Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
11
ЛЕКЦИЯ 1
Сокращения, используемые в тексте:
КЧ комплексные числа
АФКЧ алгебраическая форма КЧ
НЧ натуральные числа
РЧ рациональные числа
Понятие КЧ. АФКЧ. Основные алгебраические операции с КЧ. Свойства операций над КЧ . Геометрическое представление КЧ и операций над ними.
1.1. Введение. Понятие комплексного числа
Перечислим числовые множества, изучаемые в курсе математики в
средней школе.
Натуральные числа (множество НЧ обозначается N). Это числа,
используемые для счета предметов.
Они могут быть разложены в виде суммы конечного числа единиц,
например, 4=1 + 1 + 1 + 1.
Объединение НЧ с нулем и всеми НЧ взятыми со знаком "минус" образуют целые числа (множество целых чисел обозначается Z).
Рациональные числа (множество РЧ обозначается Q) можно пред-
ставить в виде частногодвух чисел, числитель которых целое число, а
знаменатель натуральное: aZ, bN и
a
qb
. РЧ записываются беско-
нечнми периодическими десятичными дробями (4/3=1,(3); 17/45=0,3(7)).
Дополнением к рациональным числам являются иррациональные
числа.
Множество действительных чисел (множество действительных чи-
сел обозначается R) состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Иррациональными числами являются числа, представимые беско-
нечной непериодической десятичной дробью. Они известны очень давно,
некоторые из них имеют фундаментальное значение и обозначаются
специальными символами и буквами (
2 1,4142...
,
3,1415...
, 2,718....e
).
Лекция 1
12
Дальнейшее развитие множеств чисел связано с потребностью в рас-
ширении понятия вещественного (действительного) числа {x:
xR
}. Она
возникает уже в простейших задачах алгебры.
Пример. Уравнение
2
20x
имеет корнями два действительныхчис-
ла
1
2x
и
2
2x
.
Уравнение, в котором изменен знак второго слагаемого,
2
20x
уже
не имеет корней среди множества действительных чисел. То есть необходимо расширение множества действительных чисел.
Исторически понятие КЧ и возникает в результате преодоления про-
блем, подобных только что описанной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (аксиоматическое). КЧ {z:
zC
} это упорядоченная пара действительных чисел вида z=(x, y), для которой выполнены
аксиомы:
Равенство:
12
1 2 1 1 2 2
12
;
( , ) ( , )
.
xx
z z x y x y
yy
Сложение:
12
1 2 1 1 2 2
12
;
, , ,
.
x x x
z z z x y x y x y
y y y
.
Умножение:
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 2 1
;
, , ,
.
x x x y y
z z z x y x y x y
y x y x y
Замечание. Рассмотрим КЧ вида (x,0). В соответствии с определением
операций сложения и умножения
1 2 1 2
,0 ,0 ,0x x x x
,
1 2 1 2 1 2
,0 ,0 0,0 0 ,0 .x x x x x x
Тоесть число нуль, стоящее на втором месте в операндах, «передает-
ся» и результату операции, как в сложении, так и в умножении. При этом в
первой позиции происходят в точности те же операции, что и при сложении и при умножении действительных чисел.
Таким образом, множество КЧ С включает в себя множество действи-
тельных чисел R:
R C
. Действительное число x представляется парой
,0x
.
Поскольку пара (1, 0) отождествляется с числом 1, то
,0 ,0 1,0 1,0x x x
.
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа
13
Аналогично обозначается умножение любого КЧ z=(x, y) на действи-
тельное число
,0
,0 , ,z x y x y
.
Рассмотрим теперь КЧ, у которых нуль есть первая координата
0,zy
. Для таких чисел справедливо
(0,y)=(y,0)(0,1)=y(0,1) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число (0,1) называется мнимой единицей и обо-
значается символом i (реже j ): i =(0,1).
Квадрат этого числа равен минус единице:
i2=ii= (0,1) (0,1) =(0 0 11,0 1+1 0) = (1,0) = 1R.
То есть i2 = 1.
Действительные числа таким свойством не обладают. Это оправдывает
исторически закрепившееся за КЧ вида (0,y) название – чисто мнимые.
Заметим, что число (0,0) = 0 является исключением. Это единственное
число, которое является одновременно и действительным и комплексным.
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа
С учетом определения операций сложения и умножения КЧ z=(x,y)
можно записать в виде
, ,0 0, 0,1z x y x y x y x iy
.
Это соотношение и есть АФКЧ. Запишем приведенные выше определе-
ния равенства, суммы и произведения комплексных чисел в АФКЧ.
12
1 1 2 2
12
,
;
xx
x iy x iy
yy
12
1 1 2 2
12
,
;
x x x
x iy x iy x iy
y y y
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 2 1
,
.
x x x y y
x iy x iy x iy
y x y x y
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В АФКЧ действительное число x называют дей-
ствительной частью КЧ z , а действительное число y – его мнимой частью, и обозначают
х=Re z= Re (x+iy ),
у= Im z= Im (x+iy).
