Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
15.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования…
111
X=ТХ', Y=ТY'.
В соответствии с (15.3) имеем
Y=АХ, Y'=В Х'.
Умножив Х=ТХ' слева на матрицуА, получим АХ = АТХ', или
ТY'=АТХ', откуда Y'=Т-1АТХ'. Сравнивая это равенство с равенством
Y'=ВХ', находим доказываемую формулу
В=T-1АТ. (15.4)
Утверждение. Из невырожденности МЛПР в некотором базисе, сле-
дует невырожденность МЛПР и в любом другом базисе.
Доказательство. Пусть А и В – МЛПР f в двух различных базисах,
причем
det 0A
. Так как B = T-1АT, где Т – невырожденная матрица, то
detB = det (T-1АT) = detT-1detAdetТ 0.
Пример. В базисе e1, е2 преобразование f имеет матрицу
84
52
A
.
Найти матрицу преобразования f в базисе e'1 = 2e1 + е2, е'2= 6e1 + 4е2.
Так как
26
14
T
,
1
4 6 2 3
1
1 2 0,5 1
2
T
, то
1
2 3 8 4 2 6 1 2 2 6 4 14
0,5 1 5 2 1 4 1 0 1 4 2 6
B T AT
.
Определим понятие подобия матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица В называется подобной матрице A, ес-
ли существует невырожденная квадратная матрица С, удовлетворяющая
равенству
В=С-1АС.
Из теоремы 15.1 следует, что матрица В ЛПР f в базисе е'1,е'2,...,е'n по-
добна матрице А того же преобразования f в другом базисе е1,е2,...,еn , так
как эти матрицы связаны формулой В = С-1АС, где С=Т – невырожденная
матрица перехода от базиса е1,е2,...,еn к базису е'1,е'2,...,е'n.
Утверждение (без доказательства). Две квадратные матрицы А и В
порядка n тогда и только тогда являются матрицами одного и того же
ЛПР пространства Vn в соответствующих базисах, когда В подобна А.
Лекция 15
112
15.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования
Теорема 15.2. Если ЛПР f в базисе е1,е2,...,еn имеет матрицу A, а в ба-
зисе е'1,е'2,...,е'n матрицу B, то det(A
E)= det(B
E), где – любое дей-
ствительное число, E – единичная матрица n-го порядка.
Доказательство 15.2. Пусть T– матрица перехода от базисае1,е2,...,еn к
е'1,е'2,...,е'n. Тогда B=T-1AT . Следовательно
det(BE)= det(T-1ATE)= det(T-1ATT-1ET)= det (T-1 (AE) T)=
=det (T-1) det (A
E) det (T)= det (A
E).
Здесь мы учли, что det (T-1) det (T)=1.
Итак, доказано, что
det(B
E) = det(A
E). (15.5)
Замечание. det(A
E) является многочленом степени n
относительно .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен det(A-E) называется характеристи-
ческим многочленом матрицы А (характеристическим многочленом
ЛПР f ).
Замечание. Характеристический многочлен ЛПР не зависит от базиса,
в то время как матрица ЛПР меняется.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Характеристическим уравнением ЛПР называ-
ется
det(A
E)=0, (15.6)
где A – матрица этого преобразования в некотором базисе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корни уравнения (15.6) называются характери-
стическими числами ЛПР f (характеристическими числами матрицы A).
Если ЛПР f в некотором базисе е1,е2,...,еn имеет квадратную матрицу
n-го порядка A=(aik) , то характеристическое уравнение
11 12 1
21 22 2
12
...
1 0 ... 0
...
0 1 ... 0
det 0
... ... ... ...
... ... ... ...
...
0 0 ... 1
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
,
15.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования
113
или
11 12 1
21 22 2
12
...
...
0
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
.
Левая часть равенства является характеристическим многочленом
матрицы А. Обозначим его как Pn(). Тогда характеристическое уравнение
примет вид
Pn()=0.
Пример. Найти характеристический многочлен и характеристические
числа матрицы
4 1 2
2 1 2
1 1 1
A
.
Характеристический многочлен:
4 1 2
2 1 2
1 1 1
n
P
.
Pn()= (4
)(1
)2+4+2+2(1
)+2(1
)2(4
)=
3
+6
2
11+6.
