Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общие вопросы методики обучения математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
учащихся представление о них, показывает модели, а также
останавливается на том, что понятия являются основными
(неопределяемыми). При введении понятий второй группы
стремятся дать строгое определение (особенно на старшей
ступени обучения).
Сейчас остановимся на двух основных путях изложения
материала, связанного с введением математических понятий
(индуктивный и дедуктивный).
Для индуктивного пути введения понятий выделяют следующие этапы:
– мотивация;
– организация восприятия вновь вводимого понятия;
– формирование у учащихся представления о понятии;
– работа по определению понятия;
– соотнесение полученного «определения» с объектами реальной действительности или моделями;
– работа с понятием.
Например, при введении понятия ромба можно продемонстрировать четырехугольники (рис. 3), которые будут являться ромбами и не будут ими являться. На основе этих примеров
проводится работа по выделению родового понятия (параллелограмм) и видового отличия (равенства смежных сторон).
Можно показать также модели из бумаги, дерева и т. д.
Рис. 3
41
1, 3 – ромбы
2, 4, 5, – не
являются
ромбами
Для четкости работы примеры нужно продумывать таким
образом, чтобы «нежелательные» характеристические свойства не бросались в глаза.
Например, на рисунке в ромбе на этом этапе диагонали
лучше не проводить, тогда речь о них вряд ли возникнет.
При дедуктивном пути введении понятия обычно выделяют следующие этапы:
– учитель дает определение вновь вводимого понятия;
– сформулированное определение иллюстрируется на примерах. Приводятся частные виды, входящие в данное понятие.
Предлагаются задания на распознавание;
– рассматриваются примеры использования данного понятия в жизни, быту, других предметах. Конечно, если есть возможность;
– проводится работа со свойствами и признаками понятия.
1.12. Методика работы с теоремами
Теорема – это суждение, истинность которого доказывается. Как известно, теорема состоит из условия и заключения.
Большое значение имеет умение работать с формулировкой теоремы. Нередко трудности доказательства конкретной
теоремы связаны с тем, что ее формулировка воспринимается
школьниками как очевидный факт, не требующий доказательства. Отметим, что эта работа имеет значение для освоения не
только математического содержания, но и для таких дисциплин, как экономика, экология, физика, информатика и ряда
других. Объясняется это тем, что в каждой из перечисленных
сфер деятельности человека приходится решать задачи, требующие умений анализировать и выделять условие и заключение утверждения, осуществлять поиск способа решения
(аргументации), делать выводы и сопоставлять их с реальной
действительностью.
42
На основе наблюдений и анализа литературы можно выделить основные направления работы с формулировкой теоремы:
• выделять из формулировки условие и заключение теоремы;
• формулировать утверждение, обратное к данной теореме;
• делать чертеж, моделирующий условие и заключение те-
оремы;
• распознавать ситуации, в которых может быть применена
данная теорема.
Для формирования перечисленных умений требуется специальная, целенаправленная работа.
Рассмотрим каждое направление.
Работа по выделению условия и заключения теоремы
обычно заканчивается оформлением краткой записи теоремы,
которая в школе традиционно включает в себя записи «Дано»
и «Доказать». Для создания зрительного восприятия рекомендуется приучать школьников к следующему способу расположения теоремы на доске и в тетради.
Дано: (запись условия).
Рисунок, отражающий
формулировку теоремы.
Доказать: (запись заключения).
Доказательство.
Для успешного формирования этого умения необходимо не
только сообщить (и показать) ученикам требования к оформлению теоремы, но и неукоснительно соблюдать их в ежедневной работе.
Обучающимся необходимо осознать, что условием теоремы
являются некоторые известные факты и отношения, а истинность заключения требуется установить. Для формирования
умения выделять условие и заключение теоремы в методической литературе предлагается проводить работу по представлению теоремы в виде условного суждения (если…, то…).
43
Этапы работы с теоремой
Чаще всего выделяют следующие этапы работы с теоремой:
– мотивация изучения теоремы, подведение учеников к открытию формулировки теоремы, точная формулировка;
– работа с формулировкой теоремы (соотнесение формулировки с чертежом, осознание содержания теоремы);
– построение чертежа, запись того, что дано, что требуется
доказать;
– поиск доказательства, доказательство теоремы и его запись;
– закрепление теоремы;
– применение теоремы.
Однако у разных авторов можно встретить разное количество этапов. Так, в книге Г. И. Саранцева «Упражнения в обучении математике» [15] выделяются этапы работы с теоремой
и ставятся им в соответствие виды упражнений, кроме того,
описаны приемы работы на уроке. Для учителя математики
должна быть интересна следующая таблица, составленная Саранцевым [15, с. 84]. Отметим, что в данном пособии таблица
8 приводится в несколько измененной форме с сохранением ее
содержательного наполнения. В своей работе учитель должен
формировать у школьников ряд умений работы с теоремой:
извлекать информацию из условия и требования теоремы;
вычленять отдельные элементы теоремы; переформулировать
содержание теоремы; соотносить действия с наглядностью;
преобразовывать содержание задачи; самостоятельно формулировать промежуточные задачи.
