Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
51
ЛЕКЦИЯ 7
Сокращения, используемые в тексте:
ДПСК – декартова прямоугольная система координат
НКВ – направляющие косинусы вектора
СПВ – скалярное произведение векторов
ППР – параллельные прямые
ППЛ – параллельные плоскости
Вектор в ДПСК в пространстве. Длина вектора. НКВ. Операции над
векторами. СПВ двух векторов. Правые и левые системы координат.
7.1. Понятие вектора в пространстве
Рассмотрим в пространстве ДПСК.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Радиусом-вектором точки М называется вектор
r OM
. (7.1)
Вектор соединяет начало координат с текущей точкой М (рис. 7.1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Координатами X, Y, Z вектора
r
в ДПСК назы-
ваются его ортогональные проекции на координатные оси
X= Пр
x
r
, Y= Пр
y
r
, Z = Пр
z
r
.
Различные формы записи вектора
r
(Х, Y, Z), r={X, Y, Z}, r=(X, Y, Z).
Введем в рассмотрение орты
ДПСК – это единичные векторы
,,i j k
координатных осей. Тогда
(см. рис. 7.1.)
OA X i
,
OB Y j
,
OC Z k
.
Здесь числа А, В, С – координаты
точки М.
Вектор
OM
является суммой
векторов
,,ОА ОВ ОС
.OM ОА ОВ ОС
Подставляя значения векторов, получаем разложение вектора
OM
=
r
по базисным векторам
,,i j k
следующего вида:
i
j
k
O
M
A B C x y
z
r
Рис. 7.1. Представление r в ДПСК
Лекция 7
52
.r Xi Yj Zk
(7.2)
Таким образом, любой вектор пространства может быть разложен по
ортам
,,i j k
. Правая часть формулы (7.2) состоит из суммы трех векторов,
компонент (составляющих) векторr.
Для нахождения длины вектора r воспользуемся свойством диагонали
прямоугольного параллелепипеда:
2 2 2
r X Y Z
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Координатами любого вектора называются его
проекции на координатные оси.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. НКВ называются косинусы углов , , , образуе-
мых вектором с положительным направлением координатных осей.
Тогда справедливо равенство
cosXr
, cosYr
,
cos .Zr
(7.3)
Формулы для НКВ r
2 2 2
cos
X
X Y Z
,
2 2 2
cos
Y
X Y Z
,
2 2 2
cos
Z
X Y Z
.
Если возвести в квадрат обе части каждого равенства и сложить, то
2 2 2
cos cos cos 1.
Из (7.3) следует, что координаты единичного вектора
r
=
e
равны его НКВ:
e
= (cos, cos, cos).
Пример. Задан вектор a=(1, 2, 2). Найти его длину и единичный
вектор
0
a
направления вектора a.
Находим длину вектора a:
2 2 2
1 ( 2 ) 2 3a
, и
НКВ:
1
cos
3
,
2
cos
3
,
2
cos
3
, тогда
0
1 2 2
,,
3 3 3
a
.
7.2. Операции над векторами в координатном представлении
Пусть задан вектор a= (X,Y,Z) и число 0. Требуется найти коорди-
наты произведения вектора на число b=a.
Результатом операции будет вектор b с координатами Х2, Y2, Z2 , кото-
рые выражаются формулами
Х2 = Х, Y2 = Y, Z2 = Z. (7.4)
7.2. Операции над векторами в координатном представлении
53
Равенства (7.4) являются критерием коллинеарности двух векторов.
Пусть заданы векторы a = (Х1, Y1, Z1), b = (Х2, Y2, Z2). Если ни одно из чисел Х1, Y1, Z1 не равно нулю, то равенства (7.4) можно записать как
2 2 2
1 1 1
X Y Z
X Y Z
.
Итак, коллинеарность векторов означает пропорциональность их одно-
именных координат. Более того, пропорциональность одноименных координат векторов представляет собой необходимое и достаточное условие
их коллинеарности.
