Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
9.7. Взаимное расположение прямых в пространстве
71
Угол между прямыми определяется углом между их направляющими
векторами. Поэтому
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
,
cos
ab
a b a b a b
ab
a a a b b b
.
9.7. Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть прямые заданы параметрическими уравнениями
х =х1+а1t, у=y1+а2t, z=z1+a3t;
х=х2+b1t, у=y2+b2t, z=z2+b3t.
Кроме направляющих векторов a=(а1,а2,а3),b=(b1,b2,b3), рассмотрим
еще вектор
12
MM
=(х
2
x1,y
2
y1,z
2
z1).
Если прямые лежат в одной плоскости, то и векторы
,ab
и
12
MM
ле-
жат в той же плоскости. В этом случае СП
12
,a b M M
=0. В противном
случае прямые скрещиваются.
То есть данные прямые являются скрещивающимися тогда и только
тогда, когда векторы a,b,
12
MM
некомпланарны. В этом случае их сме-
шанное произведение отлично от нуля
12
,a b M M
0.
72
ЛЕКЦИЯ 10
Сокращения, используемые в тексте:
УПР – уравнение прямой
ОКР – окружность
ЭС – эллипс
УПР, расположенной на пересечении двух плоскостей. Исследование
расположения прямой и плоскости по их уравнениям. Определение угла
между прямой и плоскостью. Вычисление расстояния от точки пространства до плоскости. Общее уравнение кривых второго порядка.
Уравнение окружности.
10.1. Пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой
Пусть заданы две непараллельные плоскости
A1x + B1y + C1z + D1 =0,
А2х + В2у + C2z + D2 =0.
Пусть
11
22
AB
AB
, т.е.
11
22
0
AB
AB
.
Общая прямая, получающаяся как пересечение плоскостей, определя-
ется системой уравнений
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0.
Ax B y C z D
A x B y C z D
(10.1)
Приведем уравнения (10.1) к параметрическому виду прямой. Для это-
го выберем точку этой прямой и направляющий вектор. В качестве последнего можно взять вектор
12
a n n
, где
1
n
и
2
n
– нормальные векторы
рассматриваемых плоскостей.
Так как
1 1 1 1
,,n A B C
,
2 2 2 2
,,n A B C
, то
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
,,
B C A C A B
a
B C A C A B
.
Чтобы выбрать точку, фиксируем произвольное значение
0
zz
в
уравнениях (10.1). Тогда получается система двух уравнений относительно
x, y
10.2. Взаимное расположение прямой и плоскости
73
1 1 1 0 1
2 2 2 0 2
= ,
= .
Ax B y C z D
A x B y C z D
Решение системы (определитель ее отличен от нуля) значения
0
xx
и
0
yy
. Итак, на прямой определена точка
0 0 0
,,M x y z
. Тогда искомые па-
раметрические уравнения принимают вид
1 1 1 1 1 1
0 0 0
2 2 2 2 2 2
, , .
B C A C A B
x x t y y t z z t
B C A C A B
Пример. Составить параметрическое УПР, заданной плоскостями
3 4 2 0,
7 5 5 9 0.
x y z
x y z
Положив, например, z0=0, получим систему уравнений
3 4 2,
7 5 9.
xy
xy
Из нее находим х0=2, у0=1. Таким образом, точка M0(2,1,0) является
фиксированной точкой искомой прямой.
Поскольку
1
n
= (3, 4, 1),
2
n
= (7, 5, 5), то
12
4 1 3 1 3 4
, , 15, 8,13
5 5 7 5 7 5
a n n
.
Следовательно, искомое параметрическое УПР имеет вид
х=2-15t, у=1-8t, z=13t.
10.2. Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть заданы УПР
х = х0 + а1t, у = y0 + а2t, z = z0 + a3t
и плоскость Ax + By + Cz + D =0.
Подставляя параметрические УПР в уравнение плоскости, получаем
А(х0+a1t)+В(у0+a2t)+C(z0+a3t)+D=0,
или
(Аa1+Ba2+Ca3)t+(Ах0+Ву0+Cz0+D)=0. (10.2)
Возможны три случая решения этого уравнения.
1. Аa1 + Ba2 + Ca30.
Лекция 10
74
Тогда (10.2) имеет единственное решение:х=х0+а1t, у=y0+а2t, z=z0+a3t,
где
0 0 0
1 2 3
Ax By Cz D
t
A a B a C a
.
То есть прямая и плоскость пересекаются в точке.
2. Аa1+Ba2+Ca3=0, Ах0+Bу0+Cz0+D0.
Ни одно значение t не удовлетворяет (10.2) и общих точек нет. Прямая и
плоскость параллельны.
3. Аa1+Ba2+Ca3=0 , Ах0+Bу0+Cz0+D=0.
Любое значение t удовлетворяет (10.2). Прямая принадлежит плоскости.
