Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
8.3. Линейная независимость векторов
61
По формуле (8.2) получаем
3 1 2 0 8 1
81
mod 2 2 3 mod 0 4 1 mod 12 12.
41
1 3 1 1 3 1
V
8.3. Линейная независимость векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы
1
a
,
2
a
,...,
n
a
называются ЛЗ, если суще-
ствуют действительные числа
1
,
2
,...,
n
, некоторые из которых не рав-
ны нулю, такие, что линейная комбинация
1 1 2 2
... 0
nn
a a a
. (8.3)
Если линейная комбинация равна нулю только в том случае, когда все
коэффициенты равны нулю, то векторы называются линейно независимыми.
Теорема 8.4. Необходимым и достаточным условием ЛЗ векторов
1
a
,
2
a
,...,
n
a
(n>1) является представление хотя бы одного из векторов ли-
нейной комбинацией остальных.
Доказательство 8.4. Необходимость. Пусть данные векторы ЛЗ, тогда
в линейной комбинации (8.3) найдутся коэффициенты, отличные от нуля.
Предположим, что
0
n
, тогда
1 2 1
1 2 1
... .
n
nn
n n n
a a a a
То есть
n
a
– линейная комбинация остальных векторов.
Достаточность. Пусть один из векторов, например
n
a
, является ли-
нейной комбинацией остальных векторов
1 1 2 2 1 1
... .
n n n
a a a a
Переписав равенство, получаем линейную комбинацию
1 1 2 2 1 1
... ( 1) 0
n n n
a a a a
с ненулевым коэффициентом. Это означает, что векторы ЛЗ.
Рассмотрим геометрический смысл ЛЗ системы из двух и трех векто-
ров.
Теорема 8.5. Если два вектора ЛЗ, то они коллинеарны и наоборот.
Доказательство 8.5. Пусть векторы коллинеарны, тогда
2
a
=
1
a
, от-
куда
12
( 1) 0aa
. То есть векторы ЛЗ, так как коэффициенты отличены
от нуля.
Лекция 8
62
Обратное утверждение. Пусть векторы
1
a
, и
2
a
ЛЗ, т.е.
1 1 2 2
0aa
,
где хотя бы одно из чисел не равно нулю, например,
2
0
. Тогда выражая
1
21
2
aa
, или
21
aa
,
получаем условие коллинеарности векторов.
Теорема 8.6 (без доказательства). Любой вектор плоскости можно
разложить по двум неколлинеарным векторам этой плоскости
1
e
и
2
e
.
Разложение единственно и имеет вид
1 1 2 2
a x e x e
.
Теорема 8.7. ЛЗ трех векторов
1
a
,
2
a
,
3
a
геометрически означает их
компланарность.
Доказательство 8.7. Пусть векторы
1
a
,
2
a
,
3
a
ЛЗ. Тогда один из век-
торов является линейной комбинацией других. Следовательно, вектора лежат в одной плоскости.
Пусть данные векторы компланарны и два из них (например, векторы
1
a
,
2
a
) не коллинеарны. Так как вектора лежат в одной плоскости, то
3 1 1 2 2
a a a
. Преобразовывая, получаем
1 1 2 2 3
( 1) 0a a a
, т.е. век-
торы линейно зависимы. Если
1
a
,
2
a
коллинеарны, то
2 1 3
0a a a
, по-
этому векторы линейно зависимы (по теореме 8.4).
Теорема 8.8 . Если векторы
1
e
,
2
e
,
3
e
не компланарны, то любой век-
тор a можно единственным образом разложить по этим векторам, т.е.
