Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общие вопросы методики обучения математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
Поиск доказательства
Чертеж (рис. 4) построен точно по тексту задачи. Все дополнительные построения будут производиться по мере необходимости.
1. Разворачиваем условие. Нужно записать все, что следует из него. В нашем случае из условия почти ничего пока не
следует. Единственное, что можно записать: AE=BE; BF=CF;
DP=CP; AQ=DQ (*).
2. Разворачиваем заключение. Для этого ставим перед собой вопрос. Что достаточно знать (доказать), чтобы получить,
что точка О делит отрезки EP и FQ пополам? Вспоминаем,
что это одно из свойств параллелограмма. Нам достаточно доказать, что EFPQ – параллелограмм (**).
Достроим чертеж (рис. 5).
Так как нам еще не удалось найти точку встречи, делаем второй
шаг, но уже с учетом (*) и (**).
2.1. Пробуем развернуть (*). Ставим вопрос: Что следует из (*)?
Скорее всего, у учеников пока ничего не получится. Поэтому оставляем (*) без преобразований.
Рис. 5
2.2. Разворачиваем (**). Что достаточно доказать для
того, чтобы можно было утверждать, что EFPQ – параллелограмм?
Вспоминаем определение и признаки параллелограмма.
Здесь появляется несколько вариантов, т. е. происходит ветвление пути поиска. Есть смысл записать их все, так как ученики
еще не знают, какой будет осуществлен. Но необходимо обратить внимание на то, что для осуществления поиска будет достаточно одного из них. Скорее всего, получится, что достаточно доказать одно из трех условий (а, б, в). Обозначим их (***).
51
а) EF||PQ и EQ||PF,
тогда по определению получим,
что EFPQ – параллелограмм.
в) EF=PQ и EQ=PF,
тогда по признаку получим,
что EFPQ – параллелограмм.
б) EF||PQ и EQ=PF,
тогда по признаку получим, что
EFPQ – параллелограмм.
Как легко заметить, точку встречи мы снова не получили.
Значит, нужно делать еще один шаг.
3.1. Шаг сверху снова сделать не удастся, (*) не развернется.
3.2. Шаг снизу будет представлять собой разворачивание
одного из трех условий в (***). Можно, конечно, развернуть и
все три, но ученикам будет пока трудно охватить все случаи,
поэтому лучше ограничиться одним из них. Попробуем развернуть условие (б). Начнем с параллельности.
Что достаточно доказать, чтобы утверждать, что EF||PQ?
Снова мы можем опереться либо на определение, либо на
признаки параллельности прямых.
– Чтобы опереться на определение, достаточно показать,
что EF и PQ не пересекаются. Как-то проблематично. Оставим этот случай.
– Чтобы использовать признак с внутренними накрест лежащими (или внутренними односторонними) углами, нужно
доказать их равенство (или сумма равна 1800). У нас четырехугольник произвольный, не видно, как можно это сделать.
Оставим и этот случай.
– Есть еще один признак (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой). Две прямые у нас есть, а вот
третьей прямой нет. Но так как появилась цель найти эту прямую, то ученики, скорее всего, обнаружат ее самостоятельно
(пока на уровне догадки). Это прямая AC. Чертеж преобразуется еще раз (рис. 6).
Значит, чтобы утверждать, что EF||PQ, достаточно доказать, что EF||AC и PQ||AC (****).
52
Осознание этого помогает наконец
развернуть (*), что нам никак не удавалось сделать. Мы получаем из (*)
два следствия:
– так как AE=BE и BF=CF => EF
– средняя линия треугольника ABC,
следовательно, EF||AC;
– так как AQ=DQ и CP=DP => PQ
– средняя линия треугольника ADC,
Рис. 6.
следовательно, PQ||AC.
Следовательно, по признаку параллельности прямых
EF||PQ. Из свойства средней линии треугольника получим,
что EF= 0,5·AC= PQ.
Веточки рассуждения снизу и сверху встретились. Способ
доказательства найден. Можно оформлять доказательство.
