Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-технологическая академия
А. С. ЧЕРЕПАНЦЕВ
В. В. СЕМЕНИСТЫЙ
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ИРТСУ ЮФУ
ПО НАПРАВЛЕНИЯМ САМОЛЕТО-ВЕРТОЛЕТОСТРОЕНИЕ,
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ И ДВИГАТЕЛЕЙ
Учебное пособие
в двух частях
Часть 1
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2021
УДК 517/519(075.8)
ББК 22.11я73
Ч-46
Печатается по решению кафедры высшей математики Института
компьютерных технологий и информационной безопасности
Южного федерального университета (протокол № 8 от 21 апреля 2021 г.)
Рецензенты:
профессор кафедры теоретической, общей физики и технологии
ТИ им. А. П. Чехова (филиал) РГЭУ РИНХ,
доктор физико-математических наук А. И. Жорник
доцент кафедры высшей математики ИКТИБ ИТА ЮФУ,
кандидат технических наук Н. Е. Сапунцов
Черепанцев, А. С.
Ч-46 Основы высшей математики. Для технических специальностей
ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей : учебное пособие : в 2 ч. / А. С. Черепанцев, В. В. Семенистый ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство
Южного федерального университета, 2021.
ISBN 978-5-9275-3897-3
Часть 1. – 138 с.
ISBN 978-5-9275-3898-0 (Ч.1)
Учебное пособие "Основы высшей математики. Часть 1" представляет собой
систематизированное изложения основных понятий алгебры и геометрии, изучаемых в курсе "высшая математика" в соответствии с учебным планом образовательных направлений "самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей" в ИРТСУ ЮФУ. Пособие направлено на воспитание у слушателей понимания языка математики при формулировке математических понятий и доказательств основных утверждений.
УДК 517/519(075.8)
ББК 22.11я73
ISBN 978-5-9275-3898-0 (Ч.1)
ISBN 978-5-9275-3897-3
© Южный федеральный университет, 2021
© Черепанцев А. С., Семенистый В. В., 2021
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 7
ЛЕКЦИЯ 1 .......................................................................................... 11
1.1. Введение. Понятие комплексного числа ............................................ 11
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа ..................................... 13
1.3. Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел ..... 14
1.4. Вычитание и деление комплексных чисел ......................................... 15
1.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел ........................ 15
ЛЕКЦИЯ 2 .......................................................................................... 17
2.1. Неравенства треугольника .................................................................. 17
2.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ............................. 17
2.3. Показательная форма комплексного числа ........................................ 20
2.4. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ..... 21
ЛЕКЦИЯ 3 .......................................................................................... 23
3.1. Понятие матрицы................................................................................. 23
3.2. Действия над матрицами ..................................................................... 25
3.3. Определитель квадратной матрицы ................................................... 28
ЛЕКЦИЯ 4 .......................................................................................... 30
4.1. Свойства определителя матрицы второго и третьего порядка ......... 30
4.2. Понятие определителя матрицы n порядка. Свойства
опеделителя матрицы n порядка ......................................................... 32
4.3. Обратная матрица ................................................................................ 34
ЛЕКЦИЯ 5 .......................................................................................... 38
5.1. Ранг матрицы ....................................................................................... 38
5.2. Система линейных алгебраических уравнений ................................. 39
5.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений
с помощью определителя матрицы .................................................... 42
ЛЕКЦИЯ 6 .......................................................................................... 45
6.1. Метод последовательныхисключений неизвестных
(метод Гаусса) ...................................................................................... 45
6.2. Исследование системы линейных алгебраических уравнений ......... 48
ЛЕКЦИЯ 7 .......................................................................................... 51
7.1. Понятие вектора в пространстве ........................................................ 51
Содержание
4
7.2. Операции над векторами в координатном представлении ................ 52
7.3. Скалярное произведение векторов ...................................................... 54
7.4. Правые и левые системы координат ................................................... 56
ЛЕКЦИЯ 8 .......................................................................................... 57
8.1. Векторное произведение двух векторов ............................................. 57
8.2. Смешанное произведение трех векторов ............................................ 59
8.3. Линейная независимость векторов ..................................................... 61
ЛЕКЦИЯ 9 .......................................................................................... 64
9.1. Уравнение поверхности ....................................................................... 64
9.2. Плоскость в пространстве ................................................................... 65
9.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору ............................................................. 65
9.2.2. Нормальное уравнение плоскости................................................ 66
9.2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки................... 67
9.3. Взаимное расположение двух плоскостей .......................................... 68
9.4. Угол между двумя плоскостями ......................................................... 69
9.5. Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое уравнение
прямой .................................................................................................. 69
9.5.1. Параметрические уравнения прямой ........................................... 69
9.5.2. Канонические уравнения прямой ................................................. 70
9.5.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ....... 70
9.6. Угол между двумя прямыми ............................................................... 70
9.7. Взаимное расположение прямых в пространстве .............................. 71
ЛЕКЦИЯ 10 ........................................................................................ 72
10.1. Пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой ............... 72
10.2. Взаимное расположение прямой и плоскости .................................. 73
10.3. Угол между прямой и плоскостью .................................................... 74
10.4. Расстояние от точки до плоскости .................................................... 75