Приравнивая Pn()= 0, задаем характеристическое уравнение и нахо-
дим корни характеристического уравнения.
3
+6
2
11+6=0
3
6
2
+11
6=0 разлагаем на множители,
3
6
2
+11
6=
3
2
5
2
+5+6
6=
=
2
(
1)
5(
1)+6(
1)= (
1)(
2
5+6).
Тогда решая уравнение получаем
1=1, 2 =2, 3=3 – корни характеристического уравнения.
114
ЛЕКЦИЯ 16
Сокращения, используемые в тексте:
СВ – собственные векторы
СЗ – собственные значения
ЛПР – линейное преобразование
ЛП – линейное пространство
СВ и СЗ ЛПР. Свойства СЗ и СВ. СЗ и СВ симметрической матрицы.
Действия над ЛПР. Произведение и сумма ЛПР.
16.1. Собственные векторы линейного преобразования
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой вектор x ЛП называется СВ ЛПР f это-
го пространства, если существует число k (действительное для действительного ЛП и комплексное для комплексного ЛП) такое, что
f(x)=kx. (16.1)
Число k называется СЗ СВ х относительно преобразования f.
Выпишем уравнение (16.1) в матрично-векторном виде
АХ= kХ. (16.2)
Здесь А – матрица оператора f и X столбец координат СВ в некотором базисе.
СВ и СЗ обладают свойствами.
Свойство 1. СВ ЛПР имеет единственное СЗ, равное k.
Доказательство. Пусть k и m – два СЗ для СВ х относительно ЛПР f,
тогда f(х) = kх и f(x)=тх. Получаем kх = тх, (km)х = 0. Поскольку х0,
то
km = 0, или k=m.
Свойство 2. Если х – СВ ЛПР f с СЗ k и – любое отличное от нуля
число, то х – также СВ ЛПР f с СЗ k.
Доказательство. Если х – СВ с СЗ k, то f(x)=f(x)=(kx)=k(x) или
f(x) = k(x). Последнее равенство означает, что x – СВ ЛПР f с СЗ k.
Свойство 3. Если х и у – линейно независимые СВ f с одним и тем же
СЗ k, то х+у также СВ этого преобразования с СЗ k.
16.1. Собственные векторы линейного преобразования
115
Доказательство. Из линейной независимости векторов х и у следует,
что х+у – ненулевой вектор. Тогда f(х+у)=f(х)+f(у)=kх+ky=k(х+у),
или f(х+у)= k(х+у). Т.е. (х+у)– СВ с k.
Свойство 4. Если х и у– СВ ЛПР f с СЗ k и m, причем km, то х и у –
линейно независимы.
Доказательство. Докажем от противного. Пусть векторы х и у линейно зависимы, тогда у= х, причем 0, так как у0. Согласно свойству 2
вектор х является СВ с СЗ k. Учитывая свойство 1, из равенства у= х заключаем, что k=m, а это противоречит условию. Следовательно, векторы х
и у – линейно независимы.
Следствие. Если х1, х2,..., хm – линейно независимые СВ f с одним и
тем же СЗ k, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов
есть СВ этого преобразования с СЗ k.
Это утверждение следует из свойств 2 и 3.
Теорема 16.1. В комплексном ЛП все корни характеристического
уравнения и только они являются СЗ ЛПР.
Доказательство 16.1. Если ненулевой вектор х будет СВ f комплекс-
ного ЛП, то по определению АХ=kХ, или
(АkЕ)Х=0,
гдеА – матрица f в некотором базисе. Пусть А=(aik)nn, тогда уравнение
(АkЕ)Х=0 представляет матричную запись однородной системы уравне-
ний
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ... 0,
( ) ... 0,
......................
... ( ) 0,
nn
nn
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
относительно координат x1, х2,..,хn СВ х0. Эта система имеет ненулевое
решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е.
det(AkE)=0, или
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ... 0
( ) ... 0
0.
......................
... ( ) 0
nn
nn
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
(16.3)
Это означает, что число k– корень характеристического уравнения.
Лекция 16
116
Обратно, если k– корень характеристического уравнения, то система
(16.3) или матричное уравнение (АkЕ)Х=0 имеет ненулевое решение x1,
х2,..,хn, причем АХ=kХ или f(x)= kх.