Так как мы обучаем учеников данному приему, то очень важно, чтобы каждый смог отчетливо представить весь путь и лишь
после этого приступить к оформлению решения. Поэтому можно
составить схему поиска. Она поможет не только охватить рассуждения целиком, но и проследить логичность, а также облегчит оформление самого доказательства. Обращаем внимание на
порядок его оформления. Так как при разворачивании заключения мы получали достаточные условия, то от точки встречи до
заключения доказательство оформляется в обратном порядке.
Разобранная задача имеет несколько вариантов решения.
Проведя аналогичные рассуждения для условий (а) и (в) из
(***), можно получить еще два решения. После того как проведена описанная выше работа, можно предложить ученикам
осуществить поиск доказательства для условий (а) и (в) самостоятельно. Рассуждения кажутся на первый взгляд простыми, но, скорее всего, в доказательстве появятся лишние шаги.
На это необходимо обратить внимание школьников.
Затем оформляется доказательство.
53
Пример работы с текстовой задачей
Разберем работу с текстовой задачей на всех четырех этапах.
Задача.
По дороге в одном и том же направлении идут два
мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так
как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до
того момента, как второй мальчик догонит первого, между ними
бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика
она бежит к идущему впереди, затем сразу же разворачивается и
бежит назад и т. д. Какое расстояние пробежит собака?
Первый этап – ознакомление с содержанием задачи. Приведем примерный список вопросов и ответов к ним, задаваемых
на этом этапе (табл. 10).
Таблица 10
Список вопросов и ответов по тексту задачи
Вопросы Ответы
1. О чем задача?
2. Что требуется найти в
задаче?
3. Известна ли скорость
собаки?
4. Какова скорость собаки?
5. Известно ли время
движения собаки?
6. Что известно о времени
движения собаки?
7. Что известно о мальчиках?
8. Известно ли расстояние,
которое проходят мальчики?
9. Что известно о расстоянии,
которое проходят мальчики,
до того момента, как второй
догонит первого? Почему?
О движении двух мальчиков и
собаки.
Расстояние, которое пробежит
собака.
Да.
8 км/ч.
Нет.
Оно равно времени, за которое
2-й мальчик догонит первого.
Скорость первого – 4 км/ч,
второго – 5 км/ч. Второй догоняет
первого.
Нет.
Второй мальчик пройдет на
2 км больше первого, так как
первоначально расстояние между
ними было 2 км
54
По тексту задачи можно составить схему или таблицу (табл.
11), которые могут быть представлены следующим образом.
Таблица 11
Таблица по тексту задачи
скорость время расстояние
1 мальчик 4 км/ч ? ?
2 мальчик 5 км/ч ? одинаковое ? на 2 км больше, чем
собака 8 км/ч ? ? (найти)
Второй этап – поиск способа решения задачи. Вначале осуществим поиск, двигаясь от условия к заключению. Для задач,
решаемых арифметическим способом, этот прием поиска несколько модифицируется за счет изменения вопросов. Перечислим его основные моменты.
• В условии задачи выделяем два взаимосвязанных данных.
• Выясняем, какой новый элемент (величину) можно найти,
с помощью какого действия.
• Если полученный результат не является искомым, то его
считают известным и вводят в условие задачи. Рассуждение
повторяется с первого пункта.
• Если полученный результат является искомым, то делаем
вывод о том, что способ решения найден. Остается его оформить.
Прием поиска от условия к заключению для задач, решаемых арифметическим способом, часто оказывается продуктивнее и экономичнее других. Причина в том, что задача обычно
сама «подсказывает», какие два данных брать. Здесь важно,
чтобы ученик видел смысл производимых действий. Рассмотрим, как может выглядеть поиск решения нашей задачи.
1. Какие два данных можно взять, чтобы с их помощью
найти что-либо третье? Скорее всего, ученики сразу пред-
ложат взять скорости мальчиков и найти их скорость сближения (vсб): vсб=v2– v1 (
2. Считаем vсб найденной, но эта величина не является ис-
комой. Вводим v
в условие и снова выбираем два данных.
сб
55
Чаще всего на этом этапе необходимо использовать «найденную величину». В нашем случае это vсб. Попробуем из ус-
ловия найти еще одно данное, связанное с v
, и с помощью
сб
этих двух величин найти что-то третье.