Пример. Как располагается плоскость х+у+z3=0 и прямая
х=1t, у=2+3t, z=64t ?
Так как Аa1+Ba2+Ca30 выполнено, прямая и плоскость пересекаются.
Найдем координаты точки пересечения. Определим параметр t, подставляя
х,у,z в уравнение плоскости. Тогда
(1t)+(2+3t)+(64t)3=0.
Решая,получаем t=3. Находим координаты точки пересечения
х=13=2, у=2+9=11, z=612=6.
Следовательно, точка пересечения М(2,11,6).
10.3. Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой x=x0+a1t, y=y0+a2t, z=z0+a2t и плоскостью
Ах+By+Cz+D=0 определяется расположением векторов нормали n=(А,В,С)
и направляющего вектора a=(а1,а2,а3) (см.рис.10.1). Здесь угол – дополнительный:
2
или
2
.
n
a
а
n
a
б
Рис. 10.1. Расположение направляющего вектора прямой и плоскости:
а –
2
; б –
2
10.4. Расстояние от точки до плоскости
75
Так как под понимаем острый положительный угол, то sin=|cos|.
С учетом выражения для скалярного произведения
, cosn a n a
,
имеем
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin
Aa Ba Ca
A B C a a a
.
10.4. Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим нормальное уравнение плоскости и точкуM0(х0, y0, z0) –
произвольную точку пространства.
Пусть d–расстояние от точки до плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отклонени-
ем точки М0 от плоскости назо-
вем число, равное
d
. Знак зависит
от расположения точки М0 и начало
координат по отношению к плоскости (рис. 10.2). Выбираем знак минус, если они лежат по одну сторону от плоскости.
Пусть точка Q – проекция
точки М0 на нормаль n к
плоскости (см. рис. 10.2), тогда
=|PQ|=|OQ||ОР|.
Поскольку |OQ|=
0
ПрnOM
,
|OP|=р и
0 0 0 0
Пр cos cos cos
n
OM x y z
, то получаем
0 0 0
cos cos cosx y z p
.
Тогда расстояние от точки M0(x0, у0, z0) до плоскости определяется как
0 0 0
cos cos cosd x y z p
.
Замечание. Если плоскость задана общим уравнением, то расстояние
определяется по формуле
0 0 0
2 2 2
.
Ax By Cz D
d
A B C
(10.3)
Пример. Вычислить расстояние от М0(7,8,3) до плоскости
х+2у2z12=0.
O
y
z
x
d
n
М0
P
Q
Рис. 10.2. Расположения проекции точки
М0 на нормаль
n
к плоскости
Лекция 10
76
По формуле (10.3) получаем
2 2 2
1 7 ( 8) 2 2 3 12 27
9.
3
1 2 ( 2)
d
10.5. Кривые второго порядка. Общее уравнение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение относительно текущих координат
Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Еу+F=0, (10.4)
задает линию (кривую) второго порядка.
Замечание. Чтобы кривая была невырожденной,по крайней мере одно
из чисел А, В или С должно быть отлично от нуля.
10.6. Окружность
Рассмотрим кривую второго порядка – ОКР.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность точек M, для которых расстояние
от фиксированной точки М0(x0, y0) есть величина постоянная,|M0M|=R,
называется ОКР. R называется радиус ОКР.
Запишем геометрическое определение в координатной форме, исполь-
зуя формулу расстояний
22
00
x x y y R
,
или
22
2
00
x x y y R
. (10.5)
Уравнение (10.5) называется каноническим уравнением ОКР.
Преобразуем уравнение (10.5) к виду
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 0.x y x x y y x y R
Сравнивая его с уравнением (10.4), отметим, что для уравнения ОКР
выполнены два условия.
1) Коэффициенты при х2 и у2 равны между собой.
2) Отсутствует член, содержащий произведение переменных ху.
Покажем, что выполнение двух вышеуказанных условий достаточно
для определения ОКР.
Положив в уравнении (10.4) значения В=0, А=С0, получим
Ах2+Ау2+2Dx+2Еу+F=0.
Выделим полные квадраты, тогда:
10.7. Эллипс
77
2 2 2 2
D E E D F
xy
A A A A A
. (10.6)
При условии
22
0
E D F
A A A
получается уравнение ОКР с цен-
тром в точке
0
,
DE
M
AA
и радиусом
22
E D F
R
A A A
.
Если
22
0
E D F
A A A
, то уравнение (10.6) примет вид
22
0
DE
xy
AA
.
Ему удовлетворяют координаты единственной точки
0
,
DE
M
AA
,
т.е. «ОКР выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
И если
22
0
E D F
A A A
, то уравнение (10.6) не определяет ника-
кой линии – «мнимая ОКР».
10.7. Эллипс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭС это сово-
купность точек, сумма расстояний до
которых от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами,
есть постоянная величина.
