Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
12.3. Гиперболический параболоид
91
12.2.5. Эллиптический параболоид
В результате вращения параболы
х2=2pz, вокруг оси Oz получаем параболоид вращения
22
22
2.
xy
z
aa
При сжатии этой поверхности в
направлении осиОх или Оу, получаем
поверхности с уравнением
22
22
2.
xy
z
ab
Это эллиптический параболоид
(рис. 12.6).
12.3. Гиперболический параболоид
Если в КУ эллиптического параболоида поменять знак во втором сла-
гаемом правой части, то получается поверхность с уравнением:
22
22
2
xy
z
ab
.
Эта поверхность не является поверхностью вращения даже при a=b.
Она называется гиперболический параболоид.
Сечения этой поверхности плоскостями х= при произвольномзначе-
нии – параболы. Сечения плоскостями z= при произвольном значении
– гиперболы (рис.12.7).
z x y
O
Рис. 12.7. Гиперболический параболоид
z
x y O
a
*
b
*
Рис. 12.6. Эллиптический параболоид
Лекция 12
92
12.4. Цилиндрическая поверхность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрическая поверхность – это поверхность,
описываемая прямой линией, называемой образующей цилиндрической поверхности, которая движется по заданной кривой, оставаясь параллельной заданному направлению.
Если ось Oz прямоугольной
системы координат параллельна
образующей цилиндрической поверхности, то её уравнение имеет
вид F(x,y)=0.
В случае, если направляющей
цилиндрической поверхности второго порядка служит линия второго порядки,то в зависимости от вида направляющей различают эллиптический цилиндр (рис.12.8),
КУ которого
22
22
1
xy
ab
.
Гиперболический цилиндр
(рис. 12.9)
22
22
1
xy
ab
,
и параболический цилиндр
(рис. 12.10)
2
2x pz
.
z x y O a
b
Рис. 12.8. Эллиптический цилиндр
z x y
O
Рис. 12.9. Гиперболический цилиндр
z
x
y
O
Рис. 12.10. Параболический цилиндр
93
ЛЕКЦИЯ 13
Сокращения, используемые в тексте:
ЛП – линейное пространство
МП – матрица перехода
ЛК – линейная комбинация
Понятие ЛП. Аксиомы ЛП. Линейная независимость векторов конечномерного ЛП. Размерность ЛП. Базис ЛП. Разложение вектора по базису
ЛП. Матрица перехода между базисами.
13.1. Понятие линейного пространства
Рассмотрим элементы произвольной природы {х, у, z...} составляющие
множество V и множество R. Определим операции в V.
Операция сложения элементов. Элемент z = х+уV поставлен в со-
ответствие любой упорядоченной паре элементов хV, yV.
Умножение на числа. Элемент z =х = хV поставлен в соответ-
ствие любому элементу хV и действительному числу R .
Операции определенные выше должны быть корректными, т.е. резуль-
тат операции не выходит за пределы множества.
Будем считать, что следующие восемь аксиом справедливы для введе-
ных выше операций на элементах множества V.
I. Сложение коммутативно. х + у = у + х для любого хV, yV.
II. Сложение ассоциативно. (х+у)+z =х+(у+z) для любого хV, yV,
zV.
III. Существует нулевой элемент множества. Это такой элемент, кото-
рый в сумме с любым элементом х дает тот же элемент х. Обозначим его 0,
тогда х+0= х для любого хV.
IV. Для любого хV существует противоположный элемент. Это такой
элемент, который в сумме с данным дает нулевой элемент, противоположный элементу х. Обозначим через х, тогда х+ (х)=0 для любого хV.
V. Умножение на число 1 не меняет элемента, т.е. 1х=х для любого
хV.
Для любых х, yV, и ,R справедливо
Лекция 13
94
VI. (х) = ()х .
VII. (х+у) = х+у .
VIII. (+)x = x+х .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество V элементов{х, у, z...} с введенными
операциями сложения и умножения на действительное число, удовлетворяющие системе аксиом образует действительное ЛП. Элементы действительного ЛП называют векторами.
