Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
18.3. График функции
131
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для любых х и (х) из области определения
ФН у=f(х) выполняется равенство f(x)= f(х), то у=f(х) называется чет-
ной ФН.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для любых х и (х) из области определения
ФН у=f(х) справедливоравенство (х) =
(х), то у=f(х) называется не-
четной ФН.
Пример. Четные ФН
2
yx
,
cosyx
и нечетные ФН
3
yx
,
sinyx
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует такое число T0, что при всех х
и х+Т из области определения ФН у=f(х) справедливо: f(x+T)= f(x), то у=f(х)
называется периодической ФН. Число Т называется периодом ФН.
Замечание. Если ФН является периодической, то она имеет бесконечное число периодов. Поэтому в качестве периода ФН у=f(x) считается
наименьший положительный период.
Пример. Период ФН
cosyx
равен 2. Период ФН
tgyx
равен .
Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических ФН к ос-
новными элементарными функциям относятся:
– степенная ФН
a
yx
(а=const);
– показательная ФН
x
ya
(a = const);
– логарифмическая ФН
log
a
yx
(а=const).
18.3. График функции
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество точек M (M(x,f(x))) плоскости, коор-
динаты которых удовлетворяют функциональной зависимости y=f(x)
называется графиком ФН у =f(х).
Свойства.
Если ФН четная, то график симметричен относительно оси Оу.
Если ФН нечетная, то график симметричен относительно начала координат.
Графики взаимно-обратных ФН симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатного угла.
Лекция 18
132
18.4. Предел функции
Пусть точка х=а содержится в некотором интервале, на котором опре-
делена ФН у=f(x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число А называется ПФН у=f(x) при x, стремя-
щемся к а (или в точке а), если для любого числа >0 существует такое
>0, что при всех x, удовлетворяющих условию
0<|ха|<, (18.5)
выполняется неравенство
|f(x)A|<. (18.6)
Обозначения ПФН f(x) при x, стремящемся к а
limxaf x A
.
Геометрический смысл этого определения.
Пусть график ФН у=f(x) представляет собой кривую, изображенную на
рис.18.1. Условие (18.5) определяет, что х удалена от а не более чем на ,
т. е.x(а-, а+). Неравенство (18.6) означает, что значения ФН у=f(x) не
выходят из интервала (А, А+) на оси Оу, т.е. принадлежат -окрестности
точки А этой оси. Таким образом, точка М графика ФН у=f(x) должна находиться в полоске шириной 2, ограниченной прямыми
у=А
, у=A+,
для всех значений x, удаленных от точки а не далее чем на . При 0 в
случае непрерывной ФН 0.
Можно определить односторонние ПФН как:
– левый предел
0
limxaf x A
(x стремится к а, оставаясь меньше а
х<а);
– правый предел
0
limxaf x A
(x стремится к а, оставаясь больше а
х>а).
O
y
x
a- M a+
a
A
A+
A-
Рис. 18.1. Геометрическое
представление ПФН
18.4. Предел функции
133
В курсе математического анализа доказывается, что если односторон-
ние ПФН равны (рис.18.1)
00
lim lim
x a x a
f x f x A
,
то предел А в точке x=а существует и равен односторонним пределам
limxaf x A
.
Если односторонние ПФН различны (рис.18.2,а)
00
lim lim ,
x a x a
f x f x
т.е. А1А2 или хотя бы один из них не существует
(рис.18.2,б), то не существует и ПФН в точке х=а.
Сформулируем понятие ПФН при х, т.е. для случая, когда х не-
ограниченно возрастает.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число А называется ПФН у=f(x) при х, если для
любого положительного числа существует положительное число M такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию х >M,
справедливо неравенство |f(x)А|<. Для обозначения ПФН у=f(x) при х
используется символ
limxf x A
.
Аналогично определяется ПФН у=f(x) при х
lim .
x
f x A
O
y
x
a
A2
A1
а
O
y
x
a
A1
б
Рис. 18.2. ФН с отсутствием предела в точке x=a;а – различные правый и левый
пределы; б – отсутствие одного из односторонних пределов
134
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первой части представлен курс высшей математики, который читается студентам указанных выше специальностей на занятиях первого семестра. Сюда входят разделы линейной и векторной алгебры, аналитическая геометрия, начало математического анализа. Для проверки уровня
освоения курса приводим список контрольных вопросов.
1. Множество комплексных чисел. Алгебраическая форма. Операции
над комплексными числами. Комплексно сопряженное число. Комплексная
плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа.
2. Свойства операций над комплексными числами. Неравенство тре-
угольника. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера.
3. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра. Из-
влечение корня натуральной степени из комплексного числа.
4. Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
5. Определитель матрицы. Минор и алгебраическое дополнение эле-
мента определителя. Свойство определителя.
6. Вычисление определителя матрицы. Теорема замещения. Теорема
аннулирования.
7. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Невырожденная
матрица. Вычисление обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.
8. Понятие ранга матрицы. Свойства ранга. Зависимость решений
СЛАУ от рангов матрицы системы и расширенной матрицы.
9. Система линейных алгебраических уравнений. Однородная и неод-
нородная СЛАУ. Матричная форма записи. Совместность СЛАУ.
10. Методы решения СЛАУ. Решение СЛАУ с помощью обратной
матрицы формулы Крамера.
11. Метод Гаусса решения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.
12. Ранг матицы. Базисный минор матрицы. Базисные неизвестные.
13. Задание вектора в декартовой системе координат. Правая и левая
система координат. Направляющие косинусы и длина вектора в декартовой системе координат. Необходимое и достаточное условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов.
