Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
5.2. Система линейных алгебраических уравнений
41
МТР
11 12 1 1
21 22 2 2
12
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
A
, образованная из основной МТР
добавлением к ней столбца из свободных членов, называется расширенной
МТР системы.
Определим также матрицу-столбец неизвестных и матрицу-столбец
правой части
1
2
...
m
x
x
x
X
,
1
2
...
m
b
b
b
B
.
Поскольку основная МТР А согласована с матрицей-столбцом X, то
можно найти их произведение AX.
Результатом произведения являются левые части уравнений системы
(5.1). Можно записать
АХ = В. (5.3)
Это и есть матричная форма СЛАУ (5.1).
Если (с1 , с2 ,..., сn) – решение системы (5.1), то матрица-столбец
1
2
...
m
c
c
c
C
есть решение системы (5.3).
Понятие «решить СЛАУ» означает:
установить совместность системы;
в случае существования решения – найти это решение.
Лекция 5
42
5.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений
с помощью определителя матрицы
Рассмотрим следующую СЛАУ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
....
... .
nn
nn
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Основной ОМ данной СЛАУ называется ОМ А составленный из ко-
эффициентов уравнений этой системы. Обозначим его через (= det А).
Обозначим через
k
ОМ, полученный заменой в основном ОМ
–
столбца из коэффициентов при неизвестной хk столбцом свободных членов
системы, т.е.
11 1 1
21 2 2
1
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
kn
kn
n nk nn
a a a
a a a
a a a
,
11 1 1
21 2 2
1
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
n
n
k
n n nn
a b a
a b a
a b a
, где k=1,2,...,n .
Теорема 5.1. Если ОМ основной МТР линейной системы n уравне-
ний с n неизвестными отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение
12
12
, , ...., .
n
n
x x x
Доказательство 5.1. Рассмотрим уравнение (5.3). По условию
det 0 A
. Поэтому для МТР А существует ОБМ A-1. Умножая обе части
равенства (5.3) слева на МТР A-1, получим
A-1АХ=A-1В.
Учитывая, что A-1А=Е, и ЕХ=Х, получаем
X=A-1 В. (5.4)
Это матричное решение СЛАУ. Равенство (5.4) можно записать как
5.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью определителя…
43
11 21 1
11
12 22 2
22
12
12
...
...
... ... ...
... ... ...
1
...
... ... ...
... ... ...
...
n
n
k k nk
kk
n n nn
nn
A A A
xb
A A A
xb
A A A
xb
A A A
xb
, или
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
...
...
... ...
1
...
... ...
...
nn
nn
k k k nk n
n n n nn n
x A b A b A b
x A b A b A b
x A b A b A b
x A b A b A b
.
Рассмотрим элементы МТР в правой части равенства. Для этого
учтем, что при замещении k-го столбца в матрице системы А столбцом B
11 1 1 11 1 1
21 2 2 21 2 2
11
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
k n n
k n n
n nk nn n n nn
a a a a b a
a a a a b a
a a a a b a
в соответствии с теоремой за-
мещения 4.7, справедливо
11 1 1
21 2 2
1 1 2 2
1
... ...
... ...
...
... ... ... ... ...
... ...
n
n
k k n nk k
n n nn
a b a
a b a
b A b A b A
a b a
.
Таким образом, получаем искомую формулу:
k
k
x
, k=1,...,n.
Доказанная теорема называется теоремой Крамера, а формулы реше-
ния
формулами Крамера.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение, то
ее ОМ равен нулю. Действительно, если
0,
то СЛАУ имеет един-
ственное нулевое решение (так как все
0
k
, k =1, 2,..., n, поскольку со-
держат нулевой столбец).
Пример. Решить систему уравнений
х2у+3z = 2,
4xу+5z = 15,
6х8у+7z=9.
1 2 3
4 1 5 49 0
6 8 7
, т. е. решение существует и оно единственно.
Лекция 5
44
1
2 2 3
15 1 5 147
9 8 7
,
2
1 2 3
4 15 5 98
6 9 7
,
3
1 2 2
4 1 15 49.
6 8 9
147
3
49
x
,
98
2
49
y
,
49
1
49
z
.
