Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных ап
.pdf
17.2. Операции над множествами
121
17.2. Операции над множествами
Элементарные операции над МН включают в себя объединение, разность, пересечение двух МН, дополнение МН до другого МН. Указанные
операции удобно демонстрировать с помощью диаграмм (или кругов) Эйлера – Венна (рис. 17.1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объединением МН А и МН B (AB) является МН,
включающее элементы, принадлежащие хотя бы одному из МН А и B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением МН А и МН B (AB) называется
МН, включающее элементы, принадлежие каждому из МН А и B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью МН А и МН B (A\B) называется МН,
такое, что каждый его элемент принадлежит МН A, но не принадлежит
МН B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МН A содержится во МНB AB, если любой эле-
мент из МН A будет принадлежать МН B.
A
B
а
A
B
б
A
B
в
B
A
г
Рис. 17.1. Диаграммы Эйлера – Венна: а – объединение МН; б – пересечение МН;
в – разность МН; г – вложенность МН
Лекция 17
122
17.3. Множество вещественных чисел
Рассмотрим МН действительных (вещественных чисел) R, представ-
ляющих собой объединение МН рациональных и иррациональных чисел.
Оно обладает следующими свойствами.
1. Элементы МН действительных чисел упорядочены по величине.
Пусть даны два действительных числа a и b. Справедливо одно и только
одно из соотношений
a>b, a<b, a=b.
2. Действительные числа соответствуют точкам на координатной оси.
То есть существует взаимно однозначное соответствие. Это позволяет употреблять термины "число x" и "точка x".
3. Пусть a,bR и a<b. МН чисел xR :
a x b
называется замкну-
тым промежутком [a,b] или отрезком [a,b], или сегментом [a,b].
4. Если a<b, то МН действительных чисел (a,b)={x: a<x<b} называется интервалом или открытым промежутком
5. Полуинтервалом или полуоткрытым промежутком называются
следующие МН действительных чисел
[a,b)={x: a x<b}, (a,b]={x: a< xb}.
Замечание. Отрезок [a,b] включает в себя концы, а интервал (a,b) не
содержит их.
Утверждение. Интервал не содержит наименьшего и наибольшего
числа.
Доказательство. Предположим противное. Пусть b0 – наибольшее
число на интервале (a,b). Поскольку b0b , то bb0>0. Обозначим
0
2
bb
, тогда число b0+ также принадлежит интервалу (a,b) , так как
b0+<b и b0+>b0. Но это противоречит условию.
6. Всякий интервал (x
, x+) называется -окрестностью точки
(числа) x на числовой прямой O(x, ).
7. МН всех действительных чисел называют бесконечным промежутком (, +). Считают, что для xR: <x< +.
8. МН X действительных чисел {x} является ограниченным сверху, если найдется число b такое, что x b для всех xX.
17.3. Множество вещественных чисел
123
9. МН X действительных чисел {x} является ограниченным снизу, если
найдется число a такое, что x a для всех xX.
10. Если a x bдля xX, то МН X называют ограниченным.
11. Число M называется точной верхней гранью числового МН X, если
а) xM для всех xX;
б) для >0 x
X :x>M.
Верхняя грань МН X обозначается sup X или
supxXx
.
Пример. Для X=[1, 2] supX=2;
для X=(2,3) supX=3.
12. Число m называется точной нижней гранью числового МН X, если:
а) xm для всех xX;
б) для >0 x
X : x<m+.
Нижняя грань МН X обозначается inf X или
infxXx
.
Вопрос о существовании верхней или нижней грани у ограниченного
МН решает теорема.
Теорема 17.1 (без доказательства). Всякое непустое МН действи-
тельных чисел, ограниченное сверху имеет конечную верхнюю грань, а
ограниченное снизу имеет конечную нижнюю грань.
На вопрос о единственности sup и inf отвечает следующая теорема.
Теорема 17.2. У всякого МН действительных чисел верхняя или ниж-
няя грань единственна.
Доказательство 17.2. Предположим противное. Существует X и для
него существуют различные верхние грани M1 и M2 . Пусть M1< M2, тогда
M
2
M1> 0.
Обозначим = M
2
M1, >0.
Поскольку M2 = sup X , то
а) xM2 для всех xX;
б) для >0, где = M
2
M
1
x
X : x>M
2
.
Но M
2
=M1, а это противоречит тому, что M1 – верхняя грань. Поэто-
му верхняя грань единственна. Аналогично доказывается единственность
inf.
Лекция 17
124
17.4. Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные
числовые последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МН действительных чисел, таких, что каждому из
них можно поставить в однозначное соответствие МН натуральных чи-
сел, называется ЧПС. ЧПС записывают в виде x1, x2, ..., xn,.... или {xn}, где
n=1,2,3,...
Для ЧПС определены операции.
1. Умножение ЧПС на число:
{ } { }
nn
m x m x
, т.е. mx1, mx2, mx3…
2. Сложение (вычитание) ЧПС:
{ } { } { }
n n n n
x y x y
.