Ясно, что со скоростью сближения непосредственно связано
первоначальное расстояние между мальчиками (2 км). С помощью
v
и расстояния (2 км) можно найти время, которое потре-
сб
бовалось второму мальчику, чтобы догнать первого.
3. t
не является искомой величиной, следовательно, про-
м
tм=2:
v
(**).
сб
должаем поиск. Считаем «найденным» время движения мальчиков. Так как на первом этапе работы с задачей выяснили,
что время движения мальчиков и время движения собаки одинаковы, то ученики легко сделают переход tм= t
соб.
Время движения и скорость собаки известны, следовательно,
можно найти расстояние, которое пробежит собака: S=v
сб
·
t
соб.
4. Расстояние S является искомым, следовательно, поиск
решения окончен. План составлен. Можно переходить к третьему этапу (оформлению решения) работы с задачей.
Замечание. Конечно, вполне возможно, что школьники
предложат сравнить скорости собаки и мальчиков. Например,
заметят, что скорость собаки в 2 раза больше скорости первого мальчика. Возможно, сделают вывод о том, что собака
пробежит расстояние в 2 раза больше того, которое пройдет
первый мальчик. Здесь либо ученики основательно застрянут
(толчок к тому, что выбранный путь нужно «бросить»), либо
повторят рассуждение, приведенное выше, и найдут расстояние, которое пройдет первый мальчик: (*), (**) и S1=v1·t1.
При оформлении решения (или на последнем этапе) необходимо заметить, что в проведенном поиске первые шаги практически не нужны.
Основную трудность при работе с этой задачей будет представлять то, что собака бегает между мальчиками. Поэтому
важно выяснить вопрос, принципиально ли важен такой способ движения собаки. Дети должны осознать, что данная за-
56
дача ничем не отличается от задачи, в которой собака просто бежит вперед все время, пока второй мальчик не догонит
первого.
Третий этап – оформление решения задачи арифметиче-
ским способом может быть проведено по-разному.
Способ 1. Решение оформляется с помощью числового вы-
ражения. В нашем случае выражение будет иметь следующий
вид:
8·(2:(5-4))=16.
Ответ: 16 км пробежит собака.
Ответ к задаче может быть записан полностью, а может и
кратко (просто 16 км).
Способ 2. Решение оформляется по действиям, в каждом
действии вычисляется результат и записывается пояснение.
1) 5-4=1 (км/ч) – скорость, с которой сокращается расстоя-
ние между мальчиками (или скорость сближения мальчиков).
2) 2:1=2 (ч) – время, через которое второй мальчик догонит
первого.
3) 8·2=16 (км) – расстояние, которое пробежит собака.
Четвертый этап.
Практически во всех задачах, решаемых арифметическим
способом, проверку результата можно провести путем его
подстановки в текст задачи. Легче всего это сделать с помощью краткой записи (таблицы), составленной на первом этапе. Предположим, в нашей задаче ответ получился не 16 км, а,
например, 24 км. Введем его в текст задачи (заполнив табл. 12)
и проверим, что получится.
Таблица 12
Проверка результата в задаче
скорость время расстояние
1 мальчик 4 км/ч 3 ч 12 км
2 мальчик 5 км/ч 3 ч 15 км на 2 >, чем
собака 8 км/ч 3 ч 24 км
57
противоречие
Таким образом, мы получили, что первый мальчик прошел
12 км, а второй – 15 км. Появилось противоречие с условием,
так как 15 км больше 12 на 3. Делаем вывод о том, что задача
решена неверно. Легко заметить, что при подставлении в таблицу 16 км все получится правильно. Отметим, что удачно
составленная на первом этапе схема (или сделанный рисунок)
часто помогают ученикам найти способ решения задачи.
1.14. Внеклассная работа на материале математики
В настоящее время разные термины обозначают работу
по предмету, выходящую за сетку расписания (внеурочная,
внеклассная, внеучебная). Где-то понятия будут пересекаться, в каких-то аспектах различаться. Скорее всего, речь идет
о классификации понятия «работа обучающегося» по разным
основаниям.
1. Основание – место проведения работы. Выделяются
виды: классная, внеклассная.
