Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
4.1. Свойства определителя матрицы второго и третьего порядка
31
11 21 11 12
11 22 21 12 11 22 12 21
12 22 21 22
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
. То есть значение опреде-
лителя не изменилось.
3) Пусть в ОМ |A| общий множитель элементов второго столбца ра-
вен
11 12
21 22
aa
aa
A
. Тогда
11 12 11 12
11 22 12 21
21 22 21 22
a a a a
a a a a
a a a a
.
Следствие. ОМ, у которого две строки (столбца) пропорциональны,
равен нулю.
Линейными операциями такой ОМ приводится к ОМ, имеющему две
одинаковые строки. Следовательно, такой ОМ равен нулю.
4) Пусть ОМ |A| содержит две одинаковые строки. Переставив эти
строки, получим тот же определитель |A|. По свойству 1) знак ОМ при
этом изменится: |A|=|A|. Следовательно: |A|=0.
5) Пусть все элементы строки (столбца) ОМ равны нулю. Это означа-
ет, что каждое слагаемое в расчетном выражении содержит нулевой множитель. Поэтому все выражение и соответственно определитель равны нулю.
Теорема 4.2. ОМ не изменит значение при изменении строки (столб-
ца) путем прибавления к ее элементам элементов другой строки (столбца), умноженных на постоянный множитель.
Доказательство 4.2. Докажем на примере произвольного столбца.
Умножим на множитель
элементы первого столбца ОМ и прибавим к
элементам второго столбца ОМ. Тогда
11 12 11
11 22 21 12 11 21
21 22 21
11 22 11 21 12 21 11 21
11 12 11 12 11 12
11 21 11 21
21 22 21 22 21 22
0.
a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
Замечание. В теореме доказано также утверждение: если в ОМ эле-
менты столбца (строки) разложить на суммы двух слагаемых, то ОМ равен
сумме двух соответствующих ОМ.
Теорема 4.3. ОМ равен сумме произведений элементов произвольной
строки (столбца) на их АД.
Лекция 4
32
Доказательство 4.3. Если ОМ имеет второй порядок, то утверждение
теоремы следует из формулы разложения.
Пусть ОМ имеет третий порядок. Представим формулу расчета ОМ
(3.1)
11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22 31
22 23 23 21 21 22
11 12 13
32 33 33 31 31 32
.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
aaa
a a a a a a
A
С учетом вида АД:
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
, ,
a a a a a a
A A A
a a a a a a
.
Получим
11 11 12 12 13 13
a A a A a A A
.
Такое представление значения ОМ – разложение по элементам первой
строки. Аналогично можно получить разложение по элементам других
строк или столбцов.
Свойство. ОМ Aи ОМ
T
A
, равны
det det
T
AA
.
4.2. Понятие определителя матрицы n порядка. Свойства опеделителя
матрицы n порядка
Определим квадратную матрицу n-го порядка
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
(4.1)
Используя принцип математической индукции, определим ОМ, име-
ющей порядок n.
Будем считать, что понятие ОМ (n1) порядка для квадратной матри-
цы (n1) порядка уже введено. Определим минор элемента aij для матрицы
n-го порядка как определитель (n1) порядка для матрицы, полученной из
(4.1) путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Обозначим данный минор как Мij. Далее, определим АД Aij элемента аij как его минор, взятый со
знаком
( 1)
ij
4.2. Понятие определителя матрицы n порядка. Свойства опеделителя матрицы…
33
1
ij
ij ij
AM
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОМ (4.1) порядка n называется число, определяе-
мое как
1
11
1
1
n
k
kk
k
aM
A
,
или
11
1
n
kk
k
aA
A
.
Здесь записано разложение по элементам первой строки. Две следую-
щие теоремы дают возможность разложения по элементам любой строки
или столбца матрицы.
Теорема 4.4 (без доказательства). Для любого номера строки i
(i=1,2,...,n), ОМ п-го порядка (4.1) определяется соотношением
1
1
n
ik
ik ik
k
aM
A
.
Данное представление – разложение ОМ по i-й строке.
Теорема 4.5 (без доказательства). Для любого столбца j (j=1,2, , n),
ОМ п-го порядка (4.1) определяется соотношением
11
1
nn
ij
ij ij ij ij
ii
a M a A
A
.
Данное представление – разложение ОМ по j-му столбцу.
Теорема 4.6 (без доказательства). ОМ, являющейся произведением
двух квадратных матриц, равен произведению определителей перемножаемых матриц:
AB A B
.
Теорема 4.7 (теорема замещения). Рассмотрим матрицу, получен-
ную из исходной матрицы n-го порядка путем замены элементов некоторой строки (столбца) числами c1, c
2
,..., cn. Тогда определитель такой
матрицы равен сумме произведений чисел c1, c2,..., cn на соответствующие
алгебраические дополнения исходной матрицы n-го порядка.