10.5. Кривые второго порядка. Общее уравнение .................................... 76
10.6. Окружность ........................................................................................ 76
10.7. Эллипс ................................................................................................ 77
ЛЕКЦИЯ 11 ........................................................................................ 79
11.1. Анализ формы эллипса на основе его уравнения ............................. 79
11.2. Гипербола ........................................................................................... 80
11.3. Анализ формы гиперболы на основе ее уравнения .......................... 81
Содержание
5
11.4. Асимптоты гиперболы ...................................................................... 82
11.5. Парабола ............................................................................................ 83
11.6. Исследование формы параболы по ее уравнению ........................... 84
11.7. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду ....................................................................... 85
11.7.1. Случай B=0 ................................................................................. 85
11.7.2. Случай В0 .................................................................................. 86
ЛЕКЦИЯ 12 ........................................................................................ 87
12.1. Поверхности второго порядка .......................................................... 87
12.2. Поверхности вращения ..................................................................... 88
12.2.1. Эллипсоид ................................................................................... 88
12.2.2. Однополостный гиперболоид .................................................... 89
12.2.3. Двуполостный гипеболоид ........................................................ 89
12.2.4. Конус второго порядка ............................................................... 90
12.2.5. Эллиптический параболоид ....................................................... 91
12.3. Гиперболический параболоид ....................................................... 91
12.4. Цилиндрическая поверхность ........................................................... 92
ЛЕКЦИЯ 13 ........................................................................................ 93
13.1. Понятие линейного пространства ..................................................... 93
13.2. Линейная зависимость и независимость векторов линейного
пространства ...................................................................................... 94
13.3. Размерность и базис линейного пространства ................................. 96
13.4. Координаты вектора линейного пространства ................................ 96
13.5. Ранг системы векторов линейного пространства ............................ 97
13.6. Переход к новому базису ................................................................ .. 98
ЛЕКЦИЯ 14 ...................................................................................... 100
14.1. Связь между координатами вектора в различных базисах ........... 100
14.2. Евклидово пространство ................................................................. 101
14.3. Норма вектора (элемента) евклидова пространства ...................... 102
14.4. Угол между двумя векторами евклидова пространства ................ 103
14.5. Ортонормированный базис ............................................................. 104
14.6. Выражение скалярного произведения через координаты
векторов в ортонормированном базисе .......................................... 105
ЛЕКЦИЯ 15 ...................................................................................... 107
15.1. Линейное преобразование и его матрица ....................................... 107
Содержание
6
15.2. Линейное преобразование в координатах ...................................... 109
15.3. Зависимость между матрицами одного и того же
преобразования в различных базисах ............................................ 110
15.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования ......... 112
ЛЕКЦИЯ 16 ...................................................................................... 114
16.1. Собственные векторы линейного преобразования ........................ 114
16.2. Собственные значения и собственные вектора
симметрической матрицы ................................................................ 116
16.3. Приведение матрицы линейного преобразования
к диагональному виду ...................................................................... 117
16.4. Действия над линейными преобразованиями ................................ 118
ЛЕКЦИЯ 17 ...................................................................................... 120
17.1. Понятие множества .......................................................................... 120
17.2. Операции над множествами ............................................................ 121
17.3. Множество вещественных чисел .................................................... 122
17.4. Числовая последовательность. Ограниченные и
неограниченные числовые последовательности ............................ 124
17.5. Монотонные числовые последовательности .................................. 125
17.6. Второй замечательный предел. Число е ......................................... 126
ЛЕКЦИЯ 18 ...................................................................................... 128
18.1. Примеры последовательностей ....................................................... 128
18.2. Понятие функции ............................................................................. 129
18.3. График функции ............................................................................... 131
18.4. Предел функции ............................................................................... 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................ 134
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................. 137
7
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время активно используются формы обучения и контроля
знаний, основанные на самостоятельной работе. В данном процессе исключается или существенно минимизируется непосредственный контакт учителя с обучаемым. Это и интерактивные интернет-формы обучения и различные тест-системы контроля знаний, единые формы государственных экзаменов и т.д. Актуальность подобного подхода имеет ряд объективных
причин, связанных как с попыткой уйти от индивидуального подхода к
каждому обучающемуся и унифицировать методики и требования к учебному процессу и получаемым навыкам, опыту ведущих зарубежных
университетов, так и внешним факторам сложной санитарноэпидемиологической обстановки.
Такой современный подход к контролю математических знаний, как
правило, основывается на получении навыков в решении практических заданий и контролю соответствующих навыков. Часто такой подход отражается и в соотношении веса практических и теоретических знаний в выставляемой оценке по математической дисциплине. Именно, получение практических навыков решения математических задач представляется актуальным при получении высшего технического образования.