Заключение
135
14. Операции над векторами в координатном представлении. Свой-
ства скалярного произведения.
15. Правая и левая система координат. Векторное и смешанное про-
изведения векторов. Свойства векторного и смешанного произведения.
16. Линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное
условие линейной зависимости. Условия линейной зависимости векторов.
17. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение плоско-
сти в пространстве. Преобразование общего уравнения к нормальному
уравнению.
18. Нормальное уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходя-
щей через три точки. Преобразование нормального уравнения к общему
уравнению. Расстояние от точки до плоскости.
19. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
20. Параметрическое уравнение прямой. Каноническое уравнение пря-
мой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя
прямыми. Прямая как пересечение плоскостей.
21. Понятие кривой второго порядка. Уравнение окружности.
22. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Исследование эллипса по
его уравнению.
23. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование ги-
перболы по ее уравнению.
24. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование пара-
болы по ее уравнению.
25. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к канониче-
скому виду.
26. Понятие поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Эллипсоид вращения. Гиперболоид вращения. Конус вращения. Параболоид
вращения. Цилиндр вращения.
27. Поверхности второго порядка, не являющиеся поверхностями
вращения.
28. Понятие линейного пространства. Действительное линейное про-
странство. Подпространство линейного пространства. Линейная зависимость векторов линейного пространства.
Заключение
136
29. Размерность линейного пространства. Базис линейного простран-
ства. Координаты вектора в заданном базисе линейного пространства.
Необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов в
n-мерном линейном пространстве.
30. Преобразование координат при изменении базиса. Матрица пере-
хода.
31. Понятие Евклидова пространства. Норма вектора. Свойства
нормы. Угол между векторами Евклидова пространства.
32. Ортогональные элементы. Нормированный элемент. Ортонорми-
рованная система элементов. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе.
33. Понятие линейного преобразования в линейном пространстве. Об-
раз и прообраз элемента линейного пространства. Матрица линейного
преобразования. Ранг и дефект преобразования.
34. Линейное преобразование, выраженное в координатах. Невырож-
денное преобразование. Матрица преобразования в различных базисах.
35. Характеристическое уравнение линейного преобразования. Харак-
теристический многочлен. Характеристические числа.
36. Собственные векторы и собственные значения линейного преобра-
зования. Свойства собственных векторов и собственных значений.
37. Собственные векторы и собственные значения симметричной
матрицы. Ортогональность собственных векторов.
38. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному
виду. Произведение и сумма линейных преобразований.
39. Понятие множества. Операции над множествами. Свойства
множества действительных чисел.
40. Понятие числовой последовательности. Предел последовательно-
сти. Операции над числовыми последовательностями.
41. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.
Достаточное условие существования предела числовой последовательно-
сти. Предел последовательности
1
1
n
n
.
42. Понятие функции. Виды задания функций. График функции.
43. Предел функции. Левый, правый пределы.
137
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бородицкий, М. П. Сборник заданий к типовым расчетам и контроль-
ным работам по математическим дисциплинам [Текст] : учебное
пособие; в 2-х ч. / М. П. Бородицкий, В. Н. Зуев, Л. К. Кодачигова,
Э. Г. Мархель, Н. Е. Сапунцов, А. И. Сухинов. Таганрог : Изд-во
Технологического института ЮФУ, 2009.
2. Барашков, А. С. Математика [Текст] / А. С. Барашков. Москва : Экс-
мо, 2005. 480 с.
3. Зельдович, Я. Б. Высшая математика для начинающих физиков и
техников [Текст] / Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом. Москва : Наука,
1982. 512 с.
4. Геворкян, П. С. Высшая математика. Основы математического анализа
[Текст] / П. С. Геворкян. Москва : Озон, 2004. 240 с.
5. Иванова, Е. Е. Дифференциальное исчисление функций одного пере-
менного [Текст] / Е. Е. Иванова. Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. 408 с.
6. Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики [Текст] / Б. П. Де-
мидович, В. А. Кудрявцев. Москва : Астрель, 2001. 656 с.
7. Миносцев, В. Б. Курс математики для технических вузов. Часть 1
[Текст] / Под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. СанктПетербург : Лань, 2013. 544 с.
8. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике [Текст] / А. Д. Мыш-
кис. Санкт-Петербург : Лань, 2007. 688 с.
9. Салимов, Р. Б. Математика для инженеров и технологов [Текст] /
Р. Б. Салимов. Москва : Физматлит, 2009. 484 с.
10. Воронина, Б. Б. Математический анализ. Конспект лекций [Текст] /
Б. Б. Воронина. Москва : Эксмо, 2007. 160 с.
Учебное издание
ЧЕРЕПАНЦЕВ Александр Сергеевич
СЕМЕНИСТЫЙ Владимир Васильевич
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ИРТСУ ЮФУ
ПО НАПРАВЛЕНИЯМ САМОЛЕТО-ВЕРТОЛЕТОСТРОЕНИЕ,
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ И ДВИГАТЕЛЕЙ
Учебное пособие
в двух частях
Часть 1
Редакторы: Н. И. Селезнева, З. И. Надточий, Л. В. Чиканенко
Корректоры: Н. И. Селезнева, З. И. Надточий, Л. В. Чиканенко
Компьютерная верстка Т. А. Кочергиной
Подписано в печать 10.11.2021 г.
Бумага офсетная. Формат 60x841/16. Усл. печ. лист. 8,02.
Уч. изд. л. 3,79. Тираж 30 экз. Заказ № 8215.
Издательство Южного федерального университета
Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции
Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ.
344091 г. Ростов на Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. (863)243-41-66
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]