Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
11.3. Анализ формы гиперболы на основе ее уравнения
81
Пусть дана ГА с фокусами F1и
F2. Для выбранной произвольной
точки М(х,y) ее фокальные радиусы |F1M| =r1 и |F2M|=r2. Тогда точка М будет находиться на ГА тогда
и только тогда, когда r
1
r2 =± 2а.
Определим расстояние
|F1F2|=2с. Пусть фокусы расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат
F1(с, 0) и F2(+с, 0).
Находим
22
22
12
, r x c y r x c y
Тогда по определению ГА:
22
22
2x c y x c y a
.
Приведем полученное уравнение ГА к каноническому виду. Действуя
аналогично выводу канонического уравнения эллипса
2
2 2 2 2 2 2
4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y
,
2 2 2
()cx a a x c y
,
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
22c x a cx a a x a cx a c a y
.
Получаем
2 2 2 2 2 2 2 2
c a x a y a c a
.
Обозначим
22
b c a
(c>a), тогда окончательно каноническое урав-
нение ГА
22
22
1
xy
ab
. (11.2)
11.3. Анализ формы гиперболы на основе ее уравнения
Свойства ГА, которые следуют из канонического уравнения.
1. Переменные х и у в каноническом уравнении присутствуют только в
четных степенях. Отсюда вытекает осевая симметрия ГА относительно Оx
и Оу. ГА также центрально симметрична относительно центра ГА – точки
О(0,0).
M
y O x
F2
F1
Рис. 11.1. Графическое представление ГА
Лекция 11
82
2. Определим точки пересечения осей координат с ГА. При у=0 полу-
чаются две точки A1(a,0) и А2(а, 0) пересечения ГА с осью Ox. При х=0
получаем уравнение у2=b2. Действительные решения этого уравнения не
существует. То есть ось Оу ГА не пересекает.
Вершинами ГА называются точки A1(a, 0) и А2(а, 0).
Действительной осью ГА называется отрезок |А1А2|= 2а .
Мнимой осью ГА называется отрезок |В1В2| (|В1В2|= 2b).
Основным прямоугольником ГА называется прямоугольник со сторо-
нами 2а и 2b, симметричный относительно центра ГА.
3. Анализ канонического уравнения ГА показывает, что
2
2
1,
x
a
и сле-
довательно, |х|а. Таким образом, точки ГА расположены правее прямой
х=а (правая ветвь ГА) и левее от прямой х=а для левой ветви ГА.
11.4. Асимптоты гиперболы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Асимптотой неограниченной кривой К называет-
ся такая прямая L, для которой при неограниченном удалении точки М
кривой К от начала координат расстояние d от М до этой прямой L
стремится к нулю.
Для ГА
22
22
1
xy
ab
определены
две асимптоты (рис. 11.2)
b
yx
a
,
b
yx
a
.
При построении ГА удобно
первоначально построить основной
прямоугольник ГА. Далее провести
асимптоты ГА, проходящие через
противоположные вершины основного прямоугольника. И далее отметить вершины ГА – точки А1 и А2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение расстояния между фокусами ГА к рас-
стоянию между вершинами ГА называется эксцентриситетом ГА
c
a
.
y
O x b
-b
A1
A2
Рис. 11.2. Представление асимптот ГА
11.5. Парабола
83
Из справедливости для ГА неравенства с>а следует, что >1. То есть
эксцентриситет любой ГА больше единицы. Так как с2=а2+b2, то
2
2 2 2
2
22
1
c a b b
a a a
.
Отсюда
2
1
b
a
.
Следовательно, величина эксцентриситета ГА определяет форму ос-
новного прямоугольника ГА и соответственно вид самой ГА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Директрисами ГА называются пара прямых, пер-
пендикулярных к пересекаемой ГА оси координат и расположенных сим-
метрично относительно центра ГА на удалении
a
от него.
Для уравнений директрис ГА справедливо
a
x
(левая директриса),
a
x
(правая директриса).
С учетом того, что >1, то
a
a
. Следовательно, правая директриса
находится между центром и правой вершиной ГА, левая директриса – между центром и левой вершиной.
Для директрис ГА справедливо то же свойство, что и для дирек-
трис ЭС
r
d
.
11.5. Парабола
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность точек, для каждой из которых рас-
стояние до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой,
равно расстоянию до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом ,называется ПА.