Это означает, что x(x1, х2,..,хn) – СВ.
Замечание 1. Раскрывая определитель (16.3) относительно параметра
k, получаем многочлен n-й степени. Такое уравнение имеет ровно n корней,
считая кратные и комплексные. Среди корней этого уравнения может и не
оказаться действительных.
Замечание 2. СВ ЛПР действительного ЛП будут только действитель-
ные корни характеристического уравнения.
СЗ ЛПР называются также собственными значениями матрицы этого
преобразования. СЗ называется m-кратным, если оно является m-кратным
корнем характеристического уравнения.
16.2. Собственные значения и собственные вектора
симметрической матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А называется симметрической если
АТ=А и А=
A
(
сопряженная матрице А).
Теорема 16.2. Характеристическое уравнение действительной сим-
метрической матрицы имеет действительные корни.
Доказательство 16.2. Пусть k – корень характеристического уравне-
ния и х(x1, х2,..,хn) – СВ данной квадратной матрицы порядка n. Найдем
произведение ХTАX, где X– матрица-столбец из координат вектора х, которые могут быть и комплексными числами.
X
– матрица, сопряженная
матрице X. Х
T
– матрица-строка, полученная транспонированием матрицы
X. По-разному раскрывая искомое произведение, используя свойства
транспонированных и сопряженных матриц, получаем:
ХTАX=Х
T
A
X
=Х
T
AX
=Х
T
kX
=Х
T
kX=k
T
XX
,
ХTАX=Х
T
T
A
X
=(AX)
T
X
=(kX)
T
X
=k(X
T
X
).
Тогда
k
T
XX
= k(X
T
X
) или (
k
k)
T
XX
= 0.
Исходя из определения собственного вектора, X– ненулевой столбец.
При этом
T
X0X
16.3. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду
117
1
2
22
2
T
1 2 1 1 2 2 1 2
... ... ... .
...
n n n n
n
x
x
x x x x x x x x x x x x
x
XX
Тогда, из равенства (
k
k)
T
XX
=0, получаем
k
k=0.Или k=k. Т.е.
k – действительное число.
Следствие. СВ действительной симметрической матрицы могут
быть только действительными векторами.
Теорема 16.3. СВ действительной симметрической матрицы, соот-
ветствующие различным СЗ, ортогональны.
Доказательство 16.3. Пусть х(х1, х2,..., хm), у(y1, y
2
,..., ym) – два СВ
симметрической матрицы А порядка n, отвечающие различным СЗ k и m.
X, Y – соответствующие векторы-столбцы из их координат. Найдем произ-
ведение XTAY, пользуясь ассоциативным свойством умножения матриц
XTAY = XT(AY) = XT(mY)=m(XTY),
XTAY =(X TA)Y=(X TAT)Y = (AX)TY = (kX)TY = k (X TY).
Из равенств следует
m(XTY)= k (XTY), или (mk)XTY=0.
Так как по условию (mk) 0, то XTY = 0.
То есть x1y1+ x2y2+...+ xnyn=0.
Это означает, что векторы x и у ортогональны.
16.3. Приведение матрицы линейного преобразования
к диагональному виду
Теорема 16.4. Матрица ЛПР имеет диагональный вид тогда и только
тогда, когда каждый базисный вектор является СВ этого преобразования.
Доказательство 16.4. Пусть матрица А ЛПР в базисе e1,e2,..,en имеет
диагональный вид
1
2
0 ... 0
0 ... 0
.
... ... ... ...
0 0 ...
n
A
(16.4)
Лекция 16
118
Тогда по определению этой матрицы f(еi) = i еi (i =1, 2,..,n). Получен-
ное равенство означает, что каждый базисный вектор еi будет СВ ЛПР f.
Обратно, пусть базисные векторы e1, e 2,..,en будут СВ f с соответству-
ющими СЗ 1, 2,.., n. В данном случае f (еi) = i еi (i =1, 2,..,n), поэтому
матрица А ЛПР имеет вид (16.4), т.е. является диагональной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А называется приводимой к диагональ-
ному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что матрица
1
T AT B
будет диагональной.
Теорема 16.5. Матрица А ЛПР f n-мерного ЛП приводима к диаго-
нальному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из СВ данного преобразования.