Доказательство 4.7. Рассмотрим доказательство для матрицы A тре-
тьего порядка. Ее определитель представим разложением по первой строке
|A|=a11A11+ a12A12+ a13A13.
Лекция 4
34
Здесь A1j – алгебраические дополнения.
Далее рассмотрим ОМ
1 2 3
21 22 23
31 32 33
c c c
a a a
a a a
.
Разложение по элементам первой строки представляется как
= с1A11+ с2A12+ с3A13.
Сравнивая два разложения |A| и , подтверждаем условие теоремы.
Теорема 4.8 (теорема аннулирования). Сумма произведений АД одного
столбца (строки) матрицы на элементы другого столбца (строки) равна 0.
Доказательство 4.8. Проведем доказательство для матриц третьего
порядка. Пусть выбраны алгебраические дополнения третьей строки и элементы первой строки. Тогда сумма произведений равна:
a11A31+ a12A32+ a13A
33.
В соответствии с теоремой замещения значение этой суммы равно
ОМ, такой, что в матрице в третьей строке расположены элементы: a11, a12,
a13
11 12 13
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
.
Так как 1-я и 3-я строки одинаковы, то такой ОМ равен 0.
4.3. Обратная матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица В является ОБМ для квад-
ратной матрицы А, если
AB = BA=E
, (где Е – единичная матрица).
Таким образом, ОБМ определена только для квадратной матрицы. При
этом порядок обоих матриц совпадает.
ОБМ к матрице А обозначается как А-1.
Рассмотрим общий случай для квадратной матрицы n-го порядка (4.1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица С называется ПМ к матрице A, если
элементами ее являются A
ik
– алгебраические дополнения элемента аik
матрицыА
4.3. Обратная матрица
35
11 21 1
12 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
A A A
A A A
A A A
C
.
Следует заметить, что в i-м столбце матрицы С расположены АД эле-
ментов i строки матрицы А.
Теорема 4.9. Для С – ПМ к квадратной матрице А порядка n спра-
ведливо:
AC = СА = EdetA, ( Е– единичная матрица порядка n).
Доказательство 4.9. Пусть B – произведение АС
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
nn
nn
n n nn n n nn
a a a A A A
a a a A A A
a a a A A A
B
.
Воспользуемся определением произведения матриц. В соответствии с
ним элемент bik матрицы B равен сумме произведений элементов i-й строки
А и соответствующих элементов k-го столбца С. При этом элементы главной диагонали bii (i = 1, 2,..., n) есть ОМ А. Далее, все остальные элементы
bik (ik) равны нулю. Это следует из теоремы аннулирования. То есть
det 0 ... 0 1 0 ... 0
0 det ... 0 0 1 ... 0
det det .
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... det 0 0 ... 1
A
A
B AC A E A
A
Аналогично доказывается, что
detC A E A
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Невырожденной (неособенной) матрицей назы-
вается квадратная матрица, у которой ОМ отличен от нуля. Соответственно, в противном случае, матрица является вырожденной (особенной).
Теорема 4.10. Для невырожденной квадратной матрицы А определе-
на единственная ОБМ А-1. ОБМ равна
1
1
det
AC
A
,
где С ПМ к А.
Лекция 4
36
Доказательство 4.10. Поскольку матрица А – невырожденная, то
detА 0. Тогда в соответствии с теоремой 4.9
11
det det
A C C A E
AA
.
По определению ОБМ к матрице А
АА-1=А
-1
А=Е.
Тогда матрица
1
detCA
является ОБМ к матрице А.
Докажем единственность ОБМ А-1. Пусть существует еще матрица
А
1
-1
, такая, что А А
1
-1
= А
1
-1
А =Е.
Тогда:
А
1
-1
А А-1 = А
1
-1
(А А-1) = А
1
-1
Е= А
1
-1
,
А
1
-1
А А-1 =( А
1
-1
А) А-1 = Е А-1= А-1.
Откуда
А
1
-1
= А-1.
Для невырожденных матриц выполняются свойства
1.
1
1
det
det
A
A
.
2.
11
AA
.
3.
1
1
k
k
AA
.
4.
1
11
AB B A
.
Пример. Найти ОБМ А-1 к матрице
2 0 1
3 1 1
2 1 0
A
.
Вычислим ОМ А и алгебраические дополнения всех ее элементов
2 0 1 2 0 1
11
det 3 1 1 1 1 0 ( 1) 1,
21
2 1 0 2 1 0
A
11
11
1
10
A
,
12
31
2,
20
A
13
31
1,
21
A
4.3. Обратная матрица
37
21
01
1,
10
A
22
2A
,
23
2A
,
31
1A
,
32
1A
,
33
2A
.