Результатом операции суммы векторов a=(Х1, Y1, Z1), b = (Х2, Y2, Z2)
будет новый векторc, координаты X, Y, Z которого равны
X=X1+X2, Y=Y1+Y2, Z=Z1+Z2.
Операцию вычитания векторов можно выразит через сумму
a
b
=a+(
b
).Тогда координаты разности
X=X
1
X2, Y=Y
1
Y2, Z=Z
1
Z2.
Найдем формулы для координат
12
MM
через координаты точек М1 и
М2.
Введем в рассмотрение радиус-векторы точек M1 и М2, т.е.
1
1
r OM
,
2
2
r OM
(см.рис. 7.2). Из операции вычитания векторов следует, что
12
MM
=
21
rr
. При этом
1
r
=(Х1, Y1, Z1),
2
r
=(X2, Y2, Z2).
С помощью формул разности векторов получаем координаты X, Y, Z
вектора
12
MM
X=X
2
X1, Y=Y
2
Y1, Z=Z
2
Z1.
Следовательно, для нахождения коор-
динат вектора
12
MM
из координат точки
М2 вычитаем координаты точки M1.
Пусть заданы n векторов
1
a
=
= (Х1,Y1,Z1),
2
a
={Х2,Y2,Z2},...,
n
a
=(Хn,Yn,Zn),
и их линейная комбинация
a
=
1
1
a
+
2
2
a
+...+
n
n
a
. Принимая во вни-
мание раннее полученные формулы, заключаем, что координаты вектора a определяются формулами:
O
M2
x
y
z
r
M1
M
2
r
1
r
Рис. 7.2. Представление вектора
12
MM
в ДПСК
Лекция 7
54
X= 1X1 + 2X2+....+nXn ,
Y= 1Y1 + 2Y2+....+nYn ,
Z= 1Z1 + 2Z2+....+nZn .
7.3. Скалярное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. СПВ a и b называется операция, результатом
которой является число, равное произведению длин векторов на косинус
угла между ними.
Если обозначить СПВ через
,ab
, то
, cos .a b a b
(7.5)
Так как
cos Пр
a
bb
и
cos Пр
b
aa
, то (7.5) можно представить
как
, Пр Пр .
a
b
a b a b b a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным квадратом вектора a является СПВ
a
на себя
a
2
=
,aa
= |a| |a| cos 0 = |a|2.
Итак,скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Поэтому
a
2
>0, когда a 0 и
a
2
=0, когда |a|=0.
Если векторы a и b перпендикулярны (
2
), то
,0ab
. И
наоброт, если справедливо
,0ab
, то
2
и ab(a и b ненулевые
векторы).
Основные свойства скалярного произведения.
1. Переместительность (коммутативность)
,,a b b a
.
2. Сочетательность (ассоциативность)
,,a b a b
.
3. Распределительность (дистрибутивность)
, , ,a b c a b a c
.
Найдем СПВ в координатной форме.
7.3. Скалярное произведение векторов
55
Теорема 7.1. СПВ a=(Х1,Y1,Z1), b=(Х2,Y2,Z2) выражается формулой
,ab
Х1Х2+Y1Y2+Z1Z2.
Доказательство 7.1 . Учитывая разложение векторов в ДПСК, имеем
1 1 1 2 2 2
,,a b X i Y j Z k X i Y j Z k
.
После преобразований, учитывая, что
2
i
=
2
j
=
2
k
=1
,
, , , 0i j i k j k
,
получаем искомое соотношение.
Итак, СПВ равно сумме произведений одноименных координат.
Замечание. Если b=a, то
,aa
Х
1
2
+Y
1
2
+Z
1
2
.
С учетом того, что
2
2
,a a a a
,то
2 2 2
1 1 1
a X Y Z
.
Мы получили формулу длины вектора другим путем.
Предлагаем получить самостоятельно формулу расстояния между точ-
ками М1(x1, y1, z1), М2(х2, у2, z2)
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
.M M x x y y z z
Следствие 1. Если вектор
1
a
= (Х1,Y1,Z1) и
2
a
=(Х2,Y2,Z2), то
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos .
X X YY Z Z
X Y Z X Y Z
Следствие 2. Если Х1Х2+Y1Y2+Z1Z2=0, то
1
a
= (Х1,Y1,Z1)
2
a
=(Х2,Y2,Z2).
Следствие 3. Если ось n образует с координатными осями углы
,,
соответственно, то проекция вектора s=(X, Y, Z) на эту ось определяется
как
Пp
n
s
= Xcos+Ycos + Zcos.
Доказательство следствия 3. Действительно, если e– единичный
вектор оси n, то
,1
e n n
e s e пр s пр s пр s
. Тогда
, cos cos cos ,
cos cos cos .
n
пр s e s i j k X i Y j Z k
X Y Z
Пример. Даны a=(7, 2, 8), b=(11,8, 7). Найти угол между векто-
рами.
Из следствия 1 получаем
Лекция 7
56
2 2 2 2 2 2
7 11 2 8 8 7
2
cos
2
7 2 ( 8) 11 ( 8) ( 7)
;
4
.
7.4. Правые и левые системы координат
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие
на ППР (или на одной прямой).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Компланарные векторы – это векторы, лежащие
в ППЛ (или в одной плоскости).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Три некомпланарных упорядоченных вектора
OA a
,
OB b
,
OC c
(
a
– первый вектор,
b
– второй,
c
– третий),
исходящих из одной точки (рис. 7.3), называют тройкой векторов
a
,b,c.
В зависимости от распо-
ложения векторов тройки бывают правые и левые. Если
любые два вектора переходят
друг в друга при кратчайшем
повороте против часовой
стрелки (если смотреть с
конца третьего вектора), то
тройка векторов называется
правой (см. рис. 7.3, а). В противном случае – левой (см. рис.7.3, б).
Тройка базисных векторов
,,i j k
определяет правую ДПСК. Далее бу-
дем пользоваться правыми системами координат.
O
B
A
C
a
b c
O
B
A
C
a
b
c
а б
Рис. 7.3. Тройки векторов. а – правая, б – левая
57
ЛЕКЦИЯ 8
Сокращения, используемые в тексте:
ВП – векторное произведение
СП – смешанное произведение
ЛНВ – линейная независимость векторов
ЛЗ – линейная зависимость
ВП. Свойства ВП. Выражение ВП через координаты векторов. СП.
Свойства СП. ЛНВ. Условие ЛНВ.
8.1. Векторное произведение двух векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ВП двух векторов aи b называется операция, в
результате которой получается новый вектор c, обозначаемый символом
,ab
или
ab
, который определяется
1. длиной
, sinc a b a b
, где
– угол между векторами
a
и b;
2. c перпендикулярен a и b и (
,a
,b
c
)–правая тройка.
Замечание 1. В дальнейшем будем считать, что тройка
, , ,a b a b
является правой.
Замечание 2. Из определения площади S параллелограмма, следует,
что площадь равна модулю ВП.
Замечание 3. В случае коллинеарности векторов aи
b
(=0 или =),
имеем sin = 0, а значит модуль ВП
,c a b
= 0. Следовательно
,0ab
.
Условие
,0ab
является необходимым и достаточным условием
коллинеарности двух векторов aи b.
Так вектор всегда коллинеарен сам себе, то
,0aa
.
Лекция 8
58
ВП обладает свойствами:
1)
,,a b b a
;
2)
,,a b a b
;
,,a b a b
;
3)
, , ,a b c a c b c
;
, , ,a b c a b a c
.
Рассмотрим координатную форму
представления ВП.
Теорема 8.1. ВП
,ab
двух векторов a= (Х1,Y1,Z1), b=(Х2,Y2,Z2) вы-
ражается формулой
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
,
i j k
Y Z X Z X Y
a b i j k X Y Z
Y Z X Z X Y
X Y Z
.
Доказательство 8.1. Из определения ВП следует
, , , 0i i j j k k
,
,,i j k j i
,
,,i k j k i
,
,,j k i k j
.