Обозначим через F фокус ПА. Обозначим через р расстояние от фоку-
са до директрисы. Значение р называется параметром ПА.
Рассмотрим произвольную точку М(х,у). Пусть r – расстояние от М до
фокуса: r=|FM|, а d – расстояние от точки до директрисы (рис. 11.3). По
определению точка М будет находиться на ПА тогда и только тогда, когда
r = d.
Лекция 11
84
С учетом
,0
2
p
F
получаем
2
2
2
p
r x y
.
Пусть точка N – точка проекции
точки М на директрису. Учитывая, что
,
2
p
Ny
, получаем
2
2
.
22
pp
d MN x y y x
Заменяя r и d, найдем:
2
2
22
pp
x y x
.
Это и есть уравнение рассматриваемой ПА. Приведем его к канониче-
скому виду. Возведем в квадрат
22
2 2 2
44
pp
x px y x px
.
Отсюда получается каноническое уравнение ПА
2
2.y px
(11.3)
11.6. Исследование формы параболы по ее уравнению
Из полученного уравнения ПА вытекают следующие свойства.
1. В уравнении ПА у2=2рх переменная у входит в четной степени. Сле-
довательно, ПА обладает осевой симметрией относительно Оx.
2. Из условия р>0 и уравнения у2= 2рх вытекает, что х>0. Таким обра-
зом, ПА находится справа от оси Оу.
3. При х=0 получаем у=0. То есть ПА проходит через начало системы
координат.
4. В случае неограниченного возрастания х абсолютное значение у
также неограниченно растет. График ПА у2=2рх представлен на рис. 11.3.
Вершиной ПА называется точка О(0, 0).
Фокальным радиусом точки М называется отрезок |FM|=r.
y
O
x M -p/2 F N d r
Рис. 11.3. Представление ПА
11.7. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
85
11.7. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка
22
2 2 2 0.Ax Bxy Cy Dx Ey F
(11.4)
Можно выделить следующие основные группы членов.
1) Квадратичная форма, включающая старшие члены Ах2 + 2Вху + Су2.
2) Линейная форма, включающая члены первой степени 2Dx + 2Еу.
3) Свободный член F.
Определим как – определитель квадратичной формы старших членов
2
AB
AC B
BC
.
Теорема 11.2 (без доказательства). Пусть уравнение второго порядка
(11.4) задано в декартовой системе координат. Тогда существует такая
декартова система координат, в которой уравнение принимает один из
следующих канонических видов.
1)
22
22
1
xy
ab
(>0), ЭС.
2)
22
22
1
xy
ab
(> 0), мнимый ЭС, этому уравнению не удовлетворя-
ет ни одна точка;
3) а2х2 + с2у2=0 (>0), точка (0, 0);
4)
22
22
1
xy
ab
(<0), ГА;
5) а2х
2
с2у2=0 (<0), две пересекающиеся прямые;
6) у2 = 2рx (= 0), ПА;
7) у
2
а2 = 0 ( = 0), две параллельные прямые;
8) у2 + а2 = 0 ( = 0), две мнимые прямые, этому уравнению не удо-
влетворяет ни одна точка;
9) у2 =0 (= 0), две совпадающие прямые.
11.7.1. Случай B=0
В этом случае каноническое уравнение одного из указанных в теоре-
ме 11.2. видов получается путем выделения полного квадрата и последую-
Лекция 11
86
щей замены переменных
0
x x x
,
0
y y y
. Получаемые кривые второ-
го порядка имеют оси симметрии, параллельные осям координат.
11.7.2. Случай В0
В этом случае можно путем поворота координатных осей на угол
преобразовать уравнение к виду, в котором член с произведением координат x,y отсутствует.
Рассмотрим определение угла поворота координатных осей. Для этого
используем формулы преобразования координат при повороте осей на
угол
х = х' cos
у' sin,
у = х' sin + у' cos .
Подставив в (11.4) выражение координат через новые координаты, вы-
берем угол так, чтобы коэффициент при x' y' обратился в нуль. Проведя
преобразования, получим
22B
tg
AC
. (11.5)
Таким образом, при повороте осей на угол , удовлетворяющий усло-
вию (11.5), уравнение (11.4) сводится к уравнению, в котором В =0.
Замечание. Если А=С то (11.5) теряет смысл. В этом случае cos 2=0,
тогда 2 =
2
, т. е. =
4
.
