Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
14.2. Евклидово пространство
101
Или в матричной форме
Х = ТХ',
где X и X' – столбцы координат, а Т– матрица перехода.
Пример. Чему равны координаты вектора r (x',y') в новом базисе, об-
разованном поворотом базисных ортов на угол()?
В пространстве V2 рассмотрим базис e1=i, е2=j , где i, j – орты.
Определим также базис e'1=i', е'2=j', где i', j' – орты, причем орт i' обра-
зует с ортом i угол . В данном случае
i'=icos+jsin,
j' =isin+jcos.
Матрица перехода от базиса i, j к базису i', j' имеет вид
cos sin
sin cos
T
.
Если r имеет координаты х,у в базисе (i, j), х', у' – в базисе (i', j' ) , то
х = x'cos -у'sin,
у = х'sin + у'cos.
14.2. Евклидово пространство
В ЛП V кроме линейных операций определения длины элемента, угла
между элементами и т.д., определим операцию скалярного умножения векторов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть упорядоченной паре векторов х, yV поставлено в соответствие СП (х, у), являющеесядействительным числом.
Это соответствие подчинено следующим аксиомам.
I. (х, у) =(у, x).
II. (х+у, z) =(х, z)+(у, z), zV.
III. (х, у) = (х, у), R.
IV.(x, х) > 0 для всех х0, (х, х)=0 дляx=0.
Если один из сомножителей СП равен нулю, то и скалярное произведение равно нулю (0, у)=(х, 0)=0.
Принято обозначать как х2 – СП вектора х на себя: (х, х)= х2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛП с операцией СП удовлетворяющей аксиомам
I–IV называется ЕВП.
Лекция 14
102
Пример 1. ЛП V3 является ЕВП. Операция скалярного произведения
ранее была определена. Выполнение аксиом следует из свойств скалярного
произведения.
Пример 2. Рассмотрим точечное n-мерное ЛП Аn. На упорядоченных
совокупностях n действительных чисел введем СП его элементов. Если
х=(х1,х2,...,хn), у=(у1,у2,...,уn), то по аналогии с V3
(х, у)=х1у1+х2у2+...+хnyn.
Выполнение аксиом I–IV СП следует из свойств действительных чи-
сел. Таким образом, рассматриваемое ЛП с определенным СП является
ЕВП и его обозначают En.
Пример 3. Примером бесконечномерных ЕВП является ЛП С[а,b]. СП
элементов x(t), y(t) определяется формулой
,
b
a
x y x t y t dt
.
Выполнение аксиом I–IV СП основано на свойствах определенного
интеграла. ЛП С[а,b] с введенным СП любых двух его элементов будет
ЕВП.
14.3. Норма вектора (элемента) евклидова пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неотрицательное число равное значению квадрат-
ного корня из скалярного квадрата вектора называется нормой вектора.
НВ х обозначается как x
2
,.x x x x
НВ обладает следующими свойствами.
1. ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
2. ||х|| = || ||х||, где – действительное число.
3. |(x, y)| ||х||||y||.
4. ||х + у||||х||+||y||.
Докажем эти свойства.
1. Из аксиомы IV СП следует, что ||х|| > 0для х0 и ||х||=0 при х=0.
2. На основании аксиом I и III СП
||х|| =
22
, , ,
x x x x x x x
.
14.4. Угол между двумя векторами евклидова пространства
103
3. В соответствии с аксиомой IV СП имеем ||х+у||2 0, поэтому
0||х+y||2=(х+y,х+y)=(у,у) 2+2(х,у)+(х,х).
Эту сумму рассматриваем как квадратный трехчлен относительно .
Поскольку указанный трехчлен сохраняет знак, его дискриминант неположителен, т.е.
(х,у)
2
(х,х)(у,у) 0, (х,у)2 (х,х)(у,у).
Так как
2
, ( , )хуxy
, то
, , , , x x y y x x y y x y
.