мы определяем комплексное ЛП.
Примеры ЛП.
1. Трехмерные векторы с действительными координатами. Обозначим
это ЛП символом V3. Линейные операции введены раньше. Нулевой вектор – нулевой элемент пространства. Противоположным вектору
a
являет-
ся a. Аксиомы I–VIII выполняются, о чем свидетельствуют свойства векторов.
2. Прямоугольные матрицы размерности mn. Операции сложение
матриц и умножение матрицы на число определены раньше. Нулевая матрица является нулевым элементом. Для матрицы (aik)mn противоположной
будет матрица (aik)mn. Аксиомы I–VIII выполняются в силу свойств линейных операций над матрицами.
3. Множество функций непрерывных на отрезке [а, b]. Обозначим это
множество С[а, b]. Линейные операции вводятся поточечно. Нулевая
функция выбирается за нулевой элемент. Элементом, противоположным
элементу x(t), будет x(t). Легко проверить, что аксиомы I– VIII выполняются в силу свойств непрерывных функций, поэтому С[а,b] – линейное
пространство.
13.2. Линейная зависимость и независимость векторов
линейного пространства
Рассмотрим векторы (элементы) x1,x2,...,хn ЛП.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если выбрать векторы x1,x2,...,хn, из ЛП и числа
(коэффициенты)
1
,
2
,...,
n
и составить вектор у=
1x1
+
2x2
+...+
nхn
, то
этот вектор называется ЛК выбранных векторов.
13.2. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства
95
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы x1,x2,...,хn линейно зависимы, если существуют числа
1
,
2
,...,
n
не все равные нулю, при которых ЛК равна нулю
1x1
+
2x2
+...+
nхn
, = 0. (13.1)
В противном случае система векторов x1,x2,...,хn линейно независима
и (13.1) выполняется только при
1
=
2
=...=
n
=0.
Рассмотрим свойства линейно зависимой и независимой систем.
Утверждение 13.1. Если нулевой элемент содержится в системе
векторов, то она линейно зависима.
Доказательство 13.1. Пусть, например, х1=0, тогда 1х1+0 х2+...+0 хn=0,
т.е. выполнено равенство (13.1), в котором не все числа равны нулю.
Первый коэффициент равен единице.
Утверждение 13.2. Линейная зависимость подсистемы векторов по-
рождает линейную зависимость всей системы.
Доказательство 13.2. Итак
1x1
+
2x2
+...+
kхk
,=0, где среди чисел
1
,
2
...
k
имеются отличные от нуля, поэтому и в равенстве
1x1
+
2x2
+
+...+
kхk
,+0х
k+1
+....+0хn=0 найдутся коэффициенты отличные от нуля.
Утверждение 13.3. Пусть система векторов линейно независима. Если из системы удалить любое число векторов, то оставшиеся векторы
образуют также линейно независимую систему.
Утверждение 13.4. Если какие-то два вектора системы отличаются
друг от друга на постоянный множитель, отличный от нуля, то система
линейно зависима.
Доказательство 13.4. Пусть хk=хm. В этом случае х
k
хm=0. Это
означает, что хk и хm линейно зависимы, так как
k
=10. Следрвательно
полная система также линейно зависима.
Теорема 13.1. Если один из векторов системы – ЛК остальных, то
система векторовx1,x2,...,хn линейно зависима.
Теоремадоказывается аналогично доказательству утверждения 13.4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора ЛП называются коллинеарными,
если они линейно зависимы и неколлинеарными, если они линейно независимы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Три вектора ЛП называются компланарными, ес-
ли они линейно зависимы. В противном случае векторы называются не-
компланарными.
Лекция 13
96
13.3. Размерность и базис линейного пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размерностью пространства называется макси-
мальное число линейно независимых векторов данного пространства.