45
ЛЕКЦИЯ 6
Сокращения, используемые в тексте:
РМ – ранг матрицы
ММ – минор матрицы
СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений
МПИ – метод последовательного исключения
Метод Гаусса решения СЛАУ. Теорема Кронекера – Капелли. РМ совместной системы. Базисные неизвестные совместной СЛАУ.
6.1. Метод последовательныхисключений неизвестных (метод Гаусса)
Пусть дана СЛАУ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
....
... .
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(6.1)
МПИ неизвестных (или метод Гаусса), применяемый для решения
СЛАУ, состоит в следующем.
Без нарушения общности предположим, что а110. Если это не так пе-
ренумируем уравнения, чтобы а110.
Проведем элементарные преобразования, в результате которых обну-
ляем первый столбец матрицы системы, кроме первого ведущего элемента.
Для этого первое уравнение системы (6.1) последовательно умножаем на
коэффициенты
21
11
,
a
a
31
11
a
a
,…,
111n
a
a
и прибавляем соответственно ко вто-
рому, третьему и т.д. n-му уравнениям системы.
В результате получаем укороченную СЛАУ следующего вида
Лекция 6
46
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
32 2 3 3
22
... ,
... ,
...
....
... ,
nn
nn
nn
m mn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x a x b
(6.2)
где
ik
a
(i = 2, 3, ..., m; k = 2, 3,...., n) – преобразованные коэффициенты.
Предполагая, что
22
0a
и не трогая первые два уравнения системы
(6.2), преобразуем остальные уравнения (аналогично предыдущему) так,
чтобы обнулились элементы второго столбца матрицы системы, располо-
женные ниже главной диагонали.
Продолжая МПИ, система (6.1) приводитсяк одной из следующих си-
стем специального вида:
треугольного:
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
... ,
... ,
... ,
....
,
nn
nn
nn
nn n n
c x c x c x c x d
c x c x c x d
c x c x d
c x d
(6.3)
где диагональные коэффициенты
kk
c
0 (k = 1, 2, ..., n).
трапециодального:
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
... ... ,
... ... ,
.....
... .
k k n n
k k n n
kk k kn n k
c x c x c x c x d
c x c x c x d
c x c x d
(6.4)
В системе (6.4) все уравнения, начиная с k+1-го, отсутствуют (линей-
ная комбинация остальных уравнений).
ступенчатого:
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
... ,
... ,
....
0 .
nn
nn
nk
c x c x c x d
c x c x d
xd
(6.5)
В системе (6.5) есть нулевые диагональные коэффициенты.
6.1. Метод последовательныхисключений неизвестных (метод Гаусса)
47
Треугольная система (6.3) имеет единственное решение. Элементы
вектора решения находятся на обратном ходе МПИ. Последняя координата
хn находится из последнего уравнения, значение х
n-1
из предпоследнего и
т.д., значение х1 из первого.
Определим бесконечное множество решений системы трапециодаль-
ного вида (6.4). Так как РМ системы здесь равен k, то можно выразить первые k переменных через остальные n-k неизвестных (х
k+1
, х
k+2
,...,xn). В полу-
ченных формулах, выражающих х1, х2,...,xk через неизвестные х
k+1
, х
k+2
,..., xn,
свободные переменные х
k+1
, х
k+2
,...,xn могут принимать любые значения.
Ступенчатая система (6.5) несовместна. В частности переменная xn не
определенна (
0
k
d
).
К любой произвольной СЛАУ можно применить МПИ, при этом пре-
образования можно совершать не с уравнениями, а с матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
Пример. Решить СЛАУ х1+х2+4х3+3х4=2,
х
1
х2+12х3+6х4=6,
4х1+4х
2
4х3+3х4=0,
2х1+2х2+8х
3
3х4=1.
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее
1 1 4 3 2 1 1 4 3 2
1 1 12 6 6 0 2 8 3 4
4 4 4 3 0 0 0 20 9 8
2 2 8 3 1 0 0 0 9 3
.
Преобразованная МПИ матрица получается из исходной с помощью
вычитания из второй строки первой, из третьей строки четырех первых и из
четвертой строки двух первых. Матрица системы треугольного вида. Получаем единственное решение
1 2 3 4
1 1 1 1
, , ,
2 2 4 3
x x x x
.