3. Произведение ЧПС: {xn}{yn} = {x
n
yn}.
4. Частное ЧПС: при условии {yn}0
.
n
n
nn
x
x
yy
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЧПС {xn} является ограниченной, при условии,
что существует число M>0 такое, что при любом n верно | xn |<M. Это
означает, что все члены ЧПС принадлежат интервалу (–M; M).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.ЧПС {xn} является ограниченной сверху, при усло-
вии, что для любого n найдется число M такое, что x
n
M.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЧПС {xn} является ограниченной снизу, при усло-
вии, что для любого n найдется число M такое, что x
n
M.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a является ПЧПС {xn}, при выполнении
условия: для любого положительного >0 найдется номер N такой, что
для n>N справедливо: |a–xn|<. Предел обозначается как
lim
n
xn =a.
Если существует ПЧПС, то говорят что ЧПС {xn} при n сходится
к а.
Свойство. Рассмотрим ЧПС, полученную исключением конечного
числа членов исходной ЧПС. Тогда, если сходится одна из них, то сходится
и другая.
Теорема 17.3. ЧПС не может иметь более одного предела.
Доказательство 17.3. Докажем от обратного. Пусть ЧПС {xn}имеет
два, не равные друг другу, предела a и b. То есть x
n
a; x
n
b; a b.
В соответствии с определением ПЧПС, существует число >0 такое, что
17.5. Монотонные числовые последовательности
125
2
n
ax
,
2
n
bx
, ( ) ( )
22
n n n n
a b a x x b a x x b
.
Но – любое число, тогда |ab|=0, то есть a=b.
Теорема 17.4. Если x
n
a, то |xn| |a|.
Доказательство 17.4. Из x
n
a следует, что|x
n
a|<. В то же время
|| xn ||a|| | x
n
a |, т.е. || xn ||a||<, т.е. | xn ||a| .
Теорема 17.5 (без доказательства). Если x
n
a, то ЧПС {xn} ограни-
чена.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. сходимость ЧПС не
следует из ее ограниченности.
17.5. Монотонные числовые последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1. ЧПС возрастающая, если x
n+1
> xn для всех n;
2. ЧПС убывающая, если x
n+1
< xn для всех n;
3. ЧПС неубывающая, если x
n+1
xn для всех n;
4. ЧПС невозрастающая, если x
n+1
xn для всех n.
Указанные в определении ЧПС являются монотонными. При этом
ЧПС строго монотонны если они возрастающие и убывающие.
Теорема 17.6. Если ЧПС монотонна и ограничена, то она имеет пре-
дел.
Доказательство 17.6. Пусть дана ЧПС, являющаяся монотонной и не-
убывающей
... ...
1 2 3 n n+1
x x x x x
.
Из условия теоремы следует, что данная ЧПС ограничена сверху
n
xM
, где М – некоторое число. Учтем, что ограниченное сверху число-
вое МН имеет верхнюю грань. То есть для любого >0 найдется число N
такое, что
N
xa
, где а – некоторая верхняя грань числового МН. С
учетом того, что ЧПС {xn} является неубывающей, то для N >n справедливо
а
<xN xn, xn>a
.
Отсюда следует
;
nn
a x a ... x a
,
или |x
n
a|<, т.е. x
n
a.
Доказательство аналогично и для остальных монотонных ЧПС.
Лекция 17
126
17.6. Второй замечательный предел. Число е
Исследуем на сходимость ЧПС
1
1
n
n
x
n
.
Покажем, что выполнены условия существования конечного предела
ЧПС {xn} – монотонность и ограниченность.
В соответствии с формулой бинома Ньютона
2
1 1 ( 1) 1 ( 1) ... [ ( 1)] 1
1 1 ...
1 1 2 1 2 ...
nn
n n n n n n n
n n n n n
.
Это соотношение можно представить как
1 1 1 1 2 1
1 1 1 ... 1 1 ... 1
2! !
n
n
x
n n n n n
.
Докажем, что ЧПС {xn} является возрастающей. Сравним x
n+1
с xn
1
1 1 1 1 2 1
1 1 1 ... 1 1 ... 1
2! 1 ! 1 1 1
n
n
x
n n n n n
11
1 ... 1 .
( 1)! 1 1
n
n n n
Обратим внимание, что каждое слагаемое x
n+1
больше соответствую-
щего слагаемого xn. Более того, x
n+1
включает дополнительное положитель-
ное слагаемое. Отсюда следует, что ЧПС {xn} возрастающая.
Докажем ограниченность. При любом n члены ЧПС xn<3.
1
1 1 1 1
1 1 ... 1 1 ... (геометрическая прогрессия)
2! ! 2 2
1
1
1
2
1 1 3.
11
11
22
n
n
n
x
n
Доказав, что ЧПС
1
1
n
n
монотонно возрастает и является огра-
ниченной сверху, можно сделать вывод о существовании конечного предела. Принято обозначать этот предел буквой е.
1
lim 1
n
n
e
n
.