2. Основание – решение задач. Выделяются учебная и вне-
учебная работа.
3. По времени проведения будет делиться на урочную и
внеурочную работу.
Функции внеклассной работы по математике такие же, как
у учебного процесса: обучающая, развивающая и воспитательная.
Мы будем рассматривать внеклассную работу на материале математики, проводимую не на уроке, следовательно, она
будет и внеурочной. Проводит такую работу учитель математики. Рассмотрим две группы внеклассной работы: со слабоуспевающими по математике школьниками (имеющими пробелы в знаниях); с обучающимися, проявляющими интерес и
способности к математике.
58
Работа со слабоуспевающими обучающимися
осуществляется исходя из конкретной ситуации (ребенок имеет пробелы в
материале, не понял тему и т. д.). Основная цель этой работы –
коррекция и/или предупреждение пробелов (ошибок, затруднений) в подготовке школьников. Обычно такая работа проводится
с группой обучающихся из 4 – 6 человек. Если есть возможность,
то оптимально организовать группы из школьников одной параллели с примерно одинаковыми пробелами в подготовке.
Занятия в таких группах проводит учитель в дополнительное время 1 раз в неделю. Обязательно после объяснения
какого-то фрагмента предусматривается самостоятельное решение заданий учениками, в том числе и дома. Часто в таких
группах учитель предусматривает и индивидуальную работу
с отдельными обучающимися.
После проведения коррекционной работы ученикам обычно
выставляется оценка по теме. Конечно, если работа не проводилась с материалом за предыдущие классы. В этом случае учитель
объясняет ученику, что освоенное содержание позволит ему разобраться в текущей теме и за нее получить более высокую оценку.
Необходимо обратить внимание на то, что о проведении
дополнительных занятий со школьниками обязательно информируются родители, которые дают свое согласие.
Учитель постоянно анализирует причины пробелов в знаниях и умениях обучающихся, их типичные ошибки и проводит своевременную корректирующую работу.
Работа с обучающимися, проявляющими интерес и способности к математике, нацелена на развитие способностей
к предмету, интереса, расширение и/или углубление знаний,
умений и т. д. Эта работа может быть индивидуальной, групповой, соревнованием, конкурсом, постоянно проводимой и
др. Рассмотрим некоторые формы такой работы.
Математический кружок проводится обычно в 5 – 8 классах. Цель зависит от класса и от способностей обучающихся,
посещающих занятия:
59
– развитие мотивации и познавательного интереса;
– расширение знаний и умений;
– развитие логического мышления;
– углубление знаний по отдельным темам и др.
Программу кружковых занятий разрабатывает сам учитель,
утверждается она обычно завучем школы. Посещают кружок
обучающиеся по желанию. Занятия обычно проводятся 1 раз в
неделю. В школе составляется расписание кружков. Тему и содержание кружка учитель выбирает самостоятельно на основе
его цели, возраста обучающихся, способностей и т. д. Например, для 5 – 6 классов можно предложить темы «Занимательная математика», «Из истории математики», «Математика вокруг нас», «Способы решения текстовых задач». В 7 – 8 классах можно уже изучать дополнительное содержание, работать
с задачами повышенной трудности и олимпиадными заданиями. В рамках кружковой работы школа и учитель могут организовать занятия обучающихся в онлайн-школах, работу над
исследовательскими проектами и др. В конце года желательно
подвести результаты работы на кружке. Это можно сделать
через оформление стенгазеты или электронной газеты, подготовить и провести тематический классный час, конкурс и т. д.
В старших классах место кружков часто занимают факуль-
тативы. На факультативах обычно ставится цель углубления
или расширения подготовки школьников. Факультатив также
посещается обучающимися по желанию.
На занятиях кружка и факультатива используются активные и интерактивные методы и формы работы. Больше внимания уделяется самостоятельной, проектной, групповой работе
с обучающимися.
Олимпиада – соревнование, направленное на выявление
обучающихся с наилучшими способностями и уровнем владения математическим материалом. Система олимпиад в
настоящее время четко выстроена от школьного уровня до
международного. Кроме того, отдельные вузы также могут
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]