Из последнего неравенства следует неравенство
|(x,y)| ||х||||y||,
которое называют неравенством Коши – Буняковского
4. Используя неравенство Коши – Буняковского, получаем
||x+y||2=(x+y, x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)||x||2+2||x||||y||+||y||2=(||x||+||y||)2.
Откуда
||x+y||2||x||+||y||
Это неравенство называется неравенством треугольника.
14.4. Угол между двумя векторами евклидова пространства
Из неравенства Коши – Буняковского получаем
,
1
xyxy
, или
,
11
xyxy
,
т. е. отношение
,xy
xy
можно представить как косинус некоторого угла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В ЕВП угол между двумя элементами х и у опре-
деляется по формуле
,
cos
xyxy
, (0<).
Замечание. В пространстве V3 понятие угла между элементами сов-
падает с введенным ранее понятием угла в векторной алгебре.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два элемента ЕВП называются ортогональными
если их СП равно нулю.
Замечание 1. Любой вектор ортогонален нулевому.
Замечание 2. В пространстве V3 понятие ортогональности векторов
означает их перпендикулярность.
Лекция 14
104
Замечание 3. Условие
cos 0
является необходимыми достаточным
для ортогональности ненулевых векторов.
Замечание 4. Для того чтобы ненулевые векторы х и у были коллине-
арны, необходимо и достаточно, чтобы cos=±1, т.е. =0 или=.
Замечание 5. Равенство
, x y x y
выполняется тогда и только
тогда, когда х и у коллинеарны.
14.5. Ортонормированный базис
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система элементов а1, а2, .... аn, называется
ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. (аi, аk)=0
при ik.
Теорема 14.2. Ортогональная система ненулевых элементов линейно
независима.
Доказательство 14.2. Пусть а1, а2, ..., аn – ортогональная система
ненулевых элементов. Допустим, что эта система линейно зависима. Тогда
существуют числа 1, 2, ..., n не все равные нулю, такие, что
1 а1+2 а2+...+n аn=0.
Предположим, что i0. Рассмотрим скалярное произведение вектора
аi, и линейной комбинации 1 а1+2 а2+...+n аn . Оно равно нулю
(аi, 1 а1+ 2 а2+...+ n аn)=0,
или 1(аi ,а1)+2 (аi ,а2)+...+i(аi ,аi)+...+n(аi ,аn)=0.
Поскольку (ai, ak)=0 при ik, то i (аi , аi)=0, или i ||аi||= 0, откуда
||аi||=0, т.е. аi– нулевой вектор, что противоречит условию. Следовательно,
ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если НВ равна единице, то вектор называется
нормированным или единичным ||а||= 1.
Любой ненулевой вектор а( ||а||1 ) можно нормировать, умножив на
нормирующий множитель
1
a
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов е1, е2, ..., еn называется орто-
нормированной, если она ортогональна и каждый вектор является нор-
мированным
14.6. Выражение скалярного произведения через координаты векторов…
105
,
0, при
,
1, при
i k i k
ik
ik
ee
, где i, k= 1, 2, ..., n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис n-мерного ЕВП называется ортонормиро-
ванным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему.
Теорема 14.3 (без доказательства). Во всяком n-мерном ЕВП (n 2)
существует ортонормированный базис.
Замечание 1. В трехмерном ЕВП V3 ортонормированным базисом яв-
ляется базис i, j, k, где i, j, k–орты.
Замечание 2. Если е1, е2, ..., еn – ортогональный базис n-мерного ЕВП,
то любой вектор х этого пространства можно представить в виде
х =x1e1+ x2e2+...+ xnen.
где
,
,
k
k
kk
x
xe
ee
, k=1,...,n.
Замечание 3. Последняя формула упрощается в случае ортонормиро-
ванного базиса, при этом
,
kk
ee
=1.
14.6. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
в ортонормированном базисе
Пусть в n-мерном ЕВП фиксирован ортонормированный базис е1,
е2,...,еn и даны векторы этого пространства
х=x1e1+ x2e2+...+ xnen,
у=y1e1+ y2e2+...+ ynen.