17.6. Второй замечательный предел. Число е
127
Как выше указано
1
13
n
n
. То есть е 3. Если оставить в ЧПС {xn}
первые три члена, то
1 1 1
1 2 1
2
n
nn
.
В пределе при
n
: e 2+
1
2
= 2,5.
Итак, значение е расположено между 2,5 и 3. Если рассмотреть боль-
шее число членов ряда, то получается более точная оценка числа е. Можно
показать, что е является иррациональным числом. Значение е равно
е 2,71828…
128
ЛЕКЦИЯ 18
Сокращения, используемые в тексте:
ЧПС – числовая последовательность
ФН – функция
ПФН – предел функции
Примеры анализа сходимости ЧПС. Понятие ФН. Области определения и значений ФН. Способы задания ФН. Явное и неявное задания
ФН. Обратная ФН. Сложная ФН. Четная и нечетная ФН. Периодическая ФН. Понятие ПФН в точке. Односторонний ПФН.
18.1. Примеры последовательностей
Пример 1. Показать, что ЧПС
1
3
n
сходится и ее предел равен 3.
Существование предела ЧПС означает: для любого >0, найдется
натуральное число N такое, что
11
33
n
xa
nn
. Условие
1
n
справедливо для n > N. Неравенство выполняется для n > N, при N >
1
. То
есть в качестве N можно взять натуральное число, большее, чем число
1
.
Так, при 1 = 0,1 значение N1 = 10. При 2 = 0,01, значение N2 = 100.
Замечание. В примере было показано, что предел ЧПС
1
n
равен
нулю
1
lim 0
nn
.
Пример 2. Доказать расходимость ЧПС
cos
2
n
.
Пусть существует конечное а – предел ЧПС. Но, для любого числа а,
вне его любой -окрестности лежит бесконечное число элементов данной
ЧПС (При этом среди них много равных между собой). Отсюда следует,
что а не предел ЧПС.
18.2. Понятие функции
129
18.2. Понятие функции
Пусть определены множества X, Y, состоящие из элементов х, y соот-
ветственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть каждому элементу xX соответствует
единственный элемент yY. Тогда говорят, что задана ФН у=f(х) на
множестве X со значениями на множестве Y.
Значениями аргумента называются элементы множества xX.
Значениями ФН называются элементы множества yY.
Областью определения ФН называется множество X. Простейшими
областями определения ФН являются интервал, полуинтервал, отрезок, а
также совокупность указанных промежутков.
Областью значений ФН называется множество значений ФН.
ФН называются числовыми ФН если X и Y– числовые множества.
ФН называются действительными (вещественными) ФН одной дей-
ствительной (вещественной) переменной, если x, y– действительные числа.
Пример 1. Область определения ФН
2
9yx
есть отрезок [3,3].
Область значений этой ФН– отрезок [0, 3].
Пример 2. Область определения и область значений ФН
3
y=x
совпа-
дают и определяются интервалом (, +).
ФН могут быть заданы одним из следующих способов.
1. Табличный (таблица значений x и y).
2. Графический (график в некоторой системе координат).
3. Аналитический (одна или несколько формул у=f(х) ).
Явно заданной ФН является ФН
у =f(х), (18.1)
правая часть, которой не содержит у.
Пусть задано уравнение
F(x, у)=0. (18.2)
Пусть существует множество X значений х, для которых при каж-
дом х*Х уравнение F(х*, y)=0 имеет действительные решения относитель-
но у. Обозначим одно из решений как y0 и соответствующее ему число
х0Х. Тогда на множестве X определена ФН у=у(х), такая, что F(x, у(x))=0
при хХ.
Лекция 18
130
ФН у=у(х), удовлетворяющая уравнению (18.2), называется неявной
ФН или ФН, заданной неявно.
Замечание. ФН, заданная неявно (18.2), может определять несколько
явных ФН.
Пример. Неявная ФН x2+у
2
R2=0 определяет две явные ФН.
22
11
y f x R x
,
22
22
y f x R x
.
Заметим, что для явной ФН (18.1)– каждому хХ ставится в соответствие единственное значение yY. При этом каждому yY может соответствовать как одно, так и несколько значений хХ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ФН называют обратной к ФН у=f(х) если каждо-
му уY по определенному закону соответствует единственное значение
хХ
x = (у). (18.3)
Обратная ФН определена на множестве Y и имеет значения на множестве X.
ФН (18.1) и (18.3) являются взаимно-обратными. Для таких ФН справедливо:
f x x
, хХ,
f y y
, yY.
Пример. Взаимно-обратными ФН являются
у=3x, и y=log3x ;
у =2x3, и
32yx
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть заданы ФН своих аргументов у = f(u),
u =(х). Если область определения ФН f содержит область значений , то
каждому х из области определения ФН соответствует у такое, что
у=f(u), где u=(х). Тогда ФН
у= f ( (х)) (18.4)
называется сложной ФН или ФН от ФН.
Пример. Пусть у = u2, u = sinx,
тогда у=(sinх)2=sin2х.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]