующие подсказки к построению чертежа;
б) соответствующие подсказки к решению предложенной задачи,
– пользователь в ходе самостоятельного решения задачи может
воспользоваться:
а) готовым решением аналогичной задачи;
б) выбором правильного решения из предложенных решений тренажера.
Работа в первом модуле завершается вводом ответа к задаче. Если
пользователь решил задачу верно, то тренажер допускает его ко второму модулю
– методическому, то есть к работе в симуляторе с виртуальным классом.
Рассмотрим предлагаемый вариант тренажера.
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
– средняя линия
треугольника АВС, О – центр
окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия
MN пересекает окружность,
вписанную в треугольник.
Доказательство: квадрат
отрезка касательной от точки А до
точки касания равен произведению
длины отрезков секущей от точки А
до точек ее пересечения с
окружностью:
значит,
где
. Катет АН в треугольнике АВН определяется теоремой
Пифагора
.
Тогда
.
. Итак, ,
значит, радиус ОТ рассматриваемой окружности больше расстояния ОК от ее
центра до средней линии MN треугольника ABC.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка.
20
Решение: пусть , тогда по свойству пересекающихся хорд
где
так как К середина хорды и точка средней линии,
то PK=KQ и В итоге имеем:
откуда
и .
Ответ: .
Предлагаемое решение тренажера.
Дано:
– средняя линия треугольника АВС,
О – центр окружности, вписанной в
треугольник АВС.
а) Доказать, что средняя линия MN
пересекает окружность, вписанную в
треугольник.
Доказательство. Предположим, что
средняя линия MN лишь касается
окружности, вписанной в треугольник АВС, то
есть в равнобедренную трапецию
вписана окружность, что возможно лишь тогда
и только тогда, когда
,
по другому . Однако, для точек и - середины сторон и
соответственно, имеем: . Значит, окружность и средняя линия
либо не имеют общие точки: случай , либо пересекаются:
случай . Так как
, т.е. ,
значит, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри
отрезка.
Пусть средняя линия пересекает окружность в точках P и Q. Применим
свойство секущей и касательной Квадрат отрезка касательной от точки
до точки касания равен произведению длины отрезков секущей от точки до
точек ее пересечения с окружностью:
.
Для этого вычислим ,
и
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]