Найдем скалярное произведение этих векторов. Принимая во внима-
ние аксиомы СП и формулу СП, получаем
(x,y)=(x1e1+ x2e2+...+xnen ,y1e1+ y2e2+...+ ynen)=
=
1 1 2 2
1 1 1
, , ... ,
n n n
i i i i n n i i
i i i
x y x y x y
e e e e e e
=
=(x1e1, y1e1)+ (x2e2, y2e2)+...+ (xnen, ynen)=
= x1y1 (e1, e1)+x2y2 (e2, e2)+...+ xnyn (en, en)=
= x1y1 + x2y2 +...+ xnyn.
То есть (x, y)= x1y1 + x2y2 +...+ xnyn.
Лекция 14
106
Итак, СП двух векторов, заданных координатами в ортонормирован-
ном базисе, равно сумме произведений одноименных координат.
Очевидно ||х|| =
2 2 2
12
, ...
n
x x x xx
,
гдех1, х2,..., хn– координаты элемента х в ортонормированном базисе.
107
ЛЕКЦИЯ 15
Сокращения, используемые в тексте:
ЛПР – линейное преобразование
ЛП – линейное пространство
МЛПР – матрица линейного преобразования
Понятие ЛПР в ЛП. Образ и прообраз линейного преобразования.МЛПР.
ЛПР, заданное в различных базисах. Характеристическое уравнение
ЛПР.
15.1. Линейное преобразование и его матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В ЛП определено преобразование (отображение,
оператор), если между элементами ЛП задано соответствие, т.е. по
определенному правилу каждому вектору x ЛП поставлен в соответствие
единственный вектор у: f: VV.
Преобразование f определяет (правило), по которому вектор х (прооб-
раз вектора у) преобразуется (переводится) в вектор у (образ вектора х )
у = f (х).
Замечание 1. Вектор переходит в единственный образ. Но не каждый
вектор имеет прообраз или этот прообраз единственный.
Замечание 2. Отображение называется взаимнооднозначным, если
каждый вектор ЛП имеет единственный прообраз.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть выполнены условия
1) f(х1+х2) = f (х1)+f (х2), х1, х
2
V,
2) f(x)=f(x), xV,
R
.
Тогда f ЛП V называется ЛПР (линейным преобразованием).
Можно рассматривать ЛПР и над полем комплексных чисел.
Из условий 1) и 2) следует, что
f (х1+х2) = f (х1)+ f (х2), (15.1)
где , – любые числа (действительные или комплексные).
В определении ЛПР условия 1), 2) можно заменить равенством (15.1).
Замечание. ЛПР нулевого вектора будет нулевой вектор
f (0) = f (0х) = 0 f (x) =0.
Лекция 15
108
Пример. Простейшим ЛПР является преобразование f(х)=х (тожде-
ственное). Проверка свойств 1), 2) выполняется непосредственно.
Пусть ЛПР f n-мерного пространства переводит базис е1,е2,...,еn соот-
ветственно в базис е'1,е'2,...,е'n
е'1= f(е1), е'2= f(е2),..., е'n= f(еn).
Представим образ любого вектора х данного ЛПР через образы базис-
ных векторов е1,е2,...,еn.
Если х = 1е1+2е2+...+nеn,
то f(х) = f (1е1+2е2+...+nеn) = 1 f (е1)+ 2 f (е2)+...
+ nf (еn) =1 е'1+ 2 е'2+...+ nе'n.
То есть, f(х) = 1 е'1+ 2 е'2+...+ nе'n .
Следовательно, для определения ЛПР достаточно определить образы
базисных векторов рассматриваемого пространства.
Пусть f – ЛПР n-мерного ЛП, переводящее базис е1,е2,...,еn в базис
е'1,е'2,...,е'n. Разложим векторы второго базиса по векторам первого
е'1= a11е1+a21е2+...+an1еn,
е'2= a12е1+a22е2+...+an2еn,
...
е'n= a1nе1+a2nе2+...+annеn..