В n-мерном ЛП существует n линейно независимых векторов. Обозна-
чается dimV=n (от слова dimension – размерность).
Пример. Пространство векторов V3 является трехмерным (dimV3=3),
пространство V2 – двумерным, пространство V1 – одномерным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом n-мерного линейного пространства Vn
называется любая упорядоченная система п линейно независимых векторов этого пространства.
Примеры базисов.
1. Базис в V3 образует любая тройка некомпланарных векторов, так как
эти векторы линейно независимы. Любая четверка векторов линейно зависима.
2. Базис в V2 образуют два любых неколлинеарных вектора, поскольку
они линейно независимы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное пространство, в котором имеется ба-
зис, состоящий из конечного числа векторов, называется конечномер-
ным.
Пример. Конечномерными пространствами являются V1, V2, V3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в ЛП нельзя выделить конечную систему ли-
нейно независимых векторов, то такое ЛП называется бесконечномерным.
Пример. ЛП С [а,b] является примером бесконечномерного простран-
ства. В нем можно определить бесконечную систему линейно независимых
функций. Например, система степенных функций 1, t, t2,..., tm…линейно независима в этом пространстве. В противном случае многочлен
0+1t+2t2+...+mtm, не все коэффициенты которого равны нулю, оказался
бы тождественно равным нулю на отрезке [а,b].
13.4. Координаты вектора линейного пространства
Теорема 13.3. Любой элемент n-мерного ЛП выражается через ба-
зисные векторые1, е2,...,еn:
х =
1е1
+
2е2
+...+
nеn .
(13.2)
13.5. Ранг системы векторов линейного пространства
97
Коэффициенты
1
,
2
, ...,
n
этого разложения определяются одно-
значно.
Доказательство 13.3. Пусть х – произвольный вектор пространства
Vn. Поскольку это пространство является n-мерным, то система векторов
е1,е2,...,еn, х линейно зависима, т.е. существуют числа 1, 2 ,..., n,
n+1
не
все равные нулю, такие, что
1е1+2е2+...+nеn+
n+1
x=0.
Можно утверждать, что
n+1
0. Действительно, предположив против-
ное, т.е.
n+1
=0, получим, что 1, 2, ..., n не все равны нулю, поэтому век-
торы е1,е2,...,еn линейно зависимы, что противоречит условию. Тогда равенство (13.2) следует из последнего уравнения при
1i i n
(i=1,2.....n).
Докажем единственность разложения. Предположим, что существует
другая система чисел 1, 2,....,n такая, что x=1е1+2е2+...+nеn.
Тогда
1е1
+
2е2
+...+
nеn
= 1е1+2е2+...+n еn,
или (
1
1)е1+(
2
2)е2+...+(
n
n)еn=0.
Так как е1 е2,...,еn линейно независимы, то отсюда следует
1=1
,
2=2
,...,
n=n
.
Выражение (13.2) называется разложением вектора х по базису
е1е2,...,еn , а коэффициенты 1, 2 ,..., n координатами вектора х.
Пример. Найти координаты векторов е3 и х=2e1+4е
3
5е4 в четырех-
мерном ЛП с базисом е1,е2,е3,е4.
По теореме разложения
е3=0е1+0е2+1е3+0е4
и х=2е1+0е2+4е3+(-5)е4.
Координаты вектора е3 (0,0,1,0). Координаты вектора х (2,0,4,-5).
13.5. Ранг системы векторов линейного пространства
Пусть матрица
A
составлена по столбцам из координат системы m
векторов n-мерного ЛП.
а1 =(a11, a21, ,аn1),
а2 =(а12, а22, ,аn2), (13.3)
.......................
аm=(a1m, а2m,..,anm).
Лекция 13
98
11 12 1
21 22 2
12
...
...
.... ... ... ...
...
m
m
n n nm
a a a
a a a
A
a a a
. (13.4)
Координаты вектора аk (k = 1, 2, .., m) записаны в k-м столбце (13.4).