Таблица 8
Виды упражнений, используемых на различных этапах
работы с теоремой (по Г. И. Саранцеву)
Этапы Упражнения:
1. Мотивация
изучения теоремы
– на измерение величин, на оперирование
моделями фигур;
– с практическим содержанием;
– на применение ранее изученных теорем
44
2. Ознакомление
с формулировкой
теоремы
3. Усвоение
содержания
теоремы
4. Запоминание
формулировки
теоремы
5. Ознакомление
со способом
доказательства
6. Доказательство
теоремы
7. Применение
теоремы
8. Установление
связей теоремы
с теоремами,
изученными ранее
– на измерение величин, на оперирование
моделями фигур;
– с практическим содержанием;
– на применение ранее изученных теорем
– на выделение условия и заключения теоремы;
– на распознавание ситуаций, удовлетворяющих
теореме;
– на выполнение чертежей, моделирующих
условие теоремы
– на выделение условия и заключения теоремы;
– на распознавание ситуаций, удовлетворяющих
теореме;
– на выполнение чертежей, моделирующих
условие теоремы
– на ознакомление с методом доказательства
– на ознакомление с методом доказательства;
– на моделирование способа доказательства;
– на выделение в доказательстве недостающих
утверждений и их обоснование
– на выделение в доказательстве недостающих
утверждений и их обоснование;
– на систематизацию теорем;
– на составление родословной теоремы;
– на составление плана доказательства теоремы;
– на составление алгоритмов
– на систематизацию теорем;
– на составление родословной теоремы;
– на составление плана доказательства теоремы;
– на составление алгоритмов
Наиболее распространенные затруднения обучающихся
при работе с теоремой
Во-первых, много затруднений и ошибок у обучающихся возникает на этапе доказательства теорем. Для успеха в изучении
доказательств и обучении доказывать в методической литературе указывается на необходимость соблюдения ряда требований.
– Перед доказательством теоремы актуализируются опорные знания.
45
– Ознакомление школьников с сущностью доказательства и
формирование приемов доказательства происходит постепенно.
– Формируется представление о роли чертежа в доказа-
тельстве теоремы, его правильности и точности.
– При работе с теоремой уделяется внимание мотивации
обучающихся, обосновывается значимость теоремы. После
доказательства разбираются ее приложения.
– Для устранения возможности заучивания доказательства
наизусть учитель может предлагать повторять его на видоизмененном рисунке, с другими условными обозначениями и т. д.
Во-вторых, школьники часто вообще не видят необходимости доказывать теоремы, так как они кажутся им очевидными. В этом случае учитель обращает внимание обучающихся
на особенности построения курса геометрии (в котором все
утверждения, кроме аксиом, должны быть доказаны). Можно привести примеры, подтверждающие, что не всегда «очевидное» на самом деле имеет место быть и наоборот. Например, вращение Земли вокруг Солнца далеко не всегда было
«очевидным». Другие аналогичные примеры могут привести
и сами школьники.
Необходимо обучать учащихся доказывать теоремы. Приемы такой работы описаны в пособии В. А. Далингера [4].
В-третьих, много ошибок бывает при применении теорем. Часто обучающиеся не видят возможность применения конкретной
теоремы при решении задач. Для формирования этого умения после доказательства теоремы учитель предлагает задания на распознавание ситуации, где можно применить теорему, а где нет.
1.13. Методика работы с математической задачей
Значение математической задачи для развития мышления
школьника трудно переоценить. Работа с ней способствует формированию абстрактного мышления, повышает логическую гра-
46
мотность. В процессе решения, доказательства ученик овладевает приемами анализа и синтеза, выдвижения и проверки гипотез,
правилами рассуждений, приобретает навыки умственного труда, приучается к самоконтролю. Поэтому работа с задачей должна занимать важнейшее место в школьном курсе математики.
При работе с задачей, как правило, большая часть школьников испытывает затруднения. У многих учеников приемы
работы с задачей так и не формируются вообще. Основная
причина заключается в том, что уровень их сформированности не зависит от числа решенных задач. Обучающиеся не
умеют самостоятельно анализировать и решать различные
типы задач, осуществлять поиск доказательства теоремы и
грамотно ее использовать в дальнейшем. Очевидно, что этим
приемам нужно специально обучать.
ФГОС ООО отмечает, что в результате изучения математики
обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять
математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения
учебных задач; развивают математическую интуицию [16].
Возможности задачи большие, необходимо сделать так,
чтобы они как можно полнее были реализованы на практике.