Принимая во внимание свойства ВП, и учитывая ВП орт, находим
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
,,
,,
,.
a b X i Y j Z k X i Y j Z k
X Y Y X i j X Z Z X i k
Y Z Z Y j k Y Z Z Y i X Z Z X j X Y Y X k
Записывая последнее равенство через определители второго порядка,
получаем доказываемое соотношение.
Следствие 1. По определению, площадь параллелограмма равна мо-
дулю ВП и вычисляется по формуле
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
Y Z X Z X Y
S
Y Z X Z X Y
.
O
,ab
a
b e
Рис. 8.1. Параллелограмм,
построенный на векторах aи
b
8.2. Смешанное произведение трех векторов
59
Следствие 2. Из следствия 1 следует, что площадь треугольника ABC
вычисляется по формуле
1
,
2
S AB AC
.
Пример. Заданы вершины треугольника A(-1,1,1), B(1,3, 4),
C(3,1,5). Вычислить его площадь.
Находим координаты векторов
AB
, AC. Получаем
(2, 2,3)AB
,
(4,0, 6)AC
. Так как:
2 3 2 3 2 2
, , , 12,24,8
0 6 4 6 4 0
AB AC
, то
2 2 2
11
, 12 24 8 14
22
S AB AC
.
8.2. Смешанное произведение трех векторов
Под СП трех векторов a,b,cпонимаем последовательность выполне-
ния двух операций: ВП первых двух векторов a,b и далее скалярное
умножение результата ВП на вектор c. В результате получается число
,a b c
(векторно-скалярное произведение).
Определим геометрическое свойство СП трех векторов.
Теорема 8.2. Объем параллелепипеда численно равен абсолютной ве-
личине СП векторов его ребер. Он отличается по знаку от СП в зависимости от ориентации тройки.
Доказательство 8.2.
Площадь параллелограмма
OADB
лежащего в основании
указанного параллелепипеда,
выражается формулой
S a b
, а ВП
a b S e
(рис. 8.2). Поэтому СП
, , ,a b c Se c S e c
.
По свойству скалярного произведения
, Пр Пр
ee
e c e c c
. С другой
стороны,
Прech
, где h высота параллелепипеда, опущенная на осно-
O
D
A
B
b
a
c
С
h
e
Рис. 8.2. Параллелограмм, построенный
на векторах a,b,
c
Лекция 8
60
вание OADB (рис. 8.2). Знак формулы зависит от ориентации векторов,
плюс получается в случае правой и минус в случае левой тройки. Итак
,a b c Sh V
, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Векторы a,b,c компланарны тогда и только тогда,
когда их СП равно нулю
, 0.a b c
(8.1)
Действительно, если векторы компланарны, то
a b c
и равенство
(8.1) выполняется. Обратное также верно. Если выполнено равенство (8.1),
то векторы компланарны. Предположив противное, т.е. что векторы
a
,b,cнекомпланарны, тогда на них можно построить параллелепипед. По
доказанной теореме
,0a b c V
, что противоречит условию.
Следствие 2. Справедливо равенство
,,a b c a b c
.
В самом деле, по свойству коммутативности скалярного произведения
,,a b c b c a
. По теореме 8.2
,a b c V
,
,,b c a V
посколь-
ку речь идет об одном и том же параллелепипеде. Одинаковая ориентированность (a,b,c) и (b,c,a) позволяет выбирать один и тот же знак СП.
Получаем
, , ,a b c b c a a b c
.
Теорема 8.3. СП векторов
1 1 1
,,a X Y Z
,
2 2 2
,,b X Y Z
,
3 3 3
,,c X Y Z
определяется формулой
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,
X Y Z
a b c X Y Z
X Y Z
. (8.2)
Доказательство 8.3. Используя формулы в координатной форме ска-
лярного и векторного произведений получаем
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
,
X Y Z
Y Z X Z X Y
a b c X Y Z X Y Z
Y Z X Z X Y
X Y Z
.
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
a
=(3,1,2), b=(2,2,3), c= (1,3,1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]