Доказательство 16.5. Пусть ЛПР f в базисе e1, e2,..,en имеет матрицу А,
которая приводима к диагональному виду. То есть существует невырожденная матрица T такая, что В=T-1AT– диагональная матрица. Эту матрицу
Т можно рассматривать как матрицу перехода от базиса e1, e2,..,en к базису
e'1,e'2,..,e'n, в котором матрица В является диагональной. На основании
предыдущей теоремы заключаем, что e'1,e'2,..,e'n– СВ преобразования f.
Обратно, пусть базис e''1,e''2,..,e''n данного n-мерного пространства состоит из СВ ЛПР f. По теореме 16.4 в этом базисе матрица D=T-1AT– диагональная (Т – матрица перехода от базиса e1, e2,..,en к базису e''1,e''2,..,e''n).
Следовательно, матрицаА приводима к диагональному виду.
16.4. Действия над линейными преобразованиями
1. Произведение ЛПР. Рассмотрим преобразование f переводящее
вектор х в вектор у
у =f(х).
Применим к этому преобразованию новое преобразование g, переводящее у в вектор z
z=g(y).
Получаем сложное преобразование z =g (f (x)), переводящее вектор х в
вектор z, причем вектор z получен в результате последовательного применения преобразований f и g. Такое ЛПР и называется произведением преобразования f на преобразование g, или композицией этих преобразований,
и обозначается g f (или просто gf)
g f (x) = g(f (x)).
16.4. Действия над линейными преобразованиями
119
Можно показать, что произведение ЛПР является ЛПР. Пусть f и g –
ЛПР некоторого ЛП. Рассмотрим преобразование z на линейной комбинации векторов
g f (x1+x2) = g(f (x1+x2))=g(f (x1)+f (x2))=g(f (x1))+g(f (x2))=
=g f (x1)+ g f (x2).
Это доказывает, что g f – ЛПР.
Теорема 16.6. Если в некотором базисе ЛПР f и g имеют соответственно матрицыА и В, то их произведение g f в том же базисе имеет
матрицу ВА.
Доказательство 16.6. Пусть: у=f(х), z=g(y), z=g f (x).
Тогда Y=AX, Z=BY, Z = CX,
где С – матрица ЛПР g f в рассматриваемом базисе.
Из уравнений Z=BY и Y=AX следует Z=BAX. Сравнивая с уравнением
Z=СХ, заключаем, что С = ВА.
2. Сумма ЛПР. Суммой ЛПР f и g некоторого ЛП называется преобра-
зование h такое, что для любого вектора х этого пространства
h(x) = f(x)+g(x).
Сокращенно обозначим сумму преобразований как f+g.
Очевидно f+g=g+f.
Можно доказать, что сумма ЛПР является ЛПР (аналогично произведению преобразований).
Теорема 16.7. Если ЛПР f и g в некотором базисе имеют соответственно матрицы А и В, то преобразование f+g в том же базисе имеет
матрицу А+В.
Доказательство 16.7 аналогично доказательству теоремы 16.6.
120
ЛЕКЦИЯ 17
Сокращения, используемые в тексте:
МН – множество
ЧПС – числовая последовательность
ПЧПС – предел числовойпоследовательности
Понятие МН. Операции над МН. Свойства МН действительных чисел R.
Понятие ЧПС. Операции над ЧПС. Сходимость ЧПС. Ограниченность и
монотонность ЧПС. Второй замечательный предел.
17.1. Понятие множества
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В математике принято определять понятие МН
как совокупность определенных объектов. Эти объекты называются элементами МН.
Свойства МН.
1. МН принято обозначать заглавными латинскими буквами A, B, C,...
2. Элементы МН обозначаются малыми латинскими буквами a, b, c,...
3. Принадлежность элемента a МН A обозначается как aA.
4. Непринадлежность элемента a МН A обозначается как aA.
5. Можно выделить следующие МН.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МН, не содержащее ни одного элемента, называ-
ется пустым .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МН называется конечным если существует не-
отрицательное целое число k, равное количеству элементов МН. МН, не
являющееся конечным, называется бесконечным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бесконечное МН, элементы которого можно про-
нумеровать с помощью натуральных чисел называется счетным (само N
является счетным).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Всякое бесконечное счетное МН называется ЧПС.
Обозначается {xn}, n=1, 2, 3, ....
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]