Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
2.4. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
21
12
11
22
i
zr
e
zr
,
2
0z
.
2.4. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a С, a 0. Корнем n-й степени из КЧ a
называется КЧ z , n-я степень которого равна a , т.е.
zn =a, nN.
Корень n-й степени из КЧ a обозначается стандартным образом:
n
a
.
Будем решать уравнение zn=a относительно z, используя ПФКЧ z и a.
Для этого положим
i
z re
,
i
ae
.
Тогда
n n in
z r e
.
(2.8)
Уравнение (2.8) следует рассматривать как равенство двух КЧ, пред-
ставленных в экспоненциальной форме. В связи с неоднозначностью аргумента можем записать следующее условие эквивалентности
;
2 , .
n
n
r
za
n k k Z
Отсюда
n
r
,
2
, .
k
k
kZ
nn
(2.9)
Среди бесконечного количества значений аргумента в формуле (2.9)
различных решений уравнения только n. Это свойство обусловлено тем, что
изменяя k, от значения k =0 (можно и от любого другого целого значения) с
шагом 1 в сторону его увеличения, через n шагов получим аргумент, рав-
ный
2
2
n
n
n n n
, отличающийся от начального
0
n
на пол-
ный период. Следовательно, числа
0
0
i
z re
и
n
i
n
z re
изображаются од-
ной и той же точкой на комплексной плоскости (их АФКЧ тождествен-
ны). Далее совпадение продолжится с цикличностью в n шагов.
Итак, решениями уравнения будут:
2 k
i
nn
n
k
ze
, k=0,1,....,n1.
Лекция 2
22
Пример. Вычислить i.
В соответствии с ранее
принятыми обозначениями:
2
.
i
a i i e
Тогда квадратные корни из
i задаются формулой
2 2 4
1
i k i k
k
k
z i e e
,
где k=0, 1.
На рис. 2.3 показано их
расположение на комплексной
плоскости.
Запишем представление корней в алгебраическом виде:
0
0
1
1
2
1,
2
2
1.
2
z i i
z i i
Im z
Re z
0
0
zi
O
1
1
zi
Рис. 2.3. Представление на комплексной
плоскости значений
i
23
ЛЕКЦИЯ 3
Сокращения, используемые в тексте:
МТР – матрица
ОМ – определитель матрицы
АД – алгебраическое дополнение
Понятие числовой МТР. Виды МТР. Операции с МТР. Понятие ОМ
квадратной МТР второго и третьего порядка. Понятия минора и алгебраического дополнения элемента МТР.
3.1. Понятие матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой МТР называется двумерная прямоуголь-
ная таблица
mn
чисел, расположенных построчкам и столбцам.
Числа этой таблицы называются элементами МТР. Приняты следую-
щие обозначения МТР
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
,
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
,
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
.
МТР, имеющую m строк и n столбцов, называют прямоугольной МТР
размерности
mn
. МТР обозначаются заглавнымилатинскими буквами,
например, А, В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две МТР
mn ik
mn
aA
,
pq ik
pq
bB
называются
равными, если p=m, q=n и aik= bik (i =1,2,...,m; k=1,2, ...n), т.е., если они
одинаковой размерности и их элементы (с одинаковыми индексами) равны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МТР, все элементы которой равны нулю, называ-
ется нулевой МТР. Обозначают нулевую МТР буквой О.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратной МТР называется МТР, у которой
число строк совпадает с числом столбцов (т= п).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком квадратной МТР называется число ее
строк т (или столбцов п=m).
Лекция 3
24
Квадратная МТР первого порядка– это один элемент. Выпишем квад-
ратные МТР первых трех порядков
11
a
,
11 12
21 22
aa
aa
,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
Элементы с одинаковыми индексами строки и столбца
ii
a
, i=1,...,n
квадратной МТР образуют ее главную диагональ. Вторая диагональ квадратной МТР считается побочной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная МТР называется симметрической,
если
ik ki
aa
, т.е. равны ее элементы, у которых меняются индексы стро-
ки и столбца.
Пример.
243
4 1 5
3 5 7
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Диагональной МТРназывается квадратная МТР,
у которой не нулевые элементы могут принадлежать только главной
диагонали.
Пример.
11
22
0
0aa
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Единичной МТР называется диагональная МТР, у
которой все элементы на главной диагонали равны единице. Обозначается
буквой Е.
Пример.
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
E
.