Рассмотрим матрицу:
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
, (15.2)
в которой k-й столбец, состоит из координат вектора e'k (k = 1,2,...,n).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А (15.2) называется МЛПР f в базисе
е1,е2,...,еn.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ранг r матрицы А называется рангом преобразо-
вания f.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число (nr) называется дефектом линейного
преобразования f.
Итак,каждому ЛПР f n-мерного ЛП соответствует МЛПР порядка n
в данном базисе.
И наоборот: каждой МЛПР порядка n соответствует ЛП n-мерного
пространства.
15.2. Линейное преобразование в координатах
109
Замечание. Рассмотренное ранее тождественное преобразование име-
ет единичную МЛПР и наоборот.
Пример. Построить МЛПР для ЛПР поворота вектора на угол (
)
в V2.
y
x
O
i
f(i)
A
B
а
y
x
O
j
f(j)
D
C
б
Рис. 15.1. Поворот базисных элементов на угол . а – поворот элемента i,
б – поворот элемента j
Определим в V2 ЛПР: поворот против часовой стрелки вокруг начала
координат на угол всех векторов ЛП. В результате ЛПР получаем вектор
у=f(х) (рис.15.1). Преобразование у=f(х) является линейным. Выполнение
условий 1) и 2) следует из свойств векторов. Найдем МЛПР этого ЛПР в
базисе i, j. Так как
( ) cos sin ,
( ) sin cos ,
f OA OB
f OC OD
i i j
j i j
то матрица
cos sin
sin cos
A
.
15.2. Линейное преобразование в координатах
Рассмотрим ЛПР f n-мерного ЛП, заданное в некотором базисе
е1,е2,...,еn с помощью МЛПР A (15.2). Определим зависимость между коор-
динатами вектора х и его образа у=f (х) если
х = x1е1+ x2е2+...+xnеn,
f(х)= y1е1+ y2е2+...+ynеn.
Лекция 15
110
Принимая во внимание определение МЛП, получаем
f(х)= f(x1е1+ x2е2+...+ xnеn)=x1 f(е1)+ x2 f(е2)+...+xnf (еn)=
=x1(a11е1+ a21е2+...+ an1еn)+x 2 (a12е1+ a22е2+...+ an2еn)+....+
+ xn(a1nе1+ a2nе2+...+ annеn).
Или
f(х)=(a11x1+ a12x2+...+ a1nxn)е1+( a21x1+ a22x2+...+ a2n xn)е2 +....+
+(an1x1+an2x2+...+annxn)еn.
Поскольку каждый вектор разлагается по базису единственным обра-
зом, то из этого равенства следуют искомые формулы:
y1= a11x1+ a12x2+...+ a1n xn
y2= a21x1+a22x2+...+a2nxn ….
(15.3)
yn= an1x1+an2x2+...+annxn.
Формулы можно записать в матричном виде
Y=AX,
где А – матрица преобразования, а X и Y – столбцы координат.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное однородное преобразование переменных
(15.3) называется невырожденным, если detА0.
15.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования
в различных базисах
В n-мерном ЛП выберем два базиса е1,е2,...,еn и е'1,е'2,...,е'n старый и
новый. Пусть известно отображение Т, переводящее старый базис в новый.
Теорема 15.1. Если е1,е2,...,еn и е'1,е'2,...,е'n–два базиса ЛП и А –
МЛПР в старом базисе е1,е2,...,еn, то матрица В этого преобразования в
новом базисе е'1,е'2,...,е'n имеет вид В=Т-1AT, где Т – матрица перехода от
старого базиса к новому.
Доказательство 15.1. Координаты векторов х, у в старом базисе обо-
значим соответственно x1,x2,...,xn и y1, y2,..., yn, а в новом базисе – теми же
буквами со штрихом, т.е.
х = x1е1+ x2е2+...+ xnеn,
y= y1е1+ y2е2+...+ ynеn,
х = x'1е'1+ x'2е'2+...+ x'nе'n,
y= y'1е'1+ y'2е'2+...+ y'nе'n.
На основании теоремы о связи между координатами вектора в различ-
ных базисах
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]