1 1 2 2 3 3
.a x e x e x e
(8.4)
Доказательство 8.8. Доказательство
проведем конструктивно. Построим параллелепипед. Выберем произвольно
точку О и от нее отложим все четыре век-
тора:
1
e
,
2
e
,
3
e
,
OA a
. Через точку А
проведем три плоскости, параллельные
векторам
1
e
,
2
e
,
3
.e
плоскостям, определяемых каждой парой
векторов
23
,ee
,
13
,ee
,
12
,ee
, они и об-
разуют искомый параллелепипед
(см. рис. 8.3). Пусть
1
A
,
2
A
,
3
A
вершины
O
A
a
A1
1
e
A3
A2
2
e
3
e
Рис. 8.3. Параллелепипед,
с диагональю
OA
8.3. Линейная независимость векторов
63
параллелепипеда, лежащие на прямых, определяемых векторами
1
e
,
2
e
,
3
e
.
По построению диагональ
1 2 3
a OA OA OA OA
.
Используя коллинеарность векторов
1 1 1
OA x e
,
2 2 2
OA x e
,
3 3 3
OA x e
,
получаем нужное разложение.
Теорема 8.9. Всякие четыре вектора трехмерного пространства ЛЗ.
Доказательство 8.9. Выберем четыре вектора
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
.a
Предпо-
ложим, что три из них некомпланарные вектора, например,
1
a
,
2
a
,
3
a
. То-
гда по предыдущей теореме
4 1 1 2 2 3 3
a a a a
. То есть векторы ЛЗ.
Пример. Проверить ЛЗ векторов
1 2 3
(1,2,5), (1,3,2), ( 2, 7,1)a a a
.
Воспользуемся определением. Пусть
1 1 2 2 3 3
0a a a
.
Найдем коэффициенты
.
i
Переходя от векторного равенства к систе-
ме уравнений, получаем
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0,
2 3 7 0,
5 2 0.
.
Это однородная система линейных уравнений. Так как основной опре-
делитель системы
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3 7 0 1 3 0 1 3 2
5 2 1 0 3 11 0 0 2
не равен нулю, то система имеет только тривиальное решение. Следовательно, векторы линейно независимы.
64
ЛЕКЦИЯ 9
Сокращения, используемые в тексте:
УПЛ – уравнение плоскости
УПР – уравнение прямой
Понятие уравнения поверхности в пространстве. Общее и нормальное
УПЛ. Построение УПЛ по трем точкам. Взаимное расположение двух
плоскостей. Угол между плоскостями. Векторно-параметрическое
УПР на плоскости и в пространстве. Каноническое УПР. УПР, проходящей через две точки. Взаимное расположение прямых в пространстве.
9.1. Уравнение поверхности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением поверхности (в некоторой системе
координат) называется уравнение относительно координат, множество
решений которого и составляют все точки данной поверхности.
Принадлежность точки поверхности означает, что ее координаты яв-
ляются решением уравнения.
Аналитически уравнение поверхности в пространстве с тремя пере-
менными x, у, z можно записать формулой
F(x,y,z)=0.
Пример.
1. УПЛ: F(х, у, z)=ху+z.
2. Уравнение сферы: F(x,у,z)=х2+у2+z
2
16.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поверхность, определяемая алгебраическим урав-
нением n-й степени относительно декартовых координат, называется
поверхностью n-го порядка.
Так УПЛ алгебраическая поверхность первого порядка, сфера –
алгебраическая поверхность второго порядка. В дальнейшем будем рассматривать алгебраические поверхности первого и второго порядков.
9.2. Плоскость в пространстве
65
9.2. Плоскость в пространстве
Однозначное определение плоскости в пространстве можно задать
различными способами. Рассмотрим основные определения.
9.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, у0, z0)
перпендикулярно векторуn=(А, В, С) (нормаль или нормальный вектор).
Определим M (x, y, z) – текущую
точку искомой плоскости и вектор
0
MM
=(хх0, yy0, zz0), принадлежа-
щий плоскости. По построению он перпендикулярен вектору n (рис. 9.1).
Тогда
0
,0n M M
.