Фокусы ЭС принято обозначать
через F1 и F
2
(рис. 10.3).
Пусть М– текущая точка ЭС с фокусами F1 и F2. Отрезки |F1M| и |F2M|
называются фокальными радиусами
точки М. Для любой точки М, лежащей
на ЭС справедливо равенство
|F1M| +|F2M|=2а=const.
O
y
x
F1
F2
M(x,y)
Рис. 10.3. Эллипс
Лекция 10
78
Выберем систему координат следующим образом. Ось абсцисс – пря-
мая, проходящая через F1 и F2. Начало координат – середина |F1F2|
(см. рис. 10.3).
Пусть расстояние |F1F2|=2с. Возьмем на плоскости произвольную точ-
ку М(х, у). Обозначим, далее, через r1 и r2 – расстояния от точки М до фокусов. Точка М будет находиться на данном ЭС в том и только в том случае,
когда |F1M|+|F2M|=2а.
Перепишем векторное уравнение в координатной форме с учетом того,
что F1 (с,0), F2(с,0).
Тогда справедливо условие
22
22
2x c y x c y a
.
Возведя обе части равенства в квадрат (при этом уединяя корень), по-
лучим
2
2 2 2 2 2 2
4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y
,
или
2 2 2
()a x c y a cx
.
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
22a x a cx a c a y a a cx c x
.
Откуда
2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a y a a c
.
Обозначим
22
b a c
(a>c), тогда
22
22
1.
xy
ab
(10.7)
Полученное уравнение называется каноническим уравнением ЭС.
79
ЛЕКЦИЯ 11
Сокращения, используемые в тексте:
ЭС – эллипс
ГА – гипербола
ПА – парабола
Эксцентриситет ЭС. Директрисы ЭС. Определение ГА. Каноническое
уравнение ГА. Асимптоты ГА. Эксцентриситет и директрисы ГА.
Определение ПА. Каноническое уравнение ПА. Фокальный радиус ПА.
Классификация по виду общего уравнения для кривых второго порядка.
11.1. Анализ формы эллипса на основе его уравнения
Исследуем связь канонического уравнения ЭС с особенностями его
представления.
1. В уравнении ЭС переменные x и yприсутствуют только в четных
степенях. Это означает, что из принадлежности ЭС точки (x, y) следует
принадлежность точек (x, y), (x,y), (x,y). То есть ЭС обладает симметрией относительно центра ЭС – точки О(0, 0) и относительно осей Ох,
Оу.
2. Определим точки пересечения осей координат с ЭС. Пусть у=0, тогда точки A1(a,0) и А2(а,0) – точки пересечения ЭС с осью Ох. Аналогично, точки B1(0,b) и B2(0,b) – точки пересечения ЭС с осью Оу.
Вершины ЭС – точки А1, А2, В1, В2.
Большая и малая ось ЭС – соответственно отрезки |А1А2| и |B1B2|, а
также их длины 2а и 2b.
Большая и малая полуось ЭС – соответственно числа а и b.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение расстояния между фокусами ЭС к
длине его большой оси называется эксцентриситетом ЭС
c
a
<1.
Определим
2
2 2 2
2
22
1
c a b b
a a a
.
Тогда
2
1.
b
a
(11.1)
Лекция 11
80
Как следует из (11.1), эксцентриситет определяет форму ЭС. При
стремлении эксцентриситета к единице форма ЭС становится все более вытянутой. При этом при b=а (окружность) =0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Директрисы ЭС – пара прямых, перпендикулярных
к большой оси ЭС и равноудаленных от центра на расстояние
a
(а>b).
Уравнения директрис записываются как
a
x
и
a
x
.
Из справедливости для ЭС неравенства 0<< 1, следует
a
a
. Тогда,
директриса
a
x
находится правее правой вершины ЭС. Соответственно
директриса
a
x
находится левее его левой вершины.
Теорема 11.1 (без доказательства). Пусть r – расстояние между
произвольной точкой ЭС и любым из фокусов, а d– расстояние между той
же точкой и директрисой выбранного фокуса. Тогда величина
r
d
является
константой. Она равна эксцентриситету ЭС
r
d
.
11.2. Гипербола
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность точек, для которых разность рас-
стояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами,
есть постоянная величина называется ГА.
Замечание 1. Разность расстояний берется по модулю.
Замечание 2. Предполагается, что разность расстояний отлична от ну-
ля и меньше расстояния между фокусами.
Обозначим фокусы ГА через F1 и F2. Обозначим расстояние между F1
и F2через 2с.
Пусть для ГА с фокусами F1 и F2 выбрана произвольная точка М на ГА
(рис. 11.1). Фокальными радиусами точки М называются отрезки |F1M| и
|F2M|: r1=|F1M|, r2=|F2M|. Из определения ГА следует, что разность фокальных радиусов точки М есть константа. Обозначим ее как 2а.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]