Пример. Решить СЛАУ х1+х2+х3+х4=5,
2x
1
3х2+х
3
x4=0,
5х1+4х3+2х4=12,
3х1+4х
2
2х3+6х4=1.
Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее МПИ
Лекция 6
48
1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5
2 3 1 1 0 0 5 1 3 10 0 5 1 3 10
5 0 4 2 12 0 5 1 3 13 0 0 0 0 3
3 4 2 6 1 0 1 5 3 16 0 1 5 3 16
.
Если переставить последние два уравнения, то получим систему,
матрица которой ступенчатого вида. Система несовместна.
Пример. Решить СЛАУ х1+х2+х
3
х4=1,
3x1+х2+2х
3
2x4=2,
2х
1
4х
2
3х3+6х4=7,
7х1+5х2+6х
3
6х4=6.
Преобразуя систему МПИ, получаем систему с матрицей трапецио-
дального вида.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 2 2 2 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1
2 4 3 6 7 0 6 5 8 5 0 0 2 5 8
7 5 6 6 6 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0
.
Выпишем ненулевые уравнения
х1 + х2 + х
3
х4 = 1,
2х2 +х
3
x4 =1,
2х
3
5х4 =8.
Система имеет решение
3 4 2 4 1 4
5 5 3 5 3
4, , ,
2 2 4 2 4
x x x x x x
где переменная x4 свободная, т.е. может принимать любые действительные
значения.
6.2. Исследование системы линейных алгебраических уравнений
Для исследования СЛАУ сформулируем следующие основные теоре-
мы.
Теорема о совместности СЛАУ.
Теорема 6.1 (Кронекера – Капелли) (без доказательства). Для сов-
местности системы (6.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы.
6.2. Исследование системы линейных алгебраических уравнений
49
Теорема 6.2 (без доказательства). Если ранг совместной матрицы
СЛАУ равен числу неизвестных (система полного ранга), то система имеет единственное решение.
Теорема 6.3 (без доказательства). Если ранг совместной матрицы
СЛАУ меньше числа неизвестных, то множество ее решений является
бесконечным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным ММ называется отличный от нуля ее
минор, порядок которого равен рангу этой матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисными неизвестными совместной системы,
РМ которой равен r, назовем r неизвестных, коэффициенты при которых
образуют базисный ММ. Остальные неизвестные назовем свободными.
Тогда исследование СЛАУ можно проводить следующим образом.
1. Вычисляем РМ и ранг расширенной матрицы.
2. Сравниваем их и делаем вывод о существовании решения (теоре-
ма 6.1).
3. В случае, когда ранги совпадают r=r, то система имеет решение.
4. Для совместной системы сравниваем РМ с количеством неизвест-
ных и
делаем вывод о единственности решения.
5. Если РМ меньше числа неизвестных, у системы множество реше-
ний.
6. Для отыскания семейства решений системы выделяем базисный ми-
нор и базисные переменные.
7. Выписываем укороченную систему, состоящую из r уравнений, в
которую вошли строки базисного минора.
8. Из полученной системы находим выражения базисных неизвестных
через свободные. Свободным неизвестным придаем произвольные значения. То есть получаем бесконечное множество решений исходной системы.
Пример. Решить СЛАУ х
1
3х2 + 2х3 =1,
2х1 + х
2
4x3 = 5,
5х
1
8х2 +2x3 =8.
Вычисляем ранг матриц системы
1 3 2 1 3 2 1 3 2
2 1 4 0 7 8 0 7 8
5 8 2 0 7 8 0 0 0
A
, r=2.
Лекция 6
50
1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1
2 1 4 5 0 7 8 3 0 7 8 3
5 8 2 8 0 7 8 3 0 0 0 0
A
,
2r
.
Получаем,
rr
.
То есть система совместна. В матрицеА минор
13
21
отличен от нуля, ему соответствует система уравнений
х
1
3x2=12x3,
2х1 + х2= 5 + 4х3,
в которой x1, х2 – базисные неизвестные. При этом х3 – свободная неизвестная.
Решая эту систему по формулам Крамера, находим
3
1
10 16
7
xx
,
3
2
83
,
7
xx
где х3 может принимать любые действительные значения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]