Такую МТР можно кратко обозначить как
ik
E
, где
ik
– символ
Кронекера, то есть
,
1, если ,
0, если .
ik
ik
ik
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Треугольной МТР называется квадратная МТР,
все элементы которой, расположенные но одну сторону от главной диаго-
3.2. Действия над матрицами
25
нали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные МТР.
Пример.
Верхняя треугольная МТР
243
0 1 5
0 0 7
,
нижняя треугольная МТР
2 0 0
4 1 0
357
.
3.2. Действия над матрицами
На множестве МТР определим следующие линейные алгебраические
операции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух МТР А=(aik)mn, , В= (bik)mn называет-
ся такая МТРС = (сik)тn , что
сik = aik +b
ik
,
где i=1,2,..., m; k=1,2,.., n.
Результат операции сложения МТР обозначается С=А+В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью двух МТР А=(aik)mn , В= (bik)mn называ-
ется МТР D= (dik)тn для которой
dik = a
ik
b
ik,
где i=1,2,..., m; k=1,2,.., n.
Результат этой операции МТР обозначается D=АВ.
Операции сложение и вычитание МТР определяются только для МТР
одинаковых размерностей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением МТР А= (aik)mn на число (или
числа на МТР A) называется МТР В= (bik)mn , для которой
bik =aik , i=1,2,..., m; k=1,2,.., n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МТР А, умноженную на минус единицу, будем
называть МТР, противоположной МТР А, и обозначать А.
Линейные операции над МТР обладают следующими свойствами
1. А+В = В+А. 5. 1А=А.
2. (А+В)+С = А+(В+С). 6.(A) = ()А.
3. А+O= А. 7. (А+B) = А+В.
4. А+(А) = О. 8. (+)A = А+А.
Лекция 3
26
Здесь A, B, C – МТР одной и той же размерности; О – нулевая МТР; (А) –
МТР, противоположная МТР А; , – любые действительные числа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МТР А называется согласованной с МТР В, если
число столбцов МТР А равно числу строк МТР В.
МТР Атп согласовала с МТР Bnl («ширина» МТР А равна «высоте»
МТР В).
Замечание 1. Операция согласованности матриц не коммутативна.
Замечание 2. Если А и В – квадратные МТР одного порядка, то они
всегда взаимно согласованы (А согласована с В, В согласована с А).
Пример.
1 2 3
4 5 6
A
,
1 3 0
2 2 5
3 1 1
B
.
МТР А согласована с МТР В (А имеет 3 столбца, В– 3 строки). МТР В
не согласована с МТР А (В имеет 3 столбца, А – 2 строки).
Рассмотрим операцию умножение МТР. Эта операция определена для
согласованных МТР.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением МТР А=(aik)mn , В=(bik)nl называется такая МТР C= (cik)ml, для которой
сik = аi1b1k + аi2b2k + ... + аinb
nk
, или
1
n
ik ij jk
j
c a b
, i=1,2,...,m; k=1,2,..,l.
То есть элемент сik МТР С равен сумме произведений элементов i-й строки
МТР A на соответствующие элементы k-го столбца МТР В. МТР С имеет m
строк (как МТР А) и l столбцов (как МТР В).
Замечание. В общем случае произведение МТР А на МТР В не равно
произведению МТР В на МТР А (так как из согласованности А с В не следует согласованность В с А).
Пример. Даны две МТР второго порядка
30
00
A
,
00
40
B
.
Тогда
3 0 0 0 3 0 0 4 3 0 0 0 0 0
,
0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0
AB
0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0
.
4 0 0 0 4 3 0 0 4 0 0 0 12 0
BA
3.2. Действия над матрицами
27
Для этих произведений следует, что АВВА. Пример также показыва-
ет, что произведение МТР может быть нулевой МТР, даже когда оба
сомножителя не являются нулевыми МТР.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для МТР А и В определены произведения АВ и
ВА, и АВ=ВА, то МТРА и В называются перестановочными, или ком-
мутативными.
Легко видеть, что
АЕ=ЕА=А;
АО=ОА=O.
При операции умножения МТР единичная МТР Е играет роль едини-
цы, т. е. не изменяет произведения, а нулевая МТР О – роль нуля.
Свойства умножения МТР (если имеют смысл соответствующие дей-
ствия).
1. (AB)C=A(BC).
2. (АВ)=(А)В=А(В).
3. (А+В)С=АС+ВС.
4. С(А+В) =СА+СВ.
Первое свойство называется свойством сочетательности, или ассоциа-
тивности, второе – свойство ассоциативности относительно числового
множителя, третье (четвертое) – свойством распределительности (дистрибутивности) умножения справа (слева) относительно сложения матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если строки МТР переписать в соответствующие
столбцы, то полученная МТР называется МТР, транспонированной относительно данной.