Получаем
1
1 1 1 1 1 1
1
2 2 1 2 2 1 .
1
1 2 2 1 2 2
A
38
ЛЕКЦИЯ 5
Сокращения, используемые в тексте:
МТР – матрица
РМ – ранг матрицы
ММ – минор матрицы
СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений
ОМ – определитель матрицы
ПонятиеРМ. Свойства РМ. СЛАУ. Однородная и неоднородная СЛАУ.
Совместность СЛАУ. МТР СЛАУ. Теорема Крамера о решении СЛАУ с
помощью определителей.
5.1. Ранг матрицы
Пусть дана МТР размеров
mn
.
mn ik
mn
aA
, i=1, ...., m, k=1, ..., n.
Выделим в ней любые s различных строк и s различных столбцов, выбирая s такое, что
1 min( , )s m n
. Здесь
min( , )mn
– наименьшее из раз-
мерностей m и n. Элементы на пересечении выбранных строк и столбцов
образуют квадратную МТР порядка s. ОМ этой МАТР называется ММ по-
рядка s.
Пример. Пусть дана МТР
1 2 3 4 5
0 4 1 2 7
1 7 3 6 8
.
Выберем элементы, одновременно принадлежащие первой и второй
строке, третьему и четвертому столбцу, получим следующий ММ второго
порядка
34
.
12
Аналогично можно построить и другие ММ второго и третьего порядков. При этом некоторые из ММ могут оказаться тривиальными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. РМ (rank) называется наибольшим из порядков
ММ, отличных от нуля.
Если все ММ равны нулю, то матрица нулевого ранга.
Отметим следующие свойства РМ:
5.2. Система линейных алгебраических уравнений
39
РМ выражается целым неотрицательным числом, не превосходя-
щим наименьшего из чисел т, п : 0 < rank min( m, п).
РМ равен нулю тогда и только тогда, когда МТР является нулевой.
Для невырожденной квадратной МТР n-го порядка rank=n.
При нахождении РМ можно пользоваться свойствами ММ.
Утверждение 5.1. Если все ММ порядка k равны нулю, то все ММ
старших порядков – также равны нулю.
Доказательство 5.1. ОМ более высокого порядка раскладывается через ОМ меньшего порядка. По утверждению все ОМ порядка k равны нулю.
Так как РМ равен порядку ММ, то если среди ММ порядка k есть отличные от нуля, а все ММ порядка k+1 равны нулю или не существуют, то
РМ равен k.
Для вычисления РМ может быть использован метод окаймляющих
миноров. Случай нулевого ранга определен в свойствах. РМ равен единице,
если хотя бы один из элементов МАТР не нулевой, а все ММ второго порядка равны нулю. В противном случае существует хотя бы один отличный
от нуля ММ второго порядка. РМ не меньше двух. Вычисляем ММ третьего порядка, окаймляющие этот минор. Процесс продолжается до тех пор,
пока не выполнится одно из двух условий: либо все ММ k-го порядка равны нулю, либо не существуют, тогда rank= k1.
Рассмотрим еще некоторые свойства РМ:
rank(A)=rank(AT);
РМ не меняется при умножении элементов строки (столбца) на
ненулевое число, прибавлении к элементам одной строки (столбца) другой
строки (столбца), перестановке двух строк (столбцов).
5.2. Система линейных алгебраических уравнений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой m линейных уравнений с n неизвест-
ными xi, i=1,...,n (или СЛАУ) называется система вида
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
....
... .
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(5.1)
Лекция 5
40
Числа aik (i = 1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n) называются коэффициентами
системы, числа bi (i=0, 2, ..., m) – свободными членами системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. СЛАУ называется неоднородной, если среди чисел
bi имеются отличные от нуля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если все числа bi равны нулю, то СЛАУ называет-
ся однородной.
Однородная СЛАУ имеет следующий вид
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0,
... 0,
....
... 0.
nn
nn
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(5.2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением СЛАУ (5.1) является упорядоченная со-
вокупность n чисел: с1,.с2,...,сn , которые обращают в истинные равенства
все уравнения системы при подстановка их вместо переменных x1, х2,...,хn
соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если СЛАУ имеет решение, то она совместная.
Если нет, то несовместная.
Замечание. Так как однородная СЛАУ всегда имеет нулевое решение
x1=0, х2=0, ..., хn=0, то она совместна.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями СЛАУ назы-
ваются следующие преобразования:
умножение обеих частей любого уравнения системы на не нулевое
число;
прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения,
умноженого на любое число;
перестановка местами двух уравнений системы.
Свойство. Решение СЛАУ сохраняется при элементарных преобразо-
ваниях системы.
Запишем СЛАУ (5.1) в матричном виде.
МТР
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
называется основной МТР системы
(или матрицей системы).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]