Лекция 1
14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. КЧ (x,y)= xiy называется сопряженным
(или комплексно сопряженным) числу (с числом) (x,y) =x+iy. Сопряжение
обозначают горизонтальной верхней чертой
.z x iy x iy
Свойство 1. Для всякого КЧ z оно само и zвзаимно сопряженные, по-
скольку
.z x iy x iy z
Свойство 2. Равенство
zz
имеет место лишь в том случае, когда
y=0, т.е. если z действительное число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Действительное число
22
xy
называется мо-
дулем КЧ z=x+iy и обозначается как
mod .z или z
22
z x iy x y
.
Свойство 1. Для
0z C z
.
Свойство 2.
2
2 2 2 2
,0 .z z x iy x iy x y x y z
Свойство 3
.
Модули сопряженных комплексных чисел z и zсовпада-
ют:
2 2 2 2
()z x y x y z
.
1.3. Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами.
Коммутативность (переместительный закон)
1 2 2 1
,z z z z
1 2 2 1
.z z z z
Ассоциативность (сочетательный закон)
1 2 3 1 2 3
,z z z z z z
1 2 3 1 2 3
.z z z z z z
Дистрибутивность (распределительный закон)
Умножение КЧ дистрибутивно (распределительно) по отношению к
сложению
1 2 3 1 3 2 3
.z z z z z z z
Эти свойства доказываются исходя из аналогичных свойств действи-
тельных чисел и представления КЧ в алгебраической форме.
1.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
15
Замечание. Формально выполнять операции над записанными в
АФКЧ так же, как если бы число «i» было действительным. При этом следует всюду, где возникают натуральные степени i, заменять i2 на 1.
Пример.
5 2 2
( 1) ( 1) .i i i i i i
1.4. Вычитание и деление комплексных чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью КЧ z1 и z2 называется такое КЧ, ко-
торое в сумме с z2 дает z1 :
1 2 2 1
z z z z z z
.
По определению:
12
1 1 2 2
12
;
.
x x x
z x iy x iy x iy
y y y
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частным КЧ z1 и z2 назовем такое КЧ z, которое,
будучи умножено на z2 , дает z
1
1
21
2
.
z
z z z z
z
Умножим обе части данного выраженияна
2
z
22
2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2
, .z z z z x y z z z z z x iy x iy
Тогда формулу частного можно записать еще и так
1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x y y i x y x y
x x y y x y x y
zi
x y x y x y
.
Пример.
2
2
1 2 3
1 2 3 2 3 1 5
2 3 2 3 2 3 13 13
23
ii
i i i
i
i i i
.
Замечание.
1 2 1 2
z z z z
,
1
1
22
z
z
zz
.
1.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
КЧ можно сопоставить точкам координатной плоскости. Это соответ-
ствие взаимно однозначное.
АФКЧ удобно интерпретировать как разложение плоского вектора
z=x+iy по базису
1,i
декартовой прямоугольной системы координат Oxy.
Лекция 1
16
По оси абсцисс этой коорди-
натной системы принято откладывать значение x =Rez , а по оси ординат – значение y=Imz (рис. 1.1).
Принято рассматривать ком-
плексную плоскость С с действи-
тельной осью – осью абсцисс и
мнимой осью – осью ординат.
Векторы (точки) z и z –
расположены симметрично относительно начала координат, а векторы
(точки) z и zрасположены симметрично относительно действительной
оси.
Модуль КЧ вводится как дли-
на вектора z или как расстояние от
точки z до начала координат. Отсюда следует, что
Re , Imz z z z
,
zC
.
Сложение (вычитание) комплексных чисел приобретает форму
сложения (вычитания) векторов по
известным геометрическим правилам треугольника или параллелограмма (рис. 1.2).
Рис. 1.1. Начало вектора z – в начале
координат, конец – в точке
с координатами (x, y)
Im z
Re z
z (x, y)
1
i
x
y
O
Рис. 1.2. Сложение и вычитание
комплексных чисел на комплексной
плоскости
Im z
Re z
z1+z
2
O
z
1
z
2
z1-z
2
-z
2
17
ЛЕКЦИЯ 2
Сокращения, используемые в тексте:
КЧ – комплексное число
ТФКЧ – тригонометрическая форма КЧ
ПФКЧ – показательная форма КЧ
Неравенство треугольника. ТФКЧ и ПФКЧ. Формула Эйлера. Формула Муавра. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.
2.1. Неравенства треугольника
Для любых КЧ z1, z2 выполнены условия (неравенства треугольника)
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
.
Эти неравенства являются обобщением известных из элементарной гео-
метрии соотношений между длинами сторон треугольника. В любом треугольнике длина одной стороны не меньше разности и не больше суммы
длин двух других его сторон.