87
ЛЕКЦИЯ 12
Сокращения, используемые в тексте:
КУ – каноническое уравнение
П2П – поверхность второго порядка
Общее уравнение П2П. Понятие поверхности вращения. КУ эллипсоида.
КУ однополосного и двуполостного гиперболоидов. КУ конуса. КУ эллиптического и гиперболического параболоидов.КУ эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров.
12.1. Поверхности второго порядка
При изучении поверхностей в трехмерном пространстве – в прямо-
угольной декартовой системе координат – поверхность определяется с помощью алгебраического уравнения первой, второй и т.д. степени относительно координат {x,y,z}.
Пример.
Ax+By+Cz+D=0 (12.1)
Аx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 . (12.2)
Порядок уравнения называется порядком поверхности, определяемой
данным уравнением. Уравнение (12.1) является плоскостью, поверхностью
первого порядка.
Более подробно исследуем П2П (12.2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество решений уравнения (множество коор-
динат точек)
Аx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0,
где коэффициенты A, B, C, D, E, Fне равны нулю одновременно, определяют П2П.
В теории П2П изучают различные виды поверхностей. Наглядным методом построения П2П является метод сечения. Строятся сечения П2П координатными плоскостями и плоскостями, перпендикулярными координатным направлениям. По виду сечений строится П2П.
Рассмотрим подробнее основные виды П2П.
Лекция 12
88
12.2. Поверхности вращения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поверх-
ность S называется поверхно-
стью вращения с осью d, если
она составлена из окружностей
с центрами на прямой d, лежащих в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.
Рассмотрим линию L
(рис. 12.1), лежащую в плоскости Р, проходящей через ось
вращения d. При вращении линии L вокруг этой оси, каждая
точка опишет окружность, а вся
линия – поверхность вращения.
12.2.1. Эллипсоид
Рассмотрим эллипс в плоскости xOz
22
22
1
xz
ac
. Выберем осью вра-
щения ось Oz, тогда эллипсоид вращения описывается уравнением
2 2 2
2 2 2
1.
x y z
a a c
Если осью вращения
выбрать Ох, то получим
эллипсоид
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a c c
.
Трёхосный эллипсоид (рис. 12.2)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
.
Замечание. Трёхосный эл-
липсоид не является поверхностью вращения.
L
P
d
Рис. 12.1. Построение поверхности вращения
L
z x y
O a b
c
Рис. 12.2. Эллипсоид
12.2. Поверхности вращения
89
12.2.2. Однополостный гиперболоид
Рассмотрим гиперболу в плоскости xOz
22
22
1
xz
ac
. В качестве оси
вращения выберем мнимую ось гиперболы Oz. Тогда получается однополостный гиперболоид вращения, описываемый уравнением
2 2 2
2 2 2
1.
x y z
a a c
В результате сжатия этой поверхности в направлении плоскости xOz
получаем поверхность с уравнением
2 2 2
2 2 2
1.
x y z
abc
Это однополостный гипер-
болоид (рис. 12.3).
Кроме того, однополостные
гиперболоиды задаются уравнениями
2 2 2
222
1
x y z
a b c
,
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
.
12.2.3. Двуполостный гипеболоид
Рассмотрим поверхность, полученную вращением гиперболы
22
22
1
yz
bc
относительно действительной оси гиперболы Оу. В результате
получается двуполостный гиперболоид вращения
2 2 2
2 2 2
1
x y z
c b c
.
При сжатии этой поверхности в направлении плоскости zOy получаем
поверхность с уравнением
2 2 2
2 2 2
1
x y z
abc
.
z
x
y O a
b
Рис. 12.3. Однополостный гиперболоид
Лекция 12
90
Это соотношение определяет уравнение двуполостного гиперболоида
(см. рис. 12.4).
z
x y O
b
Рис. 12.4. Двуполостный гиперболоид
Кроме данного уравнения, двуполостные гиперболоиды задаются
уравнениями
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
,
2 2 2
222
1
x y z
a b c
.
12.2.4. Конус второго порядка
Конус вращения (круговой) может быть получен вращением линии
(прямой) заданной уравнением:
22
22
0
xz
ac
вокруг оси Oz. Уравнение конуса имеет
вид
2 2 2
2 2 2
0.
x y z
a a c
Сжатие поверхности к одной из плоскостей xOz или yOz переводит круговой
конус в эллиптический конус:
2 2 2
2 2 2
1.
x y z
abc
z
x
y
O
a
b
Рис. 12.5. Конус
0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]