Транспонированную МТР обозначают через АT: a
T
ij=aji
.
Замечание. Если А– МТР размеров mn, то МТР АT имеет размеры
nm.
Свойства транспонированной МТР.
1. (АT)T=А.
2. (A)T= АT.
3. (А+В)T= АT+ВT.
4. (АВ)T= ВTАT.
Доказательство свойства 4. Левая часть равенства имеет смысл толь-
ко в том случае, когда МТР А согласована с МТР В, т.е. в случае А =Аmn и
В=Bnl. Так как ВT= Bln , АT = Аnm, то МТР ВT согласована с АT и произведение ВTАT определено. Пусть c
T
ik
– элемент МТР CT=(АВ)T, стоящий в i-й
Лекция 3
28
строке и k-м столбце. Элемент c
T
ik
равен элементу cki МТР АВ, принадле-
жащему ее k-й строке и i-му столбцу, т.е. c
T
ik
=cki. В соответствии с прави-
лом умножения МТР получаем
1
n
T
ik ki kj ji
j
c c a b
.
Поскольку akj =a
T
jk
, bji =b
T
ij
, то
11
nn
T T T T T
ik jk ij ij jk
jj
c a b b a
.
Последнее равенство, представляющее собой сумму произведений
элементов i-й строки МТР ВT на соответствующие элементы k-го столбца
МТР АT, является элементом МТР ВTАT, принадлежащим i-й строке и k-му
столбцу. Следовательно, соответствующие элементы МТР (АВ)T и ВTАT
равны между собой. Свойство 4 доказано.
3.3. Определитель квадратной матрицы
Одной из основных числовых характеристик квадратной МТР является
ее определитель (детерминант).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОМ
первого порядка является само число (элемент матрицы);
второго порядка
11 12
21 22
aa
aa
A
является число, определяемое как
11 12
11 22 21 12
21 22
det
aa
a a a a
aa
A
;
третьего порядка
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
A
является число
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
det
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
A
13 22 31 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a
(3.1)
3.3. Определитель квадратной матрицы
29
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором какого-либо элемента ОМ называется
ОМ, полученный из ОМ данной МТР вычеркиванием той строки и того
столбца, которым принадлежит элемент. Минор элемента
ik
a
обозна-
чим
ik
M
.
Пример. Минором элемента а21 ОМ (3.1) является ОМ второго по-
рядка
12 13
21
32 33
aa
M
aa
.
Замечание. Минором элемента ОМ второго порядка является один
элемент (ОМ первого порядка).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. АД элемента
ik
a
ОМ называется его минор, взя-
тый со знаком (1)
i+k
. АД элемента aik будем обозначать через Аik
1
ik
ik ik
AM
.
Пример. АД элемента а21 ОМ (3.1) является ОМ M21, взятый со зна-
ком минус.
30
ЛЕКЦИЯ 4
Сокращения, используемые в тексте:
ОМ – определитель матрицы
ОБМ – обратная матрица
ПМ – присоединенная матрица
АД – алгебраическое дополнение
Свойства ОМ. Вычисление ОМ. ОМ произвольного порядка. Теорема замещения. Теорема аннулирования. Понятие ОБМ. Вычисление ОБМ.
4.1. Свойства определителя матрицы второго и третьего порядка
Рассмотрим основные свойства ОМ, определенные в виде теорем. При
этом в теоремах свойства будут не только сформулированы, но и доказаны.
Теорема 4.1.
1) перестановка двух строк (двух столбцов) ОМ меняет знак опреде-
лителя;
2) замена всех строк ОМ на соответствующие столбцы, как и наобо-
рот, замена всех столбцов на соответствующие строки не изменяет значение ОМ;
3) общий множитель элементов строки (столбца) ОМ, можно выне-
сти за знак определителя;
4) ОМ, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю;
5) ОМ, у которого все элементы некоторой строки (столбца) равны
нулю, также равен нулю.
Доказательство 4.1. Докажем утверждения для ОМ второго порядка.
1) Переставим в ОМ столбцы. Тогда новый определитель
12 11
22 21
aa
aa
.
Его значение
12 11 11 12
12 21 11 22 11 22 12 21
22 21 21 22
()
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
.
2) В ОМ
11 12
21 22
aa
aa
заменим строки столбцами, имеющими тот же но-
мер. Тогда новый определитель
11 21
12 22
aa
aa
. Его значение равно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]