Обобщением служит следующее выражение для модуля суммы КЧ
11
.
nn
mm
mm
zz
Модуль суммы КЧ не превосходит суммы модулей слагаемых. Это соот-
ношение также хорошо известно в случае
zR
.
2.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Помимо прямоугольной системы координат (x, y) положение точки на
плоскости можно характеризовать в криволинейной системе ее полярными
координатами r, .
r – полярный радиус – расстояние от заданной точки до полюса по-
лярной системы координат;
– полярный угол – угол между радиус-вектором точки и полярной
осью – лучом, выпущенным произвольно в определенном направлении из
полюса и лежащим в плоскости. Увеличение числовых значений угла происходит против часовой стрелки (рис. 2.1).
Лекция 2
18
Принято размещать точку, со-
ответствующую КЧ z на комплексной плоскости так, чтобы полярная
ось совпадала с действительной
осью, а полюс с точкой z=0 –
началом декартовой системы
(см. рис. 2.1).
Угол называется аргумен-
том КЧ z и обозначается = arg z.
Для полюса значение не определено.
Модуль КЧ
22
z x y r
.
Связь декартовых и полярных координат точки z выражают формулы
cos ,
sin .
xr
yr
Тогда любое КЧ z 0 можно представить в виде
cos sin .z x iy r i
(2.1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Соотношение (2.1) называется ТФКЧ.
Аргумент КЧ, заданного в АФКЧ z=x+iy, определяется из системы
уравнений ( z 0 )
22
22
cos ,
sin .
xx
r
xy
yy
r
xy
(2.2)
Аргумент КЧ определен неоднозначно. Все возможные его значе-
ния задаются формулой:
0
arg 2 ,zk
где
0
– одно (любое) из решений системы (2.2),
k Z
. Следствием систе-
мы является равенство
tg , 0.
y
x
x
(2.3)
При этом следует иметь в виду, что среди значений , удовлетворяющих уравнению (2.3), есть посторонние, которые не являются решениями
системы уравнений, т.е. не могут быть значениями arg z.
Im z
Re z
z
O (полюс)
r (полярный радиус)
полярный угол
полярная ось
Рис. 2.1. Представление КЧ z в полярной
системе координат
2.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
19
Пример.
1zi
, так, что
1, 1xy
. В качестве
0
можно выбрать
0
3
.
4
Тогда
3
arg( 1) 2 ,
4
ik
kZ
.
Уравнение (2.3) сводится к
tg 1
.
Оно имеет корни:
4
m
,
mZ
.
Находящиеся среди них числа,
24l
,
lZ
, не являются зна-
чениями функции
arg( 1)i
, а остальные являются.
Свойства arg:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 2
cos( ) sin( ) cos cos sin sin
(sin cos sin cos ) (cos sin )(cos sin ) ( ) ( );
fi
i i i f f
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
cos( ) sin( ) cos cos sin sin
(cos sin )(cos sin )
(sin cos sin cos )
(cos sin )(cos sin )
(cos sin ) ( )
;
(cos sin ) ( )
fi
ii
i
ii
if
if
cos sin cos sin ( )
dd
f i i i if
dd
.
Как видно, два первых свойства аналогичны свойствам показательной
функции
x
ye
, а последнее показывает, что показатель экспоненты x есть
выражение i.
Опираясь на выделенные свойства, определим
cos sin .
i
ei
(2.4)
Формула (2.4) называется формулой Эйлера.
По формуле получаем:
cos sin
i
ei
.
Тогда
Рис. 2.2. Число z=i1 на комплексной
плоскости
Лекция 2
20
2cos , ;
(cos sin ) (cos sin )
2 sin , .
ii
для суммы
e e i i
i для разности
Находим значения тригонометрических функций
cos ,
2
sin .
2
ii
ii
ee
ee
i
(2.5)
Соотношения (2.5) также называются формулами Эйлера представ-
ления тригонометрических функций через показательные функции.
Возводя обе части равенства формулы Эйлера (2.4) в действительную
степень n и пользуясь свойствами экспоненциальной функции, приходим к
формуле Муавра
cos sin cos sin
n
n
i in
e e i n i n
,
nZ
. (2.6)
Формула (2.6) может быть использована для получения различных со-
отношений, известных в тригонометрии и выводимых там менее эффективными методами.
Пример.
2
22
cos sin cos 2 sin cos sin cos2 sin2 .i i i
Приравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей
уравнения, получаем известные формулы двойного угла.
2.3. Показательная форма комплексного числа
Воспользовавшись формулой Эйлера КЧ z можно представить в виде
(cos sin )
i
z x iy r i re
,
, 0.z C z
(2.7)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Представление КЧ (2.7) называется его показа-
тельной формой.
Показательную форму можно также записать, используя только КЧ z:
arg.iz
z z e
Из свойств показательной функции получаются простые правила вы-
полнения умножения и деления комплексных чисел
12
12
1 2 1 2 1 2
i
ii
z z re r e rr e
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]