Последнее равенство есть векторное уравнение плоскости. Запишем
его в координатном виде
А(х-х0)+В(у-у0)+C(z-z0)=0. (9.1)
Раскроем скобки и преобразуем
Ax+By+Cz+D = 0, (9.2)
где D=(Ах0+Ву0+Cz0).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение (9.2) определяет плоскость в простран-
стве.Это уравнение называется общим УПЛ.
Проведем исследование уравнения (9.2).
1. Пусть D = 0. Тогда уравнение Ax + By+Cz = 0. Начало координат
принадлежит плоскости (см. рис. 9.2, а).
2. Пусть С = 0. Тогда уравнение Ax+By+D = 0. Ось Oz параллельна
плоскости (см. рис. 9.2, б), так как вектор n= (А,В,0) перпендикулярен оси
Oz.
3. Рассмотрим одновременно случаи 1 и 2. Уравнение Ах+Ву=0 опре-
деляет плоскость, содержащую ось Oz (см. рис. 9.2, в). Это следует из двух
рассмотренных выше случаев.
n
M0
M
Рис. 9.1. Нормальный вектор
к плоскости
Лекция 9
66
O
y
z
x
O
y
z
x
O
y
z
x
а б в
Рис. 9.2. Плоскости в декартовой системе координат при различных значениях
коэффициентов в уравнении: а –D=0; б –C=0; в –C=D=0
9.2.2. Нормальное уравнение плоскости
Через плоскость, выбранную в
пространстве, проведем прямую,
перпендикулярную плоскости и содержащую начало координат. Точку
их пересечения обозначим буквой Р
(рис. 9.3). С помощью вектора
OP
зададим положительное направлениена прямой. Обозначим через
,,
углы, образованные норма-
лью n с координатными осями Ох,
Оу, Oz соответственно, а через р
длину вектора OP: р=ОР.
Если M(x,у,z)–произвольная точка плоскости и
r OM
(х,у,z) ее ра-
диус-вектор, то
n
пр OM p
. (9.3)
Из ранее рассмотренного следствия скалярного произведения имеем
cos cos cos .
n
пр OM x y z
(9.4)
Из соотношений (9.3), (9.4) получаем уравнение
cos cos cos 0x y z p
, (9.5)
которое называется нормальным УПЛ.
O
y
z
x
n
М
P
Рис. 9.3. Нормаль к плоскости, заданная
направляющими косинусами
9.2. Плоскость в пространстве
67
Рассмотрим общее уравнение плоскости. Умножим его на нормирую-
щий множитель 0
Ax+By+Cz+D=0.
Выберем следующим образом
2 2 2
1
A B C
. (9.6)
Пусть
cosA
, cosB
, cosC
,
Dp
. Это можно сде-
лать, так как
2 2 2
1A B C
.
Так как
Dp
и
0,p
получаем, что в (9.6) знак
выбираем про-
тивоположный знаку D
2 2 2
sgn( )D
A B C
.
После преобразований общее УПЛ сводится к нормальному.
9.2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Выберем три точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), M3(x3, y3, z3), лежащие в
одной плоскости, но не на одной прямой. Пусть М(х,у,z)– текущая точка
этой плоскости (рис. 9.4). Вычислим векторы
1 1 1 1
1 2 2 1 2 1 2 1
1 3 3 1 3 1 3 1
( , , ),
( , , ),
( , , ).
M M x x y y z z
M M x x y y z z
M M x x y y z z
По построению векторы лежат в одной плоскости (компланарные).
Поэтому
1 1 2 1 3
,M M M M M M
=0.
Это векторное уравнение плоскости. Запишем его в координатном
виде
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
. (9.7)
Лекция 9
68
Замечание. Чтобы перейти к
общему УПЛ, разложим определитель по элементам первой строки. Тогда уравнение (9.7) запишется в виде
А(хx1)+B(yy1)+C(zz1) =0,
где через коэффициенты А, В, С
обозначены соответствующие
определители. Раскрывая скобки и
преобразуя, получим общее УПЛ.