Именно поэтому вопросам методики обучения школьников
решанию различных видов задач уделяется значительное место. Различные аспекты данной проблемы рассматриваются
в работах В. А. Далингер, О. Б. Епишевой, Ю. М. Колягина,
Г. И. Саранцева, Н. Л. Стефановой, А. А. Темербековой,
Л. М. Фридмана, Л. Г. Шестаковой и других авторов.
Основные этапы работы с математической задачей
Рассматривая этапы работы с задачей, необходимо отметить, что в методике математики нет единой точки зрения на
их количество. В одном случае – может быть четыре, в другом
– восемь и т. д. В данном пособии будем придерживаться точ-
47
ки зрения тех методистов, которые выделяют четыре основных этапа, охватывающих всю работу с задачей:
– ознакомление с условием задачи, его изучение;
– поиск способа решения задачи;
– оформление решения;
– изучение полученного решения и работа с ним («взгляд
назад», как назвал этот этап Д. Пойа).
На первом этапе нужно, чтобы ученик понял, о чем идет
речь в задаче. Здесь отвечают на три основных вопроса. Что
неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Составляется
краткая запись по тексту, делается рисунок, схема, таблица.
Для выяснения того, как ученик понял задачу, учитель может
предложить пересказать ее своими словами.
На втором этапе идет поиск способа решения. Результатом работы здесь является план решения. Подробно этап рассмотрен в следующем параграфе.
На третьем этапе происходит осуществление составленного плана решения. По ходу его реализации контролируется
обоснованность и доказанность каждого шага. Нужно приучать учеников к тому, что если в найденном «решении» есть
хоть один необоснованный момент, то задача считается нерешенной.
На четвертом этапе отвечаем на вопросы.
Нельзя ли проверить результат?
Нельзя ли проверить ход решения?
Нельзя ли получить результат другим способом?
Нельзя ли в какой-либо другой задаче использовать полученный результат или метод решения?
Пути поиска способа решения задачи
Остановимся подробнее на этапе поиска способа решения
задачи, так как он является наиболее трудным для обучающихся.
Рассмотрим три основных пути, которыми можно двигаться при осуществлении поиска способа решения (см. табл. 9), и
дадим им характеристику.
48
– Движение от условия к заключению.
– Движение от заключения к условию (восходящий анализ).
– Движение с двух сторон.
При этом не будем останавливаться на чисто эвристических методах решения задач (характеристику которых можно
найти в книгах Д. Пойа, Ю. М. Колягина, Л. М. Фридмана,
Л. В. Виноградовой и др.); ключевых задачах (А. Е. Малых,
Т. В. Рихтер, И. Ф. Шарыгин и др.). Сразу отметим, что в реальном процессе работы с математической задачей названные
пути часто используются совместно. Однако для удобства характеристики особенностей и для организации деятельности
школьников их удобно разделить.
Таблица 9
Пути осуществления поиска способа решения
1. Движение
от условия
к заключению
2. Движение
от заключения
к условию
3. Движение с двух
сторон
При движении от условия к заключению новое знание (зависимость, значение величины и др.) получается путем разворачивания условия задачи (теоремы). Человек, осуществляющий поиск способа решения первым путем, постоянно задает
себе следующие вопросы.
49
Что дано?
Что из этого следует?
Что можно найти из условия?
Сущность движения от заключения к условию состоит в том,
что поиск начинается с разворачивания заключения. Человек
задает себе следующие вопросы. Что требуется найти? Что достаточно для этого знать? Известно ли это? Рассуждая аналогичным образом, постепенно поднимаемся к условию задачи.
Очевидно, что способ решения будет найден в тот момент, когда на третий вопрос мы сможем ответить утвердительно.
Движение с двух сторон является объединением рассмотренных выше путей. Именно с помощью него чаще всего осуществляется поиск. Однако движение с двух сторон является
наиболее сложным для учащихся. Сущность данного приема
состоит в том, что, с одной стороны, разворачивается условие.
Отвечая на вопрос о том, что следует из условия, мы получаем
одно или несколько следствий (или находим некоторые величины). С другой стороны, разворачиваем заключение, отвечая
на вопрос: «Что достаточно знать для этого?» Повторяя рассуждения несколько раз, находим точку встречи (цепочки рассуждений от условия и заключения сталкиваются). Это сигнал
к тому, что способ решения найден, остается его оформить.
Рассмотрим использование поиска способа решения движением с двух сторон на конкретной задаче.
Задача.
Стороны произвольного выпуклого четырехугольника делятся пополам.
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются и
точкой пересечения делятся пополам.
Дано: ABCD – выпуклый четыреху-
гольник; E, F, P, Q – середины соответ-
Рис. 4
ствующих сторон.
Доказать: EP и FQ пересекаются в точке О; EO=OP; QO=OF.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]