Однако, автору ближе несколько другой подход к обучению математическим дисциплинам в техническом вузе. Успехи в изучении математики
часто принято характеризовать как наличием математического склада ума,
так и отсутствием способностей в данной области. И в этом смысле –
"математический склад ума" определяет некоторый способ думать, анализировать процессы с которыми сталкивается человек в жизни. И задача
преподавания математики в техническом вузе необходимо включает обучению навыкам математического подхода к анализу специализированных
тем изучаемой специальности.
Под математическим способом мышления понимаетсяспециальная
форма рассуждений на основе математической логики. Такой способ применим в различных областях фундаментальной и технической науки в
физике, химии, биологии, экономике и т.д.Такой способ применим даже в
наших размышлениях о повседневных делах и заботах.
Введение
8
Для представления своих мыслей и коммуникации человек использует
тот или иной язык, наиболее адекватный для полноты подобного представления. Это могут быть национальные языки повседневного общения, языки
музыки, танца, мимики и т.д. Особое место в этом ряду занимает математический язык. Еще Г. Галилей в 16 в. отметил, что книга природы написана
на языке математики. Он оказывается хорошо приспособленным для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Наример, каким образом в физических терминах описать гравитацию, электромагнетизм? Их можно представить только математически как определенные количественные соотношения в законах, фиксируемых показателями.
Актуальность освоения математического языка при описании процес-
сов в сложных технических процессах очевидна. Для получения такой компетенции акцент в обучении на решение практических задач не полностью
корректен. Получение навыка выполнения последовательности вычислительных действий для получения решения стандартных типов задач недостаточно развивает именно способность математического мышления. Более
глубокое понимание решения подразумевает, что практические занятия являются лишь закреплением и иллюстрацией теоретического материала, даваемого в курсе лекций. Именно лекционный курс представляет собой последовательное определение элементов и понятий языка математики, изложение логики операций с данными элементами построением слов и преложений в виде утверждений и логики их доказательств. Понимание и приобретение самостоятельного навыка подобного изложения является основой
развития математического мышления как важнейшего методологического
подхода к решению современных, сложнейших задач при разработке и эксплуатации высокотехнологичных объектов.
Для понимания основ языка математики и использования его в прак-
тических задачах, представленное пособие включает не только определения основных понятий математики, но и формулировки, и доказательства
основных свойств математических объектов.
А. С. Черепанцев
Введение
9
Данное пособие представляет собой изложения курса лекций по высшей математике, читаемых в первом семестре студентам специальностей
"самолето-вертолетостроение" и "техническая эксплуатация летательных
аппаратов и двигателей" института радиотехнических систем и управления
ЮФУ, но может быть использовано и студентами других специальностей.
Лекционный курс посвящен изучению основ теории комплексных чисел, векторной и линейной алгебры, а также аналитической геометрии. По
ходу изложения курса даются определения основных математических понятий и доказываются основные математические утверждения. Курс максимально математически упрощен, с одной стороны, для более полного его
восприятия, с другой стороны, из-за ограниченного количества учебных
часов,отведенных на его изучение. Надо отметить, что такое упрощение частично влияет на математическую строгость изложения, но уровень изложения достаточен для математического образования студентов технических специальностей. Для более полного и глубокого понимания теоретического материала в курсе разобранобольшое число примеров и приведены
многочисленные иллюстрации.
Особенностью изложения материала курса являются сокращения, используемые в тексте лекций. Это позволяет более компактно и рационально
изложить материал, правда немного затрудняет его восприятие.
Учебное пособие представляет собой последовательное изложение
18-ти лекций, рассчитанных на 36 академических часов (одна лекция соответствует двум академическим часам).
С целью предоставления возможности расширения знаний и более
полного освоения тем лекционного курса, в разделе "Список литературы"
представлен список дополнительных литературных источников с более
полным изложением рассмотренных в пособии разделов математики.
В работе [1] дается необходимая краткая теоретическая информация
для решения практических задач курса "высшая математика". В [1] имеется
большое число вариантов практических задач для всех основных разделов.
Последовательное изложение основных понятий векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры представлено в [2]. Язык изложения адаптирован для учащихся, делающих первые шаги в изучении математики. Для более глубокого понимания роли и места математики как
языка описания процессов в физике и технике рекомендуется работа [3].
Введение
10
Авторы являются выдающимися учеными как в области математики, так и
физики. Для более подробного изучения рассматриваемых в пособии разделов математического анализа можно порекомендовать работы [4], [5],
[10]. Сочетание краткости изложения и математической строгости приводимых формулировок по основным разделам математики характерно для
[6] и может быть рекомендовано для получения более полной информации
о рассматриваемых в пособии тем. Курс математики с изложением основных разделов, адаптированных к специфике преподавания в технических
вузах, представлен в работах [7], [8], [9], которые могут быть рекомендованы для более глубокого изучения математики студентами технических специальностей.
В заключение следует отметить, что данное учебное пособие пред-
ставляет первую часть курса высшей математики, охватывающую алгебраические и геометрические разделы учебной программы.
Учебное пособие может быть рекомендовано всем желающим изучить
курс высшей математики.
В. В. Семенистый
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]