9.3. Взаимное расположение двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости, определенные общими уравнениями
A1x + B1y + Clz + Dl = 0,
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
Их вектора нормалей
1
n
= (A1, В1, С1) и
2
n
= (А2,В2,С2). Взаимораспо-
ложение плоскостей определяется положением векторов нормалей. Если
векторы параллельны, то параллельны и плоскости. Поэтому критерий параллельности плоскостей выражается равенствами
2 2 2
1 1 1
.
A B C
A B C
(9.8)
Если пропорциональны и свободные слагаемые, то плоскости совпа-
дают:
2 2 2 2
1 1 1 1
A B C D
A B C D
.
Если условие (9.8) не выполняется (хотя бы в одном из равенств), то
плоскости пересекаются.
Плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны векторы
1
n
и
2
n
А1А2 + В1В2 + С1С2=0. (9.9)
Равенство (9.9) дает необходимое и достаточноеусловие перпендику-
лярности двух плоскостей.
r
M1
О
1
r
M2
M
M3
Рис. 9.4. Плоскость с расположенными
на ней точками M1, M2, M
3
9.5. Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой
69
9.4. Угол между двумя плоскостями
Угол между двумя плоскостями, определенных общими уравнения-
ми
A1x + B1y + C1z + D1 = 0;
А2х + В2у + C2z + D2 = 0,
может быть вычислен как угол между их нормальными векторами
1
n
и
2
n
по формуле
12
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
,
cos .
nn
A A B B CC
nn
A B C A B C
9.5. Прямая в пространстве. Векторно-параметрическое
уравнение прямой
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор,лежащий на прямой или параллельный ей
называется направляющим вектором прямой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Направляющими косинусами прямой называют-
ся направляющие косинусы ее направляющего вектора.
Найдем УПР, проходящей через
точкуМ0(х0, у0, z0 ) в направлении
вектораa=(a1,а2,а3).
Построим вектор
0
M A a
(рис.9.5). Пусть М(х, у, z) –
текущая точка данной прямой
и
r OM
– ее радиус-вектор. Пусть
00
r OM
радиус-вектор точки М0.
Вектор
0
M M at
, поэтому
0
.r r at
(9.10)
Уравнение (9.10) называется векторно- параметрическим УПР.
9.5.1. Параметрические уравнения прямой
Для точек M, M0 на прямой справедливо
r OM
= (x, y, z),
O
y
z
x
r
М
М0
А
a
0
r
Рис. 9.5. Направляющий вектор прямой
в пространстве
Лекция 9
70
00
r OM
=(х0, у0, z0),
a
=(a1, а2, a3).
От векторного уравнения (9.10) перейдем к координатным равенствам
х = х0 + а1t,
у = y0 + а2t, (9.11)
z = z0 + a3t.
Уравнения (9.11) называются параметрическими УПР.
9.5.2. Канонические уравнения прямой
Выразим параметр t из уравнений (9.11)
0
1
xx
t
a
,
0
2
yy
t
a
,
0
3
.
zz
t
a
Приравнивая, получаем
0 0 0
1 2 3
.
x x y y z z
a a a
(9.12)
Уравнения (9.12) называются каноническими УПР.
9.5.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две различные
точки М1(х1, у1, z1) иМ2(х2, у2, z2)
1 1 1
2 1 2 1 2 1
.
x x y y z z
x x y y z z
(9.13)
Здесь в качестве направляющего вектора выбран вектор
12
a M M
=(х
2
x1, у
2
у1, z
2
z1).
Точкой на прямой выбрана точка М1. Вместо точки М1 можно взять
точкуМ2.
9.6. Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями
х =х1+а1t, у=y1+а2t, z=z1+a3t;
х=х2+b1t, у=y2+b2t, z=z2+b3t.
Первая из прямых проходит через точку M1(x1,y1,z1) в направлении
вектораa, вторая – через точку М2(х2,у2,z2) в направлениивектора b.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]