Матрицей системы векторов (13.3) в данном базисе является матрица A.
Ранг этой матрицы является рангом системы векторов a1, a2, .., am.
Линейная зависимость системы векторов (13.4) является критерием
линейной зависимости столбцов матрицы
A
.
Теорема 13.4 (без доказательства). Ранг матрицы системы векторов
определяет максимальное число линейно независимых векторов n-мерного
ЛП.
Следствие 1. Если система состоит из n векторов n-мерного ЛП, то
для проверки их линейной независимости достаточно проверить, что матрица системы невырождена.
13.6. Переход к новому базису
В различных базисах ЛП вектора имеют различные координаты. Если
известна связь между базисами (как они преобразуются), то можно определить и зависимость координат вектора в этих базисах. Выведем формулы
преобразования координат вектора при переходе к новому базису.
В n-мерном ЛП Vn фиксируем два базиса
е1, е2, .., е
n,
(13.5)
е'1, е'2, .., е'
n
(13.6)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МП от базиса (13.5) к базису (13.6) называется
матрица системы векторов (13.6) в базисе (13.5).
Разложим векторы системы (13.6) по базису (13.5)
е'1=t11е1+t21е2+,...,+tn1еn,
е'2=t12е1+t22е2+,...,+tn2еn,
(13.7)
.................
е'n=t1nе1+t2nе2+,...,+tnnеn .
Тогда МП от базиса (13.5) к базису (13.6) имеет вид
13.6. Переход к новому базису
99
11 12 1
21 22 2
12
...
...
.
.... ... ... ...
...
n
n
n n nn
t t t
t t t
T
t t t
(13.8)
МП от одного базиса к другому невырожденная, так как базисные век-
торы линейно независимы. Очевидно, матрица Т
-1
, обратная матрице (13.8),
является МП от базиса (13.6) к базису (13.5).
100
ЛЕКЦИЯ 14
Сокращения, используемые в тексте:
ЛП – линейное пространство
ЕВП – евклидово пространство
СП – скалярное произведение
НВ – норма вектора
Координаты вектора в разных базисах. Понятие ЕВП. НВ. Неравенство
Коши – Буняковского. Угол между векторами ЕВП. Ортонормированный базис. СП векторов в ортонормированном базисе.
14.1. Связь между координатами вектора в различных базисах
Теорема 14.1. Пусть вектор х в старом базисе представлен коорди-
натами x1,x2,...,хn , а в новом базисе координатами x'1,x'2,...,х'n тогда
Х=ТХ',
где
1
2
...
n
x
x
X
x
,
1
2
'
'
...
'
n
x
x
X
x
–столбцы координат, T– матрица перехода от
базиса е1,е2,..,е
n
к е'1,е'2,..,е'n.
Доказательство 14.1. Из условия теоремы следует, что
x=x1е1+x2е2+...+xnеn=x'1е'1+x'2е'2+...+x'nе'n .
(14.1)
С учетом определения матрицы перехода Т и соотношений перехода
между базисными векторами, второе из равенств (14.1) можно записать как
х =x1е1+x2е2+...+xnеn=x'1(t11е1+t21е2+,...,+tn1еn)+ x'2(t12е1+t22е2+,...,+tn2еn)+...
+ x'n(t1nе1+t2nе2+,...,+tnnеn)=(t11x'1+t12x'2+...+t1nx'n)е1+
+(t21x'1t22x'2+...+t2nx'n)е2+....+(tn1x'1+tn2x'2+...+tnnx'n)еn .
Сравнивая полученное разложение вектора х по базису е1,е2,..,еn с равенством (14.1), получаем
x1=t11x'1+t12x'2+,...,+t1nx'n ,
x2=t21x'1+t22x'2+,...,+t2nx'n ,
(14.2)
.................
xn=tn1x'1+tn2x'2+